Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ $C_1$ અને $C_2$ છે.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેપેસિટન્સ $\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 3\,\mu F$ થાય છે. (સમીકરણ $1$)
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_1 + C_2 = 16\,\mu F$ થાય છે. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$C_1 C_2 = 3 \times 16 = 48$.
આપણી પાસે સરવાળો $C_1 + C_2 = 16$ અને ગુણાકાર $C_1 C_2 = 48$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 16x + 48 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(x - 12)(x - 4) = 0$.
આમ,$x = 12$ અથવા $x = 4$.
તેથી,કેપેસિટન્સ $12\,\mu F$ અને $4\,\mu F$ છે.

(NONE) આ પરિપથ સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_1 = \frac{C}{2}$.
$2$. નીચેની શાખામાં પણ $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ એ $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_2 = \frac{C}{2}$.
$3$. આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$ થાય છે.

(A) કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે,$V = 10\,V$.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V = 2\,\mu F \times 10\,V = 20\,\mu C$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V = x\,\mu F \times 10\,V = 10x\,\mu C$ છે.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_3 = C_3 V = 3\,\mu F \times 10\,V = 30\,\mu C$ છે.
સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ છે.
આપેલ છે કે $Q_{total} = 100\,\mu C$,તેથી:
$20 + 10x + 30 = 100$
$50 + 10x = 100$
$10x = 50$
$x = 5$.

(B) આપેલ પરિપથમાં,બે $3\,\mu F$ ના કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p$ નીચે મુજબ મળે:
$C_p = 3\,\mu F + 3\,\mu F = 6\,\mu F$
હવે,આ $C_p$ એ બીજા $3\,\mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = \frac{C_p \times 3\,\mu F}{C_p + 3\,\mu F} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\,\mu F$

(D) આપેલ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે તેની ભુજાઓમાં રહેલા કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર સમાન છે $(2 \mu F / 2 \mu F = 2 \mu F / 2 \mu F)$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,વચ્ચેના કેપેસિટરમાં કોઈ વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત થતો નથી,તેથી તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
વચ્ચેના કેપેસિટરને દૂર કર્યા પછી,પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે $2 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ઉપરની શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$1/C_1 = 1/2 + 1/2 = 1 \implies C_1 = 1 \mu F$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$:
$1/C_2 = 1/2 + 1/2 = 1 \implies C_2 = 1 \mu F$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$:
$C_{AB} = C_1 + C_2 = 1 \mu F + 1 \mu F = 2 \mu F$.

(C) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = +80 \ \mu C$ એ $4 \ \mu F$ કેપેસિટરને આપવામાં આવે છે. આ વિદ્યુતભાર ત્યારબાદ $2 \ \mu F$ અને $3 \ \mu F$ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ વચ્ચે વહેંચાય છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 2 \ \mu F + 3 \ \mu F = 5 \ \mu F$ છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ એ સમાંતર કેપેસિટરો પર તેમના કેપેસિટન્સના પ્રમાણમાં વહેંચાય છે. $3 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_3$ એ વિદ્યુતભાર વિભાજનના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$q_3 = \left( \frac{C_3}{C_2 + C_3} \right) \cdot Q$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q_3 = \left( \frac{3 \ \mu F}{2 \ \mu F + 3 \ \mu F} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \ \mu C$
$q_3 = 3 \times 16 \ \mu C = 48 \ \mu C$
આમ,$3 \ \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $+48 \ \mu C$ છે.

