Self Induction Questions in Hindi

(N/A) $N$ फेरों वाली और $I$ धारा वहन करने वाली कुंडली से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स $N\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है।
$1$. संबंध $L = \frac{N\phi}{I}$ से,यदि $I = 1 \text{ A}$ हो,तो $L = N\phi$। अतः,स्व-प्रेरकत्व को कुंडली से प्रवाहित होने वाली प्रति इकाई धारा के लिए कुंडली से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$2$. संबंध $\varepsilon = -L\frac{dI}{dt}$ से,यदि $\frac{dI}{dt} = 1 \text{ A/s}$ हो,तो $|\varepsilon| = L$। अतः,स्व-प्रेरकत्व को परिपथ में धारा परिवर्तन की प्रति इकाई दर पर कुंडली में उत्पन्न स्व-प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) के परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्व-प्रेरकत्व का $SI$ मात्रक हेनरी $(H)$ है,जो $Wb/A$ या $Vs/A$ के बराबर है। इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2} A^{-2}]$ है।

(N/A) आइए $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $l$ लंबाई वाली एक लंबी परिनालिका के स्व-प्रेरकत्व की गणना करें,जिसमें प्रति इकाई लंबाई $n$ फेरे हैं।
परिनालिका में बहने वाली धारा $I$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है:
$B = \mu_{0} n I$ (किनारे के प्रभावों की उपेक्षा करते हुए)।
परिनालिका से जुड़ा कुल फ्लक्स है:
$N \phi_{B} = N B A$
$N = nl$ और $B = \mu_{0} n I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N \phi_{B} = (nl)(\mu_{0} n I)(A) = \mu_{0} n^{2} A l I$
चूंकि स्व-प्रेरकत्व $L$ को $L = \frac{N \phi_{B}}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हमें प्राप्त होता है:
$L = \mu_{0} n^{2} A l$ ... $(1)$
यदि परिनालिका को $\mu_{r}$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो स्व-प्रेरकत्व हो जाता है:
$L = \mu_{r} \mu_{0} n^{2} A l$ ... $(2)$
इस प्रकार,कुंडली का स्व-प्रेरकत्व उसकी ज्यामिति और माध्यम की पारगम्यता पर निर्भर करता है।

(N/A) स्व-प्रेरकत्व की इकाई हेनरी $(H)$ है।
स्व-प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ है।
यदि $\frac{dI}{dt} = 1 \text{ A s}^{-1}$ हो और प्रेरित emf $\varepsilon = 1 \text{ V}$ हो,तो स्व-प्रेरकत्व $L$ को $1 \text{ Henry}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$L$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(1)$ कुंडली का आकार और आकृति।
$(2)$ फेरों की संख्या $N$।
$(3)$ कुंडली के भीतर के माध्यम की चुंबकीय पारगम्यता (जैसे,यदि कुंडली को नरम लोहे के कोर पर लपेटा जाता है,तो इसका मान बहुत बढ़ जाता है)।

(N/A) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी किसी कुंडली से बहने वाली धारा में परिवर्तन होता है,तो उसमें स्व-प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है। लेंज के नियम के अनुसार,इस प्रेरित $emf$ की दिशा हमेशा ऐसी होती है कि यह उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है। जब परिपथ में धारा बढ़ती है,तो स्व-प्रेरित $emf$ आरोपित वोल्टेज के विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिससे यह धारा की वृद्धि का विरोध करता है। इसी तरह,जब धारा घटती है,तो यह धारा के क्षय का विरोध करता है। चूंकि यह स्रोत $emf$ या धारा में परिवर्तन के विरोध में कार्य करता है,इसलिए इसे आमतौर पर बैक $emf$ कहा जाता है।

(N/A) $l$ लंबाई,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और $N$ फेरों वाली एक बहुत लंबी परिनालिका के लिए,परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = N/l$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 (N/l) I A$ है।
कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $N\phi = N \cdot \mu_0 (N/l) I A = (\mu_0 N^2 A / l) I$ है।
चूंकि कुल फ्लक्स लिंकेज $LI$ के बराबर है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है,इसलिए हमें $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ प्राप्त होता है।

