Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Gujarati

(A) સાચી ગોઠવણી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે,જ્યાં બે કેપેસિટરો ($C_2$ અને $C_3$) સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,અને આ સંયોજન અન્ય બે કેપેસિટરો ($C_1$ અને $C_4$) સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે.
આપેલ છે: $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = 4 \mu F$.
પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_p)$ ગણો:
$C_p = C_2 + C_3 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
હવે,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})$ એ $C_1$,$C_p$ અને $C_4$ નું શ્રેણી જોડાણ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{2 + 1 + 2}{8} = \frac{5}{8} \mu F^{-1}$.
$C_{eq} = \frac{8}{5} \mu F = 1.6 \mu F$.

(B) આ પરિપથ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે ભાગોનો બનેલો છે.
પ્રથમ ભાગ (ડાબી બાજુ): ઉપરની શાખામાં $C$ કેપેસિટન્સના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે અને નીચેની શાખામાં પણ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. વચ્ચેનું કેપેસિટર આ શાખાઓ સાથે સમાંતર છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ = $C/2$.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ = $C/2$.
આ બે શાખાઓ વચ્ચેના કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર છે.
તેથી,$C_{eq1} = C/2 + C/2 + C = 2C$.
બીજો ભાગ (જમણી બાજુ): ઉપરની શાખામાં $C$ કેપેસિટન્સના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે અને નીચેની શાખામાં પણ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ = $C/2$.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ = $C/2$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે.
તેથી,$C_{eq2} = C/2 + C/2 = C$.
હવે,$C_{eq1}$ અને $C_{eq2}$ શ્રેણીમાં છે.
$C_{eq} = \frac{C_{eq1} \times C_{eq2}}{C_{eq1} + C_{eq2}} = \frac{2C \times C}{2C + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2C}{3}$.
આપેલ છે કે $C = 3 \mu F$,તેથી:
$C_{eq} = \frac{2 \times 3 \mu F}{3} = 2 \mu F$.

(A) આપેલ સિસ્ટમ ચાર પ્લેટોની બનેલી છે. ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટ $1$ અને $3$ બિંદુ $A$ સાથે જોડાયેલ છે,અને પ્લેટ $2$ અને $4$ બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલ છે.
આ ત્રણ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવે છે જે સમાંતર જોડાણમાં છે:
$1$. પ્લેટ $1$ અને $2$ દ્વારા બનતું કેપેસિટર,જેનું અંતર $2d$ છે: $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
$2$. પ્લેટ $2$ અને $3$ દ્વારા બનતું કેપેસિટર,જેનું અંતર $d$ છે: $C_2 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$
$3$. પ્લેટ $3$ અને $4$ દ્વારા બનતું કેપેસિટર,જેનું અંતર $2d$ છે: $C_3 = \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
આ કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ થશે:
$C_{AB} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{AB} = \frac{A \varepsilon_0}{2d} + \frac{A \varepsilon_0}{d} + \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
$C_{AB} = \frac{A \varepsilon_0 + 2A \varepsilon_0 + A \varepsilon_0}{2d} = \frac{4A \varepsilon_0}{2d} = \frac{2A \varepsilon_0}{d}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આ ગોઠવણીમાં ત્રણ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે.
દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2$ લો.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,આપણે ત્રણ કેપેસિટર ઓળખીએ છીએ:
$C_1$ જે પ્લેટ $1$ અને $2$ દ્વારા $3d$ અંતરે બને છે: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$.
$C_2$ જે પ્લેટ $3$ અને $4$ દ્વારા $d$ અંતરે બને છે: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d}$.
$C_3$ જે પ્લેટ $5$ અને $6$ દ્વારા $3d$ અંતરે બને છે: $C_3 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$.
આ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d} + \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} + \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} (\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}) = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} (\frac{1+3+1}{3}) = \frac{5 \varepsilon_0 l^2}{3d}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
$C_1 = 2 \mu F$ અને $C_2 = 4 \mu F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર માટે,સંગ્રહિત ઉર્જા અનુક્રમે $U_1 = \frac{Q^2}{2C_1}$ અને $U_2 = \frac{Q^2}{2C_2}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{Q^2 / 2C_1}{Q^2 / 2C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \mu F}{2 \mu F} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(D) આપેલ પરિપથને સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
મધ્યના કેપેસીટરને દૂર કર્યા પછી,ઉપરના બે કેપેસીટર ($4 \mu F$ અને $4 \mu F$) શ્રેણીમાં છે,અને નીચેના બે કેપેસીટર ($4 \mu F$ અને $4 \mu F$) શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ છે.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ થાય છે.