(D) આપેલ પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે નોડ્સને નામ આપી શકીએ છીએ. ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
જોડાણોને ટ્રેસ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચારેય કેપેસીટર બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસીટર માટે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ સમાન $C = 16 \mu F$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$C_{eq} = 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F + 16 \mu F = 64 \mu F$.
તેથી,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $64 \mu F$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ છે. પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે.
પરિપથનું અવલોકન કરતા,$2 \ \mu F$ કેપેસિટર (ઉપરનું) અને $2 \ \mu F$ કેપેસિટર (જમણી બાજુનું) શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$,તેથી $C_1 = 1 \ \mu F$.
આ $C_1$ એ $1 \ \mu F$ કેપેસિટર (વચ્ચેનું) સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 1 + 1 = 2 \ \mu F$ થાય.
અંતે,આ $C_2$ એ $2 \ \mu F$ કેપેસિટર (નીચેનું) સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ માટે: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,$C_{AB} = 1 \ \mu F$ મળે છે.

(A) કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે. ધારો કે બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે. $C_1$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 40 - V_B$ છે. $C_2$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_C = V_B - 10$ છે. કારણ કે વિદ્યુતભાર $q = CV$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $C_1(V_A - V_B) = C_2(V_B - V_C)$ થાય. આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2(40 - V_B) = 3(V_B - 10)$. આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $80 - 2V_B = 3V_B - 30$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા,$5V_B = 110$,જે $V_B = 22 \ V$ આપે છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે: $C_1 = 3 \mu F$,$C_2 = 2 \mu F$.
કેપેસિટરના બે છેડે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $Q$ સમાન હોવાથી,$V \propto \frac{1}{C}$ થાય.
તેથી,$C_2$ અને $C_1$ ના બે છેડે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{Q/C_2}{Q/C_1} = \frac{C_1}{C_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3 \mu F}{2 \mu F} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(D) ધારો કે ચાર કેપેસિટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ ડાબેથી જમણે હરોળમાં છે.
ટર્મિનલ $A$ એ $C_1$ ની ડાબી પ્લેટ સાથે જોડાયેલ છે.
$C_1$ ની જમણી પ્લેટ,$C_2$ ની ડાબી પ્લેટ અને $C_4$ ની જમણી પ્લેટ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે.
$C_2$ ની જમણી પ્લેટ અને $C_3$ ની ડાબી પ્લેટ જોડાયેલ છે.
$C_3$ ની જમણી પ્લેટ અને $C_4$ ની ડાબી પ્લેટ ટર્મિનલ $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $C_1, C_2, C_3$ શ્રેણીમાં છે અને આ સંયોજન $C_4$ સાથે સમાંતર છે.
ત્રણ કેપેસિટરનું શ્રેણીમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_s = \frac{C}{3}$.
હવે,આ $C_s$ ચોથા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સંબંધ $Q = CV$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે દરેક કેપેસિટર પરના સ્થિતિમાનના તફાવતને $V_i = \frac{Q}{C_i}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર માટે $Q$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ એ કેપેસિટન્સ $C_i$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$ થાય.
આમ,$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$ મળે છે.

(A) $C_1$ મૂલ્યના $10$ કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{C_1}{10}$ છે.
પ્રથમ જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (4V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{10} \right) (16V^2) = \frac{16}{20} C_1 V^2 = \frac{4}{5} C_1 V^2$ છે.
$C_2$ મૂલ્યના $8$ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq2} = 8C_2$ છે.
બીજા જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} (8C_2) V^2 = 4 C_2 V^2$ છે.
આપેલ છે કે $U_1 = U_2$,તેથી $\frac{4}{5} C_1 V^2 = 4 C_2 V^2$.
બંને બાજુ $4V^2$ વડે ભાગતા,આપણને $C_2 = \frac{C_1}{5}$ મળે છે.

(D) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસીટરો માટે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
અહીં $C_1 = C_2 = C_3 = C$ હોવાથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$ મળે.
તેથી,$C_{eq} = \frac{C}{3}$.
જ્યારે કેપેસીટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ એ દરેક કેપેસીટરના વ્યક્તિગત બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો હોય છે,જો તેઓ સમાન હોય.
તેથી,કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{total} = V + V + V = 3 V$ થાય.
આમ,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $\frac{C}{3}$ અને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $3 V$ છે.