(A) जब सोलेनोइड कसकर लिपटा होता है,तो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सोलेनोइड के भीतर सीमित रहती हैं,जिसके परिणामस्वरूप उच्च स्व-प्रेरकत्व $(L)$ होता है।
जब कुंडली को खींचा जाता है,तो घुमावों के बीच का अंतराल बढ़ जाता है,जिससे प्रति घुमाव चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज कम हो जाता है,जिससे सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $(L)$ कम हो जाता है।
संबंध $V = L(di/dt) + iR$ के अनुसार,एक निश्चित $DC$ वोल्टेज स्रोत के लिए,स्थिर-अवस्था धारा $I = V/R$ द्वारा निर्धारित होती है।
हालाँकि,खींचने की प्रक्रिया के दौरान,स्व-प्रेरकत्व में परिवर्तन एक इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) $\varepsilon = -L(di/dt) - i(dL/dt)$ प्रेरित करता है।
चूंकि स्व-प्रेरकत्व $L$ घटता है $(dL/dt < 0)$,प्रेरित emf इस परिवर्तन का विरोध करता है,जो प्रभावी रूप से बैक-emf को कम कर देता है। परिणामस्वरूप,परिपथ में धारा बढ़ जाती है।

(B) जब परिनालिका में लोहे का क्रोड डाला जाता है, तो हवा की तुलना में क्रोड की चुंबकीय पारगम्यता (magnetic permeability) काफी बढ़ जाती है।
इससे चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और परिणामस्वरूप परिनालिका से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi)$ बढ़ जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले इस परिवर्तन का विरोध करेगा।
चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए, परिनालिका एक बैक $emf$ प्रेरित करती है जो बैटरी वोल्टेज के विपरीत कार्य करता है।
परिणामस्वरूप, परिनालिका से प्रवाहित होने वाली कुल धारा कम हो जाती है।

(D) सोलेनोइड में उत्पन्न बैक $emf$, $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है और $\frac{dI}{dt}$ धारा-समय ग्राफ का ढाल है。
$1$. $t = 3\;s$ पर ($OA$ खंड): ढाल $\frac{1 - 0}{5 - 0} = 0.2\;A/s$ है। अतः, $e = -L(0.2) = -0.2L$. इसलिए, $L = -5e$.
$2$. $t = 7\;s$ पर ($AB$ खंड): ढाल $\frac{-2 - 1}{10 - 5} = \frac{-3}{5} = -0.6\;A/s$ है। बैक $emf$, $\varepsilon_1 = -L(-0.6) = 0.6L$ होगा। $L = -5e$ रखने पर, $\varepsilon_1 = 0.6(-5e) = -3e$ प्राप्त होता है。
$3$. $t = 15\;s$ पर ($BC$ खंड): ढाल $\frac{0 - (-2)}{30 - 10} = \frac{2}{20} = 0.1\;A/s$ है। बैक $emf$, $\varepsilon_2 = -L(0.1) = -0.1L$ होगा। $L = -5e$ रखने पर, $\varepsilon_2 = -0.1(-5e) = 0.5e = \frac{e}{2}$ प्राप्त होता है。
$4$. $t = 40\;s$ पर: धारा $0\;A$ पर स्थिर है ($t=30\;s$ के बाद), इसलिए ढाल $\frac{dI}{dt} = 0$ है। अतः, बैक $emf$ $0$ होगा。
बैक $emf$ का परिमाण तब अधिकतम होता है जब ढाल $|\frac{dI}{dt}|$ अधिकतम हो। ढालों की तुलना करने पर: $|0.2|$, $|-0.6|$, और $|0.1|$। अधिकतम ढाल $|-0.6|$ है जो $t = 5\;s$ से $t = 10\;s$ के बीच होता है।

(A) टोरॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\phi = B A N = \frac{\mu_0 N^2 i A}{2 \pi R}$ है।
चूंकि $\phi = L i$,इसलिए स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{2 \pi R}$ होता है।
दिए गए मान: $N = 500$,$R = 0.4 \text{ m}$,$A = 10 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times (10 \times 10^{-4})}{2 \pi \times 0.4}$
$L = \frac{2 \times 10^{-7} \times 250000 \times 10^{-3}}{0.4}$
$L = \frac{2 \times 10^{-7} \times 250}{0.4} = \frac{500 \times 10^{-7}}{0.4} = 1250 \times 10^{-7} \text{ H} = 125 \mu\text{H}$.