(A) આ પરિપથમાં $C_1 = 2 \mu F$ કેપેસીટર એ $C_2 = 6 \mu F$ અને $C_3 = 3 \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પ્રથમ,$C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C'$ શોધો:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$
તેથી,$C' = 2 \mu F$.
હવે,$C_1$ અને $C'$ ના સમાંતર જોડાણનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ શોધો:
$C_{eq} = C_1 + C' = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$.
આમ,અસરકારક કેપેસીટન્સ $4 \mu F$ છે.

(A) જ્યારે ત્રણેય કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે અસરકારક કેપેસિટન્સ ન્યૂનતમ મળે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eff}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
અહીં $C_1 = 1 \ pF$,$C_2 = 2 \ pF$,અને $C_3 = 4 \ pF$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{4 + 2 + 1}{4} = \frac{7}{4} \ pF^{-1}$
તેથી,$C_{eff} = \frac{4}{7} \ pF$.

(B) સૌ પ્રથમ, $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માટે આપણે પરિપથને સરળ બનાવીએ।
$1$. વચ્ચેના બે $3 \, \mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3 \, \mu F + 3 \, \mu F = 6 \, \mu F$ થાય.
$2$. હવે, પરિપથમાં ચાર કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે: $6 \, \mu F$, $3 \, \mu F$, $6 \, \mu F$ (સમાંતર જોડાણનું પરિણામ) અને $3 \, \mu F$.
$3$. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ રીતે મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2+1+2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \, \mu F^{-1}$. તેથી, $C_{eq} = 1 \, \mu F$.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} \times V = 1 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ છે.
$5$. બધા કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, દરેક કેપેસિટરમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $q = 60 \, \mu C$ પસાર થાય છે.
$6$. $6 \, \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C} = \frac{60 \, \mu C}{6 \, \mu F} = 10 \, V$ થાય.

(B) આ પરિપથમાં $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
દરેક શાખામાં $1 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
વચ્ચેનું કેપેસિટર ઉપરના અને નીચેના વાયર વચ્ચે જોડાયેલું છે,પરંતુ તે $A$ અને $B$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને એવી રીતે અસર કરતું નથી કે જેથી બાહ્ય શાખાઓનું શ્રેણી-સમાંતર જોડાણ બદલાય.
ડાબી શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{1 \mu F} + \frac{1}{1 \mu F} = 2 \mu F^{-1}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_1 = 0.5 \mu F$.
તે જ રીતે,જમણી શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 0.5 \mu F$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB} = C_1 + C_2 = 0.5 \mu F + 0.5 \mu F = 1 \mu F$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p} = C + C = 2C$ થાય છે.
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $C_{s} = \frac{C}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ વચ્ચેનો તફાવત $6 \mu F$ છે:
$C_{p} - C_{s} = 6 \mu F$
$2C - \frac{C}{2} = 6 \mu F$
$\frac{3C}{2} = 6 \mu F$
$3C = 12 \mu F$
$C = 4 \mu F$.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણી નીચે મુજબ સમજી શકીએ છીએ:
$1$. બે $ 100 pF $ ના કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $ C_1 $ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} = \frac{2}{100} \implies C_1 = 50 pF$.
$2$. આ $ C_1 = 50 pF $ એ ઉપરના $ 50 pF $ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. ધારો કે આ સમાંતર જોડાણ $ C_2 $ છે. $ C_2 = 50 pF + 50 pF = 100 pF$.
$3$. અંતે,આ $ C_2 = 100 pF $ એ ટર્મિનલ $ B $ સાથે જોડાયેલા નીચેના $ 50 pF $ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $ C_{AB} $ આ મુજબ થશે: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50} = \frac{1+2}{100} = \frac{3}{100}$.
$4$. તેથી,$ C_{AB} = \frac{100}{3} pF $.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \mu F$ છે.
પરિપથને જોતા,આપણે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી બે શાખાઓ જોઈ શકીએ છીએ.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર છે.
ઉપરની શાખા માટે,$4 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$1/C_1 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_1 = 2 \mu F$.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,$4 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$1/C_2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_2 = 2 \mu F$.
હવે,આ બંને શાખાઓ ($C_1$ અને $C_2$) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
તેથી,અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$.