(C) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ઉપરની શાખામાં ત્રણ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1 = C + C + C = 3C$ થશે.
નીચેની શાખામાં બે કેપેસિટર શ્રેણી જોડાણમાં છે. આ શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ થશે.
આ બંને શાખાઓ ($C_1$ અને $C_2$) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
તેથી,પરિણામી કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 14 \mu F$,તેથી $14 = 3C + \frac{C}{2}$.
$14 = \frac{6C + C}{2} = \frac{7C}{2}$.
$7C = 28$,જે આપણને $C = 4 \mu F$ આપે છે.

(B) $1$. $P$ અને $R$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PR})$ શોધવા માટે: $P-Q-R$ માર્ગમાં બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/2$ આપે છે. $P-T-S-R$ માર્ગમાં ત્રણ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/3$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PR} = C/2 + C/3 = 5C/6$.
$2$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{PQ})$ શોધવા માટે: $P-Q$ માર્ગમાં એક કેપેસિટર $C$ છે. $P-T-S-R-Q$ માર્ગમાં ચાર કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $C/4$ આપે છે. આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$C_{PQ} = C + C/4 = 5C/4$.
$3$. ગુણોત્તર $C_{PR} / C_{PQ} = (5C/6) / (5C/4) = 4/6 = 2/3$.

(C) $1$. પ્રથમ,$2 \mu F$ અને $4 \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો.
$C_p = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$.
$2$. હવે,સર્કિટમાં $4 \mu F$ કેપેસિટર અને સમતુલ્ય $6 \mu F$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જે $9 V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
$3$. સમગ્ર સર્કિટનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{3 + 2}{12 \mu F} = \frac{5}{12 \mu F}$.
$C_{eq} = \frac{12}{5} \mu F = 2.4 \mu F$.
$4$. બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $(Q)$:
$Q = C_{eq} \times V = 2.4 \mu F \times 9 V = 21.6 \mu C$.
$5$. $4 \mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q = 21.6 \mu C$ વહેશે.
$6$. $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{21.6 \mu C}{4 \mu F} = 5.4 V$.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આપણે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{6}{13} \mu F$ મેળવવું છે.
જો આપણે $3$ કેપેસિટરોને સમાંતર જોડીએ,તો તેમનું કેપેસિટન્સ $C_p = 3C = 6 \mu F$ થાય.
હવે,આ જૂથને બાકીના $4$ કેપેસિટરો સાથે શ્રેણીમાં જોડતા,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{4}{C} = \frac{1 + 12}{3C} = \frac{13}{3C}$ મળે.
તેથી,$C_{eq} = \frac{3C}{13} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13} \mu F$.
આમ,સાચો જવાબ $3$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં અને $4$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C + C = 3C$ થાય.
આ સંયોજનને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{1+3}{3C} = \frac{4}{3C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{3C}{4}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 4.5 \mu F$,તેથી:
$4.5 = \frac{3C}{4}$
$C = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6 \mu F$.

(C) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $V = 5 \text{ V}$,$C_1 = 2C$,અને $C_2 = C$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q_1 = C_1 V = (2C)(5) = 10C \text{ C}$.
$Q_2 = C_2 V = (C)(5) = 5C \text{ C}$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} (2C) (5)^2 = 25C \text{ J}$.
$E_2 = \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (C) (5)^2 = 12.5C \text{ J}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{E_1-E_2}{Q_1-Q_2} = \frac{25C - 12.5C}{10C - 5C} = \frac{12.5C}{5C} = \frac{12.5}{5} = 2.5 = \frac{5}{2}$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$
તેથી,$C_{s} = \frac{C}{3}$.
આ જોડાણને બીજા એક $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા સમાન કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ થશે:
$C_{eq} = C_{s} + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$.