(A) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $E = \int L I \, dI$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $L = 2.0 \, H$ और $I = 2 \sin(t^2) \, A$.
सबसे पहले,समय अंतराल ज्ञात करें। जब $I = 0$,तब $2 \sin(t^2) = 0 \Rightarrow t = 0$.
जब $I = 2 \, A$,तब $2 \sin(t^2) = 2 \Rightarrow \sin(t^2) = 1 \Rightarrow t^2 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.
व्यय की गई ऊर्जा $E = \int_{0}^{2} L I \, dI = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} L I \left( \frac{dI}{dt} \right) dt$ है।
चूंकि $I = 2 \sin(t^2)$,$\frac{dI}{dt} = 2 \cos(t^2) \cdot 2t = 4t \cos(t^2)$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} 2 \cdot (2 \sin(t^2)) \cdot (4t \cos(t^2)) \, dt$
$E = 16 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(t^2) \cos(t^2) \, dt$
सर्वसमिका $2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$ का उपयोग करते हुए:
$E = 8 \int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} t \sin(2t^2) \, dt$
मान लीजिए $u = 2t^2$,तो $du = 4t \, dt$,इसलिए $t \, dt = \frac{du}{4}$.
जब $t = 0, u = 0$. जब $t = \sqrt{\pi/2}, u = \pi$.
$E = 8 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \frac{du}{4} = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du$
$E = 2 [-\cos(u)]_{0}^{\pi} = 2 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 2 [1 + 1] = 4 \, J$.

(D) स्विच खोलने से पहले कुंडली से बहने वाली स्थिर धारा $i_0$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $i_0 = \frac{V}{R} = \frac{20 \; V}{10 \; \Omega} = 2 \; A$.
कुंडली में प्रेरित औसत emf $\langle \varepsilon \rangle$ को चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका सूत्र है: $\langle \varepsilon \rangle = L \frac{\Delta i}{\Delta t}$।
दी गई मान हैं:
प्रेरकत्व $L = 20 \; mH = 20 \times 10^{-3} \; H$
धारा में परिवर्तन $\Delta i = i_{\text{अंतिम}} - i_{\text{प्रारंभिक}} = 0 - 2 = -2 \; A$
समय अंतराल $\Delta t = 100 \; \mu s = 100 \times 10^{-6} \; s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर (emf का परिमाण लेने पर):
$|\langle \varepsilon \rangle| = L \frac{|\Delta i|}{\Delta t} = \frac{20 \times 10^{-3} \times 2}{100 \times 10^{-6}}$
$|\langle \varepsilon \rangle| = \frac{40 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 40 \times 10^1 = 400 \; V$.

(C) स्थिति-$1$: कुंजी $K$ को बंद करने के लंबे समय बाद,प्रेरक $L$ एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है। परिपथ एक ब्रिज नेटवर्क बन जाता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R \cdot 4R}{R + 4R} + \frac{3R \cdot 2R}{3R + 2R} = 2R$ होता है।
कुल धारा $I = \frac{E}{2R}$ है। एमीटर शाखा से प्रवाहित धारा $I_{ammeter} = I \cdot \frac{4R}{5R} = \frac{4}{5} I = 20 \,mA$,इसलिए $I = 25 \,mA$ है। $EMF$ $E = 50R \,mA$ प्राप्त होता है।
स्थिति-$2$: कुंजी $K$ को बंद करने के तुरंत बाद,प्रेरक $L$ एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ $(R + 3R)$ और $(4R + 2R)$ बनती हैं।
एमीटर शाखा से प्रवाहित धारा $I'_{ammeter} = \frac{E}{R+3R} = \frac{50R}{4R} = 12.5 \,mA$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $25 \,mA$ है।

(D) प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $\phi = LI$ है,जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है और $I$ विद्युत धारा है। अतः,$L = \phi / I$। चुंबकीय फ्लक्स का मात्रक $weber$ $(Wb)$ है और धारा का मात्रक $ampere$ $(A)$ है। इसलिए,$1 \ henry = 1 \ Wb/A$। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
चूंकि $V = -L(dI/dt)$,इसलिए $L = V(dt/dI)$। इसके मात्रक $volt \cdot second / ampere$ होते हैं। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = (1/2)LI^2$ होती है,इसलिए $L = 2U/I^2$। ऊर्जा का मात्रक $joule$ $(J)$ है। इसलिए,$1 \ henry = 1 \ J/A^2$। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
विकल्प $D$,$ohm-meter$,प्रतिरोधकता $(resistivity)$ का मात्रक है,प्रेरकत्व का नहीं। इसलिए,हेनरी को $ohm-meter$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