(C) ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે $1, 2, 3, 4$ ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે.
પ્લેટ $1$ એ $X$ સાથે જોડાયેલી છે.
પ્લેટ $2$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલી છે.
પ્લેટ $3$ એ $Y$ સાથે જોડાયેલી છે.
પાસપાસેની પ્લેટો વચ્ચે ત્રણ કેપેસીટર બને છે:
પ્લેટ $1$ અને $2$ વચ્ચે $C_1$,પ્લેટ $2$ અને $3$ વચ્ચે $C_2$,અને પ્લેટ $3$ અને $4$ વચ્ચે $C_3$.
દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ એ $V_X$ પોટેન્શિયલ પર છે. પ્લેટ $3$ એ $V_Y$ પોટેન્શિયલ પર છે.
પ્લેટ $2$ અને $4$ સમાન પોટેન્શિયલ $V_P$ પર છે.
કેપેસીટર $C_1$ એ $X$ અને $P$ વચ્ચે છે. કેપેસીટર $C_2$ એ $P$ અને $Y$ વચ્ચે છે. કેપેસીટર $C_3$ એ $Y$ અને $P$ વચ્ચે છે.
કેપેસીટર $C_2$ અને $C_3$ એ $P$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2 + C_3 = 2C$ થાય.
આ સંયોજન $C_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{2}{3} C = \frac{2}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.

(C) સૌ પ્રથમ, કેપેસિટર $C$ ની જમણી બાજુના નેટવર્કને સરળ બનાવો। $6 \mu F$ અને $12 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{6,12} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 \mu F$. આ $4 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે, તેથી $C_{p1} = 4 + 2 = 6 \mu F$. આ $6 \mu F$ એ $4 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{s1} = \frac{6 \times 4}{6 + 4} = 2.4 \mu F$.
ત્યારબાદ, $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{1,2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \mu F$. આ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે, તેથી $C_{p2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે, તેથી $C_{eq_rest} = 2.4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{5} + \frac{8}{3} = \frac{36 + 40}{15} = \frac{76}{15} \mu F$.
અંતે, આ $8 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{total_rest} = \frac{(\frac{76}{15}) \times 8}{(\frac{76}{15}) + 8} = \frac{608}{76 + 120} = \frac{608}{196} = \frac{152}{49} \mu F$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $3 \mu F$ આપેલ હોવાથી, $\frac{C \times (152/49)}{C + (152/49)} = 3$. $C$ માટે ઉકેલતા $C = 48 \mu F$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેપેસિટર બે જૂથોમાં ગોઠવાયેલા છે.
પ્રથમ જૂથમાં,ત્રણ કેપેસિટર ઇનપુટ અને મધ્યવર્તી નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,આ જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{123} = C + C + C = 3 C$ થાય.
તે જ રીતે,બીજા જૂથમાં,ત્રણ કેપેસિટર મધ્યવર્તી નોડ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,આ જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{456} = C + C + C = 3 C$ થાય.
આ બંને જૂથો એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_{123} \times C_{456}}{C_{123} + C_{456}} = \frac{(3 C)(3 C)}{3 C + 3 C} = \frac{9 C^2}{6 C} = 1.5 C$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટરનું અસરકારક કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} = \frac{2+1}{4 \mu F} = \frac{3}{4 \mu F}$.
તેથી,$C = \frac{4}{3} \mu F = \frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = C V$ છે.
$Q = (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times 6 \text{ V} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} = 8 \mu C$.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6 \text{ V})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 10^{-6} \times 36 = 24 \times 10^{-6} \text{ J} = 24 \mu J$.

(C) આપેલ છે, $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = C_5 = 4 \mu F$.
પરિપથને જોતા, આપણે ઓળખી શકીએ છીએ કે કેપેસીટર $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ એક બ્રિજ નેટવર્ક બનાવે છે।
ધારો કે નોડ્સ $X$ (ઇનપુટ), $Y$ (આઉટપુટ) અને મધ્યવર્તી નોડ્સ $A, B, C$ છે।
પોટેન્શિયલ વિતરણનું વિશ્લેષણ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પરિપથ બે શાખાઓના સમાંતર જોડાણની સમકક્ષ છે।
ચોક્કસ રીતે, $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં ધરાવતી શાખા, $C_4$ અને $C_5$ શ્રેણીમાં ધરાવતી શાખા સાથે સમાંતરમાં છે।
જો કે, આને જોવાની એક સરળ રીત એ છે કે પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે, જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે કેપેસીટર હોય છે।
$C_{eq} = (C_1 \text{ શ્રેણીમાં } C_2) + (C_4 \text{ શ્રેણીમાં } C_5)$.
બધા $C = 4 \mu F$ હોવાથી, બે $4 \mu F$ કેપેસીટરનું શ્રેણી જોડાણ $\frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ થાય છે।
તેથી, $C_{eq} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30} \mu F^{-1}$
તેથી,$C = \frac{30}{31} \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે:
$q = C \times V = \left(\frac{30}{31} \times 10^{-6} \ F\right) \times 155 \ V = 150 \times 10^{-6} \ C = 150 \mu C$.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i = \frac{q}{C_i}$ છે:
$V_1 = \frac{150 \mu C}{2 \mu F} = 75 \ V$
$V_2 = \frac{150 \mu C}{3 \mu F} = 50 \ V$
$V_3 = \frac{150 \mu C}{5 \mu F} = 30 \ V$
વોલ્ટેજની સરખામણી કરતા,$V_3 = 30 \ V$ એ સૌથી ઓછો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ અને $C_2 = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A} + \frac{d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \epsilon_0 A}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$ મળે.
$A$ ક્ષેત્રફળ અને $d'$ અંતર ધરાવતા સમતુલ્ય હવાના કેપેસિટર $(K=1)$ માટે,કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d'}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
$d'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d' = \frac{3d}{4}$ મળે છે.