(A) પરિપથ બે મુખ્ય ભાગોનો બનેલો છે જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$1$. પ્રથમ ભાગ (ડાબી બાજુ) ઇનપુટ નોડ અને મધ્યવર્તી નોડ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સનો બનેલો છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = C + C + C = 3C$ છે.
$2$. બીજો ભાગ (જમણી બાજુ) મધ્યવર્તી નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સનો બનેલો છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = C + C + C = 3C$ છે.
$3$. હવે,આ બે સમતુલ્ય કેપેસિટર્સ $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$.
$5$. તેથી,$C_{AB} = \frac{3C}{2} = 1.5C$.

(A) ધારો કે $m$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે અને $n$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેથી કુલ કેપેસિટરની સંખ્યા $m + n = 7$ થાય.
$m$ કેપેસિટર સમાંતરમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = mC$ થાય.
$n$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = C/n$ થાય.
જ્યારે આ બે જૂથો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{\text{net}}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{mC} + \frac{n}{C} = \frac{1 + mn}{mC}$.
આપેલ છે કે $C_{\text{net}} = \frac{10}{11} \mu F$ અને $C = 2 \mu F$:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + mn}{2m} \implies \frac{11}{5} = \frac{1 + mn}{m} = \frac{1}{m} + n$.
વિકલ્પો ચકાસતા જ્યાં $m + n = 7$:
જો $m = 5$ અને $n = 2$ હોય,તો $\frac{1}{5} + 2 = 0.2 + 2 = 2.2 = \frac{11}{5}$.
આ મૂલ્ય જરૂરી મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં અને $2$ શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ.

(D) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કેપેસિટર્સ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\|} = nC$ છે.
$n=4$ માટે,$C_{\|} = 4C$.
શ્રેણી જોડાણમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કેપેસિટર્સ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s} = \frac{C}{n}$ છે.
$n=4$ માટે,$C_{s} = \frac{C}{4}$.
શ્રેણી જોડાણ અને સમાંતર જોડાણના સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_{s}}{C_{\|}} = \frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 16$ છે.

(D) આ કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેથી,$C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$.
બીજા ભાગ માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d+b$ છે. તેથી,$C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d+b} = \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)}$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C = C_1 + C_2$ થશે.
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} + \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)} = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{1}{d} + \frac{1}{d+b} \right]$.
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{d+b+d}{d(d+b)} \right] = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{2d+b}{d(d+b)} \right]$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} \left[ \frac{2d+b}{d+b} \right]$ મળે છે.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_1 = 1C$,$C_2 = 2C$,અને $C_3 = 3C$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$C_{eq} = \frac{6}{11}C$
આ શાખા $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે કેપેસિટર $C_4 = 4C$ ની સમાંતર જોડાયેલી હોવાથી,શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે.
શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતભાર ($C_1, C_2,$ અને $C_3$ માટે સમાન) છે:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
કેપેસિટર $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર છે:
$Q_4 = C_4 V = (4C)V = 4CV$
$C_2$ પરના વિદ્યુતભાર અને $C_4$ પરના વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર છે:
$\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(D) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 10 \ V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q = C \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ કેપેસિટર માટે:
$Q_1 = C_1 \Delta V = (2C) \Delta V = 2C \Delta V$
$Q_2 = C_2 \Delta V = (C) \Delta V = C \Delta V$
$Q_3 = C_3 \Delta V = (C/2) \Delta V = 0.5C \Delta V$
હવે,$Q_1: Q_2: Q_3$ નો ગુણોત્તર:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2C \Delta V : C \Delta V : 0.5C \Delta V$
$C \Delta V$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2 : 1 : 0.5$
પૂર્ણાંકમાં દર્શાવવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 4 : 2 : 1$.