(C) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूंकि प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l}$ है,इसलिए हम $L = \mu_0 n^2 A l$ लिख सकते हैं।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $L \propto n^2$ (या यदि लंबाई $l$ स्थिर है तो $L \propto N^2$)।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या $N$ को दोगुना $(N' = 2N)$ कर दिया जाता है जबकि लंबाई $l$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ होगा:
$L' = \mu_0 (2N)^2 \frac{A}{l} = 4 \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right) = 4L$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
जब एक प्रेरक और $DC$ स्रोत वाले सर्किट में स्विच बंद किया जाता है,तो धारा $0$ से अपने स्थिर मान $I = V/R$ तक बढ़ती है। इस वृद्धि के दौरान,चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन होता है,जिससे एक बैक $emf$ प्रेरित होता है।
हालाँकि,जब स्विच खोला जाता है,तो धारा अपने स्थिर मान से लगभग तुरंत $0$ हो जाती है।
फैराडे के नियम के अनुसार,$e = -L(di/dt)$। चूंकि स्विच खोलने के लिए समय अंतराल $dt$ अत्यंत छोटा होता है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $di/dt$ बहुत अधिक होती है।
इसलिए,स्विच खोले जाने पर बहुत बड़ा $emf$ प्रेरित होता है,जो अक्सर स्विच के संपर्कों पर चिंगारी पैदा करता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब स्विच $S$ को खोला जाता है,तो परिपथ में धारा लगभग तुरंत शून्य हो जाती है।
फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरक $L$ धारा में इस अचानक परिवर्तन का विरोध करता है और $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ के अनुसार एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है।
यह प्रेरित $EMF$ बैटरी वोल्टेज की दिशा में ही कार्य करता है ताकि एक क्षण के लिए परिपथ में धारा का प्रवाह बना रहे।
इसके परिणामस्वरूप बल्ब से होकर गुजरने वाली धारा में क्षणिक वृद्धि होती है,जिससे बल्ब बंद होने से पहले अचानक तेज हो जाता है।

(D) प्रेरक में धारा $I = 5 + 16t$ द्वारा दी गई है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें धारा के परिवर्तन की दर प्राप्त होती है: $\frac{dI}{dt} = 16 \,A/s$.
प्रेरक में प्रेरित emf $\varepsilon$ का सूत्र $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ होता है।
यहाँ $\varepsilon = 5 \,mV = 5 \times 10^{-3} \,V$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $5 \times 10^{-3} = L \times 16$.
$L$ के लिए हल करने पर: $L = \frac{5 \times 10^{-3}}{16} = 0.3125 \times 10^{-3} \,H$.
इसे $\times 10^{-4} \,H$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम लिख सकते हैं $L = 3.125 \times 10^{-4} \,H$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बल्ब की तीव्रता समान रहती है।
$DC$ परिपथ में,प्रेरक (inductor) एक साधारण तार की तरह कार्य करता है जिसमें कुछ प्रतिरोध होता है क्योंकि धारा स्थिर होती है $(dI/dt = 0)$।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2\pi fL$ का मान $DC$ के लिए शून्य होता है क्योंकि आवृत्ति $f = 0$ होती है।
इसलिए,परिपथ की प्रतिबाधा केवल बल्ब और कुंडली के प्रतिरोध द्वारा निर्धारित होती है।
नरम लोहे का क्रोड डालने से कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है,लेकिन चूंकि धारा स्थिर $DC$ है,इसलिए प्रेरकत्व स्थिर-अवस्था की धारा को प्रभावित नहीं करता है।
स्थिर-अवस्था की धारा $I = \frac{V}{R}$ द्वारा दी जाती है,जो अपरिवर्तित रहती है। अतः,बल्ब की तीव्रता समान रहती है।

(A) कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को संबंध $\phi = L \times I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है और $I$ कुंडली में प्रवाहित धारा है।
दिया गया है:
स्व-प्रेरकत्व $L = 50\,mH = 50 \times 10^{-3}\,H$
धारा $I = 8\,mA = 8 \times 10^{-3}\,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$\phi = (50 \times 10^{-3}\,H) \times (8 \times 10^{-3}\,A)$
$\phi = 400 \times 10^{-6}\,Wb$
$\phi = 4 \times 10^{-4}\,Wb$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) परिपथ में प्रारंभिक धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R} = \frac{12\,V}{6\,\Omega} = 2\,A$.
जब स्विच खोला जाता है,तो धारा $1\,ms = 10^{-3}\,s$ के समयांतराल में $2\,A$ से घटकर $0\,A$ हो जाती है।
प्रेरित emf का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\varepsilon| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $20 = L \times \frac{2 - 0}{10^{-3}}$.
$20 = L \times \frac{2}{10^{-3}}$.
$20 = L \times 2000$.
$L = \frac{20}{2000} = 0.01\,H$.
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर: $L = 0.01 \times 1000\,mH = 10\,mH$.