(B) બેટરીનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 100 \, V$ છે.
$C_1 = 4 \, \mu F$ અને $C_2 = 8 \, \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8} \, \mu F^{-1}$
તેથી,$C = \frac{8}{3} \, \mu F = \frac{8}{3} \times 10^{-6} \, F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8}{3} \times 10^{-6} \right) \times (100)^2$
$E = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 10^{-6} \times 10^4$
$E = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \, J$
$E \approx 1.33 \times 10^{-2} \, J$

(D) ધારો કે કેપેસિટન્સ $C_1 = x, C_2 = 2x, C_3 = 3x, C_4 = 4x$ છે.
પરિપથ પરથી,$C_3$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન $C_1$ સાથે શ્રેણીમાં છે. ધારો કે ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{up}$ છે.
$\frac{1}{C_{up}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{2+3+6}{6x} = \frac{11}{6x}$.
તેથી,$C_{up} = \frac{6x}{11}$.
ઉપરની શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{up} = C_{up} V = \frac{6xV}{11}$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ ઉપરની શાખામાં હોવાથી,$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = Q_{up} = \frac{6xV}{11}$ છે.
કેપેસિટર $C_4$ સીધું વોલ્ટેજ સોર્સ $V$ સાથે જોડાયેલું છે,તેથી $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_4 = C_4 V = 4xV$ છે.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{6xV/11}{4xV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$ થાય.

(A) આ પરિપથમાં $5 \mu F$ નું કેપેસિટર ત્રણ કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ $(4 \mu F, 8 \mu F, 4 \mu F)$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_p)$ શોધો:
$C_p = 4 \mu F + 8 \mu F + 4 \mu F = 16 \mu F$.
હવે,પરિપથ $C_1 = 5 \mu F$ અને $C_p = 16 \mu F$ નું શ્રેણી જોડાણ છે જે $63 V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
$5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$ કેપેસિટર માટેના વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_1 = \left( \frac{C_p}{C_1 + C_p} \right) V_{total}$
$V_1 = \left( \frac{16}{5 + 16} \right) \times 63 V$
$V_1 = \left( \frac{16}{21} \right) \times 63 V = 16 \times 3 V = 48 V$.

(A) આપેલ પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચારેય કેપેસીટર બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = 8 \mu F$ હોવાથી,સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
$C_{eq} = 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F = 32 \mu F$
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $32 \mu F$ છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q_2$.
ધારો કે બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2(V - V_2)$ છે.
વિદ્યુતભારોને સરખાવતા: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$.
$V$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$.
તેથી,બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ થશે.

(A) કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = 4 + 6 + 12 = 22 \mu F$ છે.
કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_s = 2 \mu F$.
શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં અસરકારક કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_s}{C_p} = \frac{2}{22} = 1: 11$ થાય છે.

(A) આ પરિપથમાં આઠ કેપેસિટરો છે,જે દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેના પરિપથની સંમિતિ તપાસતા,આપણે નીચે મુજબની ગોઠવણી જોઈ શકીએ છીએ:
$1$. ઉપરની શાખામાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે: $C_{top} = C/2$.
$2$. નીચેની શાખામાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે: $C_{bottom} = C/2$.
$3$. બે મધ્ય શાખાઓમાં દરેક જગ્યાએ બે કેપેસિટરો સમાંતર જોડાયેલા છે: $C_{mid1} = 2C$ અને $C_{mid2} = 2C$.
આ ચારેય શાખાઓ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલી છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{AB} = C_{top} + C_{bottom} + C_{mid1} + C_{mid2}$
$C_{AB} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + 2C + 2C = C + 4C = 5C$
અહીં $C = 2 \mu F$ આપેલ હોવાથી:
$C_{AB} = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$.