(D) પરિપથની સંમિતિને કારણે સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા નોડ્સને ઓળખીને પરિપથને સરળ બનાવી શકાય છે. ધારો કે મધ્યવર્તી નોડ્સ $P$ અને $Q$ છે.
સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીને,પરિપથને શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સમાંતર શાખાઓ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
દરેક શાખામાં સમાંતર જોડાણમાં કેપેસિટર હોય છે.
પ્રથમ ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ છે.
બીજા ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ છે.
આ બંને ભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{6 C} = \frac{2}{6 C} = \frac{1}{3 C}$.
તેથી,$C_{AB} = 3 C$.

(D) આકૃતિ પરથી,$2 C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સ બિંદુ $A$ અને બિંદુ $P$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AP}$:
$C_{AP} = 2 C + 2 C + 2 C = 6 C$
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_{AP}$ એ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે કેપેસિટર $C^{\prime}$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર્સ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{AP}} + \frac{1}{C^{\prime}}$
આપેલ છે કે $C_{AB} = 3 C$,તેથી:
$\frac{1}{3 C} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{C^{\prime}}$
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{1}{3 C} - \frac{1}{6 C} = \frac{2 - 1}{6 C} = \frac{1}{6 C}$
તેથી,$C^{\prime} = 6 C$.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,$P$ અને $M$ વચ્ચે,તથા $M$ અને $R$ વચ્ચે જોડાયેલા કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{PM R} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
આ સંયોજન $P$ અને $R$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે. તેથી,$P$ અને $R$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{PR} = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$ થાય.
હવે,આ સંયોજન $A-P$ અને $R-B$ વચ્ચે જોડાયેલા બે કેપેસિટર્સ સાથે શ્રેણીમાં છે. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,$A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ મળે છે:
$1$. $A-P-M-R-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/3$ છે.
$2$. $A-P-R-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/2$ છે.
$3$. $A-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/2$ છે.
આ બધાનો સરવાળો કરતા $C_{eq} = \frac{C}{3} + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = \frac{4C}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 6 \mu F$ છે.
પરિપથને જોતા,$C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{13} = 3 \mu F$ મળે છે.
હવે,$C_{13}$ એ $C_2$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{123} = C_{13} + C_2 = 3 + 6 = 9 \mu F$ થાય.
અંતે,$C_{123}$ એ $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{18}{5} = 3.6 \mu F$ મળે છે.

(C) $1$. નીચે જમણી બાજુએ રહેલા $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C = 2 C$ થાય.
$2$. આ $C_p = 2 C$ તેની ઉપર રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{2}{2 C} = \frac{1}{C}$,તેથી $C_s = C$.
$3$. આ $C_s = C$ વચ્ચે રહેલા $C$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p' = C + C = 2 C$ થાય.
$4$. આ $C_p' = 2 C$ તેની ઉપર રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s'$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s'} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{1}{C}$,તેથી $C_s' = C$.
$5$. અંતે,આ $C_s' = C$ ડાબી બાજુએ રહેલા $2 C$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2 C = 3 C$ થાય.

(C) કેપેસિટર્સ $C_2$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_p = C_2 + C_3 = 8 \ \mu F + 4 \ \mu F = 12 \ \mu F$
હવે,$C_p$ અને $C_1$ શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_p}{C_1 + C_p} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \mu F$
આ જોડાણ દ્વારા સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર:
$q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 900 \ V = 3600 \ \mu C$
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પર વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે. તેથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $3600 \ \mu C$ છે.
$C_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{3600 \ \mu C}{6 \ \mu F} = 600 \ V$
કારણ કે $V_A - V_P = V_1$,તેથી:
$900 \ V - V_P = 600 \ V$
$V_P = 900 \ V - 600 \ V = 300 \ V$