(B) दिया गया है कि प्रेरक में धारा $I = (3t + 8) \ A$ है।
प्रेरक में प्रेरित emf $\varepsilon$ का सूत्र $\varepsilon = -L \frac{dI}{dt}$ है।
प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ है।
दिया गया है $|\varepsilon| = 12 \ mV = 12 \times 10^{-3} \ V$।
सबसे पहले,धारा के परिवर्तन की दर ज्ञात करें: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(3t + 8) = 3 \ A/s$।
अब,मानों को सूत्र में रखें: $12 \ mV = L \times 3 \ A/s$।
$L = \frac{12 \ mV}{3 \ A/s} = 4 \ mH$।
अतः,प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व $4 \ mH$ है।

(A) स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$|E| = L \left| \frac{di}{dt} \right|$
दिया गया है:
धारा में परिवर्तन,$di = (+2 \,A) - (-2 \,A) = 4 \,A$
समय अंतराल,$dt = 0.2 \,s$
प्रेरित $emf$,$|E| = 0.1 \,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.1 = L \times \frac{4}{0.2}$
$L$ के लिए हल करने पर:
$L = \frac{0.1 \times 0.2}{4}$
$L = \frac{0.02}{4} \,H$
$L = 0.005 \,H$
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर:
$L = 0.005 \times 1000 \,mH = 5 \,mH$

(B) कथनों का विश्लेषण:
$A:$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ उसकी ज्यामिति (फेरों की संख्या $N$,क्षेत्रफल $A$,लंबाई $l$) पर निर्भर करता है। यह कथन सही है।
$B:$ स्व-प्रेरकत्व $L = \mu N^2 A / l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu = \mu_0 \mu_r$ है। अतः,यह माध्यम की पारगम्यता पर निर्भर करता है। यह कथन गलत है।
$C:$ लेंज के नियम के अनुसार,स्व-प्रेरित e.m.f. धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। यह कथन सही है।
$D:$ यांत्रिकी में,द्रव्यमान जड़त्व (वेग में परिवर्तन का विरोध) का प्रतिनिधित्व करता है। विद्युत-चुंबकत्व में,स्व-प्रेरकत्व विद्युत जड़त्व (धारा में परिवर्तन का विरोध) का प्रतिनिधित्व करता है। यह कथन सही है।
$E:$ प्रेरक में धारा स्थापित करने के लिए,विद्युत जड़त्व को दूर करने हेतु बैक e.m.f. के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कथन सही है।
अतः,कथन $A, C, D,$ और $E$ सही हैं।

(B) सोलेनोइड का प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\ell$ सोलेनोइड की लंबाई है।
$N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाले सोलेनोइड को बनाने के लिए उपयोग किए गए तार की कुल लंबाई $\ell_1 = N(2 \pi r)$ है,जिसका अर्थ है $r = \frac{\ell_1}{2 \pi N}$।
$A = \pi \left(\frac{\ell_1}{2 \pi N}\right)^2 = \frac{\ell_1^2}{4 \pi N^2}$ को प्रेरकत्व के सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{\mu_0 N^2}{\ell} \cdot \frac{\ell_1^2}{4 \pi N^2} = \frac{\mu_0 \ell_1^2}{4 \pi \ell}$।
$\ell_1$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\ell_1^2 = \frac{4 \pi L \ell}{\mu_0}$।
अतः,$\ell_1 = \sqrt{\frac{4 \pi L \ell}{\mu_0}}$।

(C) सोलेनोइड के स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ है।
दिए गए मान:
लंबाई $\ell = 48 \pi \ cm = 48 \pi \times 10^{-2} \ m$
क्षेत्रफल $A = 12 \ cm^2 = 12 \times 10^{-4} \ m^2$
फेरों की संख्या $N = 1200$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (1200)^2 \times (12 \times 10^{-4})}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1440000 \times 12 \times 10^{-4}}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = \frac{48 \pi \times 1.44 \times 10^{-5}}{48 \pi \times 10^{-2}}$
$L = 1.44 \times 10^{-3} \ H = 1.44 \ mH$.

(D) श्रेणीक्रम में जुड़े एक प्रेरक $L$ और एक प्रतिरोधक $R$ वाले परिपथ के दिए गए भाग के लिए,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$V_A - V_B = L \frac{dI}{dt} + IR$
दिए गए मान $V_A - V_B = 0.5 \ V$,$I = 0.5 \ A$,$R = 0.2 \ \Omega$,और $\frac{dI}{dt} = 8 \ A/s$ हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.5 = L(8) + (0.5)(0.2)$
$0.5 = 8L + 0.1$
$8L = 0.5 - 0.1$
$8L = 0.4$
$L = \frac{0.4}{8} = 0.05 \ H$
अतः,कुंडली का प्रेरकत्व $0.05 \ H$ है।