(B) આપેલ છે: $C_1 = 4 \mu F$,$C_2 = 6 \mu F$,અને $V = 500 \ V$.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4 \mu F$.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{\text{eq}} V = 2.4 \mu F \times 500 \ V = 1200 \mu C$.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q = 1200 \mu C$.
$4 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{1200 \mu C}{4 \mu F} = 300 \ V$.

(D) આપેલ પરિપથ એક અનંત લેડર નેટવર્ક છે. પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,શિરોલંબ $1 \mu F$ કેપેસિટર્સ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે. તેથી,આ કેપેસિટર્સને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
શિરોલંબ કેપેસિટર્સને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં $1 \mu F, 3 \mu F, 9 \mu F, 27 \mu F, \dots$ મૂલ્યોના કેપેસિટર્સની અનંત શ્રેણી છે જે ભૌમિતિક શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે એક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ છે. એક શાખા માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત કેપેસિટર્સના વ્યસ્તના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C' = \frac{2}{3} \mu F$.
$A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી આવી બે શાખાઓ હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ છે:
$C_{AB} = C' + C' = 2 \times \frac{2}{3} \mu F = \frac{4}{3} \mu F$.

(B) આપેલ સર્કિટ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે. ધારો કે કેપેસિટર્સ $C_1 = 1 \mu F$,$C_2 = 3 \mu F$,$C_3 = 2 \mu F$,$C_4 = 6 \mu F$ અને વચ્ચેનું કેપેસિટર $C_5 = 5 \mu F$ છે.
આર્મ્સમાં કેપેસિટર્સનો ગુણોત્તર તપાસો: $\frac{C_1}{C_3} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{C_2}{C_4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4}$ હોવાથી,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,વચ્ચેના કેપેસિટર $C_5$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી,તેથી તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને બીજીમાં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_{up} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 3}{1 + 3} = \frac{3}{4} \mu F$.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_{low} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \mu F$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB} = C_{up} + C_{low} = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 6}{4} = \frac{9}{4} \mu F$.

(D) કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ સમાન કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = \frac{C}{n}$
અહીં $n = 25$ અને $C = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} F$ આપેલ છે.
$C_{eq} = \frac{2 \times 10^{-6}}{25} F = 0.08 \times 10^{-6} F = 8 \times 10^{-8} F$.
આપેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \ V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ દરેક કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
$Q = C_{eq} \times V$
$Q = (8 \times 10^{-8} F) \times (100 \ V)$
$Q = 8 \times 10^{-6} C$.

(B) અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટને જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ તરફ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. સૌથી જમણી શાખામાં $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_1 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$2$. હવે,આ $3 \mu F$ ઉપરના $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ ત્રણેયનું શ્રેણીમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq1} = 1 \mu F$ થાય.
$3$. આ $1 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_2 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$4$. હવે,આ $3 \mu F$ ઉપરના આગામી $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq2} = 1 \mu F$ થાય.
$5$. આ $1 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_3 = 1 + 2 = 3 \mu F$ છે.
$6$. અંતે,આ $3 \mu F$ ઉપરના પ્રથમ $3 \mu F$ કેપેસિટર અને નીચેના $3 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq} = 1 \mu F$ થાય.

(B) આપેલ છે,સમાન કેપેસિટન્સ $C$ ધરાવતા બે કેપેસિટર.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_S = \frac{C}{2}$
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_P = C + C = 2C$
પરિણામી કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{C_P}{C_S} = \frac{2C}{C/2} = \frac{4}{1} = 4:1$
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સમાંતર જોડાણમાં,$C_P = 2C > C$,તેથી કેપેસિટન્સ વધે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,$C_S = C/2 < C$,તેથી કેપેસિટન્સ ઘટે છે.
આમ,કારણ $(R)$ પણ સાચું છે,પરંતુ તે $4:1$ ના ગુણોત્તર માટે ગાણિતિક સમજૂતી આપવાને બદલે કેપેસિટરના જોડાણનું સામાન્ય વર્તન દર્શાવે છે. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ છે: દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-6} \ F$.
દરેક કેપેસિટરનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V = 5000 \ V$.
જ્યારે કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$
$C_S = \frac{C}{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{2} = 10^{-6} \ F$.
જ્યારે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંયોજનનો કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ એ વ્યક્તિગત બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો છે:
$V_S = V + V = 5000 \ V + 5000 \ V = 10000 \ V$.

(D) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી, આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણીને ઓળખી શકીએ છીએ:
$1$. કેપેસિટર્સ $C_2$ $(150 \text{ F})$