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
$\frac{1}{C} = \frac{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}{C_1 C_2 C_3}$.
તેથી,$C = \frac{C_1 C_2 C_3}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$.
સંયોજન દ્વારા સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $Q = CV = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ જેટલો હોય છે.
તેથી,કેપેસિટર $C_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_1 = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_1 (C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2)} = \frac{C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
જ્યારે બે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_s = \frac{C}{2}$.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_p = C + C = 2C$.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના પરિણામી કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_s}{C_p} = \frac{C/2}{2C} = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{4}{C}$ પરથી $C_{1} = \frac{C}{4}$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2} = C + C + C + C = 4C$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{C_{2}}{C_{1}} = \frac{4C}{C/4} = 4 \times 4 = 16$.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બધા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે.
સંબંધ $Q = C V$ મુજબ,દરેક કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i = \frac{Q}{C_i}$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $Q$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ એ કેપેસિટન્સ $C_i$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3$ નીચે મુજબ મળે:
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$

(C) ધારો કે $n$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આ સમાંતર જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = nC = 2n \mu F$ છે.
ધારો કે આવા $m$ જૂથો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $N = n \times m = 7$ છે.
શ્રેણીમાં આવા $m$ જૂથોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{m}{C_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$,તેથી $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $11n = 5m$. કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $7$ હોવાથી,આ વિકલ્પોની ચકાસણી કરતા,$5$ શ્રેણીમાં અને $2$ સમાંતરમાં જોડાણ સૌથી નજીકનું પરિણામ આપે છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન કેપેસિટર $C_{4}$ સાથે સમાંતરમાં છે.
આપેલ છે: $C_{1} = C$,$C_{2} = 2C$,$C_{3} = 3C$,અને $C_{4} = 4C$.
$C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ ના શ્રેણી સંયોજનનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$\Rightarrow C_{eq} = \frac{6}{11}C$
શ્રેણી સંયોજન પરનો વિદ્યુતભાર (જે દરેક કેપેસિટર $C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ માટે સમાન છે) છે:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
કેમ કે $C_{2}$ આ શ્રેણી શાખામાં છે,તેથી $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{2} = \frac{6}{11}CV$ થશે.
કેપેસિટર $C_{4}$ પરનો વિદ્યુતભાર (જે બેટરી સાથે સમાંતરમાં છે) છે:
$Q_{4} = C_{4} V = (4C)V = 4CV$
$C_{2}$ અને $C_{4}$ પરના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{2}}{Q_{4}} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(B) $1$. પ્રથમ, $C$ અને $2C$ ના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો। સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, $C_p = C + 2C = 3C$.
$2$. હવે, આ સંયોજન $(C_p = 3C)$ એ $3C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$ દ્વારા મળે છે, તેથી $C_{eq} = \frac{3C}{2}$.
$4$. સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = \frac{3CV}{2}$ છે.
$5$. શ્રેણી પરિપથમાં, દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે। તેથી, $3C$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{3CV}{2}$ છે અને સમાંતર જોડાણ $(C_p = 3C)$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{3CV}{2}$ છે.
$6$. સમાંતર જોડાણ માટે, બંને કેપેસિટર ($C$ અને $2C$) પરનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે। ધારો કે આ વોલ્ટેજ $V'$ છે। $V' = \frac{Q_{parallel}}{C_p} = \frac{3CV/2}{3C} = \frac{V}{2}$.
$7$. $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V' = C \times \frac{V}{2} = \frac{CV}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે,પરિણામી કેપેસિટન્સ,$C_{eq} = 2 \mu F$.
આકૃતિ પરથી,પાંચેય કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી જોડાણમાં કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{5}{C}$
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2 \mu F} = \frac{5}{C}$
$C = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$
તેથી,દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $10 \mu F$ છે.

(A) ધારો કે $C_1 = 2 \mu F$,$C_2 = 4 \mu F$,અને $C_3 = 6 \mu F$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6 \mu F$ થાય.
હવે,$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે. આખા પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_p \times C_3}{C_p + C_3} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \mu F$ થાય.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ છે.
$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમાંતર જોડાણ $(C_p)$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $36 \mu C$ જ રહેશે.
આ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે તેમના કેપેસિટન્સના પ્રમાણમાં વહેંચાશે:
$Q_1 = Q \times \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = 36 \mu C \times \left( \frac{2}{2 + 4} \right) = 36 \times \frac{2}{6} = 12 \mu C$.
આમ,$2 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $12 \mu C$ છે.