(A) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए, हम परिपथ में बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हैं।
$A$ से शुरू करके, हम प्रतिरोधक $(12 \, \Omega)$, प्रेरक $(6 \, H)$, और बैटरी $(12 \, V)$ से होते हुए $B$ तक पहुँचते हैं।
धारा $I = 2 \, A$, $A$ से $B$ की ओर बह रही है।
प्रतिरोधक पर विभव पतन $V_R = I \cdot R = 2 \, A \times 12 \, \Omega = 24 \, V$ है।
प्रेरक पर विभव पतन $V_L = L \frac{dI}{dt} = 6 \, H \times (-1 \, A/s) = -6 \, V$ है।
बैटरी पर विभव पतन $12 \, V$ है (धनात्मक से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर)।
$KVL$ लागू करने पर: $V_A - I \cdot R - L \frac{dI}{dt} - 12 = V_B$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V_A - V_B = I \cdot R + L \frac{dI}{dt} + 12$।
मान रखने पर: $V_A - V_B = (2)(12) + 6(-1) + 12$।
$V_A - V_B = 24 - 6 + 12 = 30 \, V$।

(B) जब कुंडली खुली होती है,तो परिपथ टूट जाता है,जिसका अर्थ है कि इसमें कोई धारा प्रवाहित नहीं हो सकती $(i = 0)$।
चूंकि परिपथ खुला है,इसलिए पथ का प्रतिरोध $R$ प्रभावी रूप से अनंत $(R = \infty)$ होता है।
स्व-प्रेरकत्व $L$ के संबंध में,यह कुंडली का धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करने का गुण है। गणितीय रूप से,$\phi = Li$,जहाँ $\phi$ चुंबकीय फ्लक्स है।
एक खुली कुंडली के लिए,कोई धारा नहीं होती $(i = 0)$,और परिणामस्वरूप,कुंडली द्वारा कोई चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न नहीं होता है $(\phi = 0)$।
इस प्रकार,$L = \frac{\phi}{i} = \frac{0}{0}$। एक खुले परिपथ के संदर्भ में,चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत करने या $EMF$ प्रेरित करने की क्षमता अनुपस्थित होती है,जिससे $L = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले एक प्रेरक में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
यदि हम चुंबकीय फ्लक्स को स्थापित करने के लिए किए गए कार्य पर विचार करें,तो यह चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा के बराबर होता है।
इकाई धारा $(I = 1 \ A)$ के लिए,संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L (1)^2 = \frac{L}{2}$ है।
इसलिए,$L = 2U$।
इसका अर्थ है कि स्व-प्रेरकत्व $L$ संख्यात्मक रूप से परिपथ में इकाई धारा के साथ जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को स्थापित करने में किए गए कार्य (या संचित ऊर्जा) के दोगुने के बराबर होता है।

(A) बल्ब की चमक परिपथ में बहने वाली धारा $I$ पर निर्भर करती है,जहाँ $I = \frac{V}{Z}$ है। $LR$ परिपथ का प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है। चमक कम होने के लिए,धारा $I$ को कम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z$ को बढ़ना चाहिए।
$1$. जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो पारगम्यता (permeability) बढ़ने के कारण स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,$X_L$ बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है,और धारा $I$ कम हो जाती है,जिससे चमक कम हो जाती है।
$2$. यदि आवृत्ति $f$ कम की जाती है,तो $X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$3$. यदि फेरों की संख्या $N$ कम की जाती है,तो $L$ कम होता है (क्योंकि $L \propto N^2$),$X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$4$. संधारित्र जोड़ने से यदि परिपथ अनुनाद (resonance) में आता है तो धारा बढ़ती है,कम नहीं होती।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रेरकत्व (inductor) में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर,$U = \frac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
जब परिपथ को तोड़ा जाता है,तो स्पार्किंग को रोकने के लिए यह ऊर्जा संधारित्र में स्थानांतरित हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ होती है।
दोनों ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$।
$C$ के लिए हल करने पर: $C = L \left( \frac{I}{V} \right)^2$।
मान रखने पर: $C = 1 \times \left( \frac{1}{500} \right)^2 = \frac{1}{250000} \text{ F}$।
$C = 4 \times 10^{-6} \text{ F} = 4 \mu \text{ F}$।

(C) कुंडली में उत्पन्न प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ को सूत्र $e = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है,$e$ प्रेरित $EMF$ है,और $\frac{di}{dt}$ धारा के परिवर्तन की दर है।
$L$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $L = \frac{e}{di/dt}$.
$EMF$ $(e)$ का मात्रक वोल्ट $(V)$ है,धारा $(i)$ का मात्रक एम्पीयर $(A)$ है,और समय $(t)$ का मात्रक सेकंड $(S)$ है।
इसलिए,स्व-प्रेरकत्व $(L)$ का मात्रक $\frac{V}{A/S} = \frac{V \cdot S}{A}$ है,जिसे हेनरी $(H)$ के रूप में भी जाना जाता है।

(C) $DC$ परिपथ में स्थिर अवस्था में,प्रेरक एक साधारण तार की तरह कार्य करता है।
चूंकि कुंडली को दो समान भागों में तोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{E}{R/4} = \frac{4 E}{R}$ होगी।

(C) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
जब परिपथ को बंद किया जाता है,तो स्पार्किंग को रोकने के लिए इस ऊर्जा को संधारित्र में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
संधारित्र द्वारा संचित ऊर्जा $W = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ के लिए हल करने पर: $C = \frac{LI^2}{V^2} = L\left(\frac{I}{V}\right)^2$.

(B) एक इंडक्टर में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का मान सूत्र $e = -L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L$ इंडक्टर का सेल्फ-इंडक्टेंस है,जो कि एक स्थिरांक है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रेरित e.m.f. धारा में परिवर्तन का विरोध करता है (लेंज का नियम)।
चूंकि $L$ स्थिर है,इसलिए $e$ और $\frac{dI}{dt}$ के बीच का संबंध $y = mx$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $m = -L$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढलान (slope) ऋणात्मक है।
दिए गए ग्राफ़ को देखने पर,ग्राफ़ $B$ एक सीधी रेखा दिखाता है जो मूल बिंदु से शुरू होती है और जैसे-जैसे $\frac{dI}{dt}$ बढ़ता है,यह ऋणात्मक $e$ क्षेत्र में जाती है,जो $e = -L \frac{dI}{dt}$ संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ कुंडली की लंबाई है।
यह दिया गया है कि सभी रैखिक आयामों को $k = 3$ के गुणक से बढ़ाया जाता है:
$1$. लंबाई $l$,$l' = kl = 3l$ हो जाती है।
$2$. चूंकि अनुप्रस्थ काट आयताकार है,यदि इसकी भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,तो क्षेत्रफल $A = ab$ है। जब आयामों को $k$ से स्केल किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (ka)(kb) = k^2 A = 3^2 A = 9A$ हो जाता है।
$3$. प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ स्थिर रहती है।
इन मानों को नए प्रेरकत्व $L'$ के सूत्र में रखने पर:
$L' = \mu_0 n^2 A' l' = \mu_0 n^2 (k^2 A) (kl) = k^3 (\mu_0 n^2 A l) = k^3 L$।
$k = 3$ रखने पर:
$L' = 3^3 L = 27L$।
अतः,स्व-प्रेरकत्व $27$ के गुणक से बढ़ जाता है।

(B) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ संबंध $\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण से,स्व-प्रेरकत्व $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए ग्राफ में,$\phi$ को $y$-अक्ष पर और $I$ को $x$-अक्ष पर प्लॉट किया गया है।
इसलिए,$\phi-I$ ग्राफ का ढाल (slope) इंडक्टर के स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाता है।
ग्राफ का ढाल $\tan(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो रेखा धारा अक्ष ($I$-अक्ष) के साथ बनाती है।
जैसे-जैसे कोण $\theta$ बढ़ता है,$\tan(\theta)$ का मान बढ़ता है।
ग्राफ को देखने पर,इंडक्टर $P$ के लिए रेखा $I$-अक्ष के साथ सबसे बड़ा कोण बनाती है।
अतः,इंडक्टर $P$ का ढाल सबसे अधिक है,जिसका अर्थ है कि इसका स्व-प्रेरकत्व $L$ सबसे अधिक है।

(D) स्व-प्रेरकत्व $(L)$ के कारण कुंडली में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का सूत्र है: $e = -L \frac{di}{dt}$.
यहाँ,धारा में परिवर्तन $\Delta i = i_f - i_i = (-5 \ A) - (5 \ A) = -10 \ A$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 0.5 \ s$ है।
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = 2 \ V$ है।
परिमाण सूत्र $|e| = L \left| \frac{\Delta i}{\Delta t} \right|$ का उपयोग करने पर:
$2 = L \left( \frac{10 \ A}{0.5 \ s} \right)$.
$2 = L \times 20$.
$L = \frac{2}{20} \ H = 0.1 \ H$.
मिलीहेनरी $(mH)$ में बदलने पर: $0.1 \ H = 100 \ mH$.

(C) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = LI$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ $\phi-I$ ग्राफ की ढाल (slope) स्व-प्रेरकत्व $L$ के बराबर होती है (अर्थात,$L = \frac{\phi}{I} = \tan \theta$)।
दिए गए चित्र से,$L_1$ के लिए रेखा की ढाल $L_2$ के लिए रेखा की ढाल से अधिक है (क्योंकि कोण $\theta_1 > \theta_2$ है)।
इसलिए,स्व-प्रेरकत्व $L_1$,स्व-प्रेरकत्व $L_2$ से अधिक है।

(A) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,जहाँ $y = \phi$ और $x = I$,हमें ढाल $m = L$ प्राप्त होता है।
चूँकि ग्राफ की ढाल स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाती है,इसलिए जिस इंडक्टर की ढाल सबसे कम होगी,उसका स्व-प्रेरकत्व सबसे कम होगा।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $D$ धारा अक्ष ($I$-अक्ष) के साथ सबसे छोटा कोण बनाती है,जिसका अर्थ है कि इसकी ढाल सबसे कम है।
अतः,इंडक्टर $D$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे कम है।

(A) स्वप्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{N \phi}{i}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$\phi$ प्रति फेरा चुंबकीय फ्लक्स है और $i$ धारा है।
दिया गया है:
$N = 400$
$\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$
$i = 0.5 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1200 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ H$
अतः,परिनालिका का स्वप्रेरकत्व $2.4 \ H$ है।

(A) एक परिनालिका (solenoid) का स्व-प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
जहाँ $N$ फेरों की कुल संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ कुंडली की लंबाई है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि जब $A$ और $l$ स्थिर रहते हैं,तो $L \propto N^2$ होता है।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या को दोगुना कर दिया गया है,अर्थात $N_2 = 2N_1$।
इसलिए,नया स्व-प्रेरकत्व $L_2$ होगा:
$L_2 = L_1 \times \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$
$L_2 = L_1 \times (2)^2$
$L_2 = 4 L_1$
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $4$ गुना हो जाता है।

(A) दिया गया है: $N = 100$, $A = 1 \,cm^2 = 1 \times 10^{-4} \,m^2$, $L = 1 \,mH = 1 \times 10^{-3} \,H$, और $I = 2 \,A$।
सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ कुंडली की लंबाई है।
इससे, लंबाई $l$ होगी:
$l = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (100)^2 \times (1 \times 10^{-4})}{1 \times 10^{-3}} = 4 \pi \times 10^{-3} \,m$।
सोलेनोइड के केंद्र में चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ का मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{4 \pi \times 10^{-3}} = 10^{-7} \times 200 \times 10^3 = 0.2 \,Wb/m^2$।

(C) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूंकि $L \propto n^2$,यदि प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ को तीन गुना $(n' = 3n)$ कर दिया जाए,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ होगा:
$L' = \mu_0 (3n)^2 A l = 9 (\mu_0 n^2 A l) = 9L$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $9$ गुना हो जाएगा।

(A) एक परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूँकि दोनों परिनालिकाओं के लिए $N$ समान है,इसलिए $L \propto \frac{r^2}{l}$ होगा।
लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 = 1 : 3$ और त्रिज्या का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 3$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.
अतः,उनके स्व-प्रेरकत्व का अनुपात $1: 3$ है।

(D) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ कुंडली की लंबाई है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि जब लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहते हैं,तो $L \propto N^2$ होता है।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या $N$ को $3$ गुना $(N' = 3N)$ कर दिया जाता है,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ होगा:
$L' \propto (N')^2 = (3N)^2 = 9N^2$.
इसलिए,$L' = 9L$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $9$ गुना हो जाता है।

(C) एयर-कोर्ड कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} = 0.1 \ H$ द्वारा दिया जाता है।
जब $1000$ सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r = 1000)$ वाली सॉफ्ट आयरन कोर डाली जाती है और फेरों की संख्या $N$ को बदलकर $N' = \frac{N}{10}$ कर दिया जाता है,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ इस प्रकार होगा:
$L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$.
दोनों का अनुपात लेने पर:
$\frac{L'}{L} = \frac{\mu_r (N')^2}{N^2} = \mu_r \left(\frac{N/10}{N}\right)^2 = 1000 \times \left(\frac{1}{10}\right)^2$.
$\frac{L'}{L} = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
अतः,$L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$.

(D) एक प्रेरक से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\phi = LI$,जहाँ $L$ प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस समीकरण की तुलना मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,हमें $m = \frac{\phi}{I} = L$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\phi-I$ ग्राफ का ढाल (slope) प्रेरक के प्रेरकत्व $(L)$ को दर्शाता है।
चूंकि दी गई सभी रेखाओं में रेखा $S$ का ढाल सबसे कम है,इसलिए प्रेरक $S$ का स्व-प्रेरकत्व न्यूनतम है।