Static EMI (Time Varying Magnetic Field) Questions in Gujarati

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 r t \hat{k}$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$z$-અક્ષ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન $E(2\pi r)$ થાય છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = \int_0^r B(r') (2\pi r') dr'$ છે.
$B(r') = B_0 r' t$ મૂકતા,$\phi_B = \int_0^r (B_0 r' t) (2\pi r') dr' = 2\pi B_0 t \int_0^r r'^2 dr' = 2\pi B_0 t \frac{r^3}{3}$.
હવે,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi B_0 t r^3}{3} \right) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $E(2\pi r) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$.
તેથી,$E = \frac{B_0 r^2}{3}$ મળે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt}$.
લાંબા સોલેનોઈડ માટે,અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે. $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે.
કિસ્સો $1$: $r < a$ માટે,ફ્લક્સ $\phi = (\mu_0 n I)(\pi r^2)$ છે.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(2 \pi r) = -\frac{d}{dt}(\mu_0 n I \pi r^2) = -\mu_0 n \pi r^2 \frac{dI}{dt}$.
તેથી,$E = -\frac{\mu_0 n r}{2} \frac{dI}{dt}$. તેનું મૂલ્ય $|E| = \frac{\mu_0 n r \dot{I}}{2}$ થાય.
કિસ્સો $2$: $r > a$ માટે,ફ્લક્સ માત્ર સોલેનોઈડના આડછેદમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\phi = (\mu_0 n I)(\pi a^2)$ છે.
ફેરાડેનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(2 \pi r) = -\frac{d}{dt}(\mu_0 n I \pi a^2) = -\mu_0 n \pi a^2 \frac{dI}{dt}$.
તેથી,$E = -\frac{\mu_0 n a^2}{2 r} \frac{dI}{dt}$. તેનું મૂલ્ય $|E| = \frac{\mu_0 n a^2 \dot{I}}{2 r}$ થાય.

(A, B, C, D) $r < R$ માટે,ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$E(2\pi r) = \frac{d}{dt}[(4t^2 - 2t + 6) \pi r^2] = (8t - 2) \pi r^2$.
આમ,$E = \frac{(8t - 2)r}{2} = (4t - 1)r$. કારણ કે $E \propto r$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે $r$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે.
$r > R$ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $r \le R$ વિસ્તાર પૂરતું મર્યાદિત છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt}[B \cdot \pi R^2]$.
$E(2\pi r) = (8t - 2) \pi R^2 \implies E = \frac{(8t - 2)R^2}{2r}$.
$r = 2R$ અને $t = 2 \text{ s}$ પર:
$E = \frac{(8(2) - 2)R^2}{2(2R)} = \frac{14R^2}{4R} = \frac{7R}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{Eq}{m} = \frac{7qR}{2m}$.
પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્રો બિન-સંરક્ષી છે અને બંધ લૂપ બનાવે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$t > 0.25 \text{ s}$ માટે $\vec{B}$ વધતું હોવાથી,પ્રેરિત ક્ષેત્ર ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેના પરિણામે ધન વિદ્યુતભાર માટે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ થાય છે.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = (2 \text{ cm})^2 = (0.02 \text{ m})^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (0.4 \sin(300t)) \times (4 \times 10^{-4}) \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$\Phi = 0.4 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.5 \times \sin(300t) = 0.8 \times 10^{-4} \sin(300t) \text{ Wb}$ મળે છે.
પ્રેરિત emf $\epsilon$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ $\epsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
$\epsilon = -\frac{d}{dt} [0.8 \times 10^{-4} \sin(300t)] = -0.8 \times 10^{-4} \times 300 \times \cos(300t) = -0.024 \cos(300t) \text{ V}$.
મહત્તમ પ્રેરિત emf એ આ સમીકરણનો કંપવિસ્તાર છે,જે $\epsilon_{max} = 0.024 \text{ V}$ છે.
મિલીવોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા: $0.024 \text{ V} = 24 \text{ mV}$.

(A) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (2t^2 + 2t + 3) \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ છે,તેથી $A = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \text{ m}^2$.
આમ,$\phi = 0.04\pi (2t^2 + 2t + 3) \text{ Wb}$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $\varepsilon = |-\frac{d\phi}{dt}|$ છે.
$\frac{d\phi}{dt} = 0.04\pi (4t + 2)$.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે,$\frac{d\phi}{dt} = 0.04\pi (4(3) + 2) = 0.04\pi (14) = 0.56\pi \text{ V}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0.56\pi}{2} = 0.28\pi \text{ A}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$I = 0.28 \times \frac{22}{7} = 0.04 \times 22 = 0.88 \text{ A}$.
આપેલ છે કે $I = \frac{\alpha}{50}$,તેથી $0.88 = \frac{\alpha}{50}$.
તેથી,$\alpha = 0.88 \times 50 = 44$.