(A) આ પરિપથમાં એક $3 \mu F$ નો કેપેસિટર,બે $1.5 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે ત્યારબાદ બીજા $3 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$1$. પ્રથમ,સમાંતરમાં રહેલા બે $1.5 \mu F$ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો: $C_p = 1.5 \mu F + 1.5 \mu F = 3 \mu F$.
$2$. હવે,પરિપથ ત્રણ $3 \mu F$ ના કેપેસિટરોનું શ્રેણી જોડાણ બની જાય છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \mu F^{-1}$.
$5$. તેથી,$C_{eq} = 1 \mu F$.

(D) ધારો કે સમાંતરમાં $n$ કેપેસિટર છે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આ સમાંતર શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = nC = 2n \mu F$ છે.
ધારો કે આવી $m$ શાખાઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$ આપેલ છે અને કુલ કેપેસિટરની સંખ્યા $n \times m = 7$ છે.
સમીકરણ $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$ પરથી,$\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ મળે છે.
આમ,$5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં અને $2$ શ્રેણીમાં લેતા પરિણામી કેપેસિટન્સ $\frac{10}{11} \mu F$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C + C = 3C$ થાય છે.
હવે,આ સંયોજનને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
પરિણામી સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ શ્રેણી જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{1 + 3}{3C} = \frac{4}{3C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{3C}{4}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 3.75 \mu F$,તેથી:
$3.75 = \frac{3C}{4}$
$C = \frac{3.75 \times 4}{3} = 1.25 \times 4 = 5.00 \mu F$.
આમ,દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $5 \mu F$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A'$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d'$ એ અંતર છે.
દરેક કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{3}$ હોવાથી,વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d}$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{6d}$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/3)}{3d} = \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} + \frac{\varepsilon_0 A}{6d} + \frac{\varepsilon_0 A}{9d}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \right)$
$3, 6, 9$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $18$ લેતા:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{6 + 3 + 2}{18} \right) = \frac{11 \varepsilon_0 A}{18d}$

(B) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટરનું અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_p = C + C + C = 3C$ થાય છે.
આ સંયોજનને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં બે કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = \frac{C_p \times C}{C_p + C}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3.75 = \frac{3C \times C}{3C + C}$
$3.75 = \frac{3C^2}{4C}$
$3.75 = \frac{3}{4}C$
$C = \frac{3.75 \times 4}{3}$
$C = 1.25 \times 4 = 5 \mu F$
તેથી, દરેક કેપેસિટરની ક્ષમતા $5 \mu F$ છે.

(B) $3 \mu F$ અને $6 \mu F$ ના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ થાય.
આ $C_p$ એ $4.5 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4.5 \times 9}{4.5 + 9} = \frac{40.5}{13.5} = 3 \mu F$ થાય.
$12 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ છે.
$4.5 \mu F$ નું કેપેસિટર આ સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેના પરનો વિદ્યુતભાર કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 36 \mu C$ જેટલો જ હોય.
તેથી,$4.5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{4.5} = \frac{Q}{C} = \frac{36 \mu C}{4.5 \mu F} = 8 \text{ V}$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
કેપેસિટર્સ $C_1 = 2 \ \mu F$ અને $C_2 = 3 \ \mu F$ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને કેપેસિટર્સ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહેશે.
$C_1$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 40 - V$ છે.
તેથી,$Q = C_1(V_A - V_B) = 2(40 - V)$.
$C_2$ ની આસપાસનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_C = V - 10$ છે.
તેથી,$Q = C_2(V_B - V_C) = 3(V - 10)$.
વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી:
$2(40 - V) = 3(V - 10)$
$80 - 2V = 3V - 30$
$5V = 110$
$V = 22 \ V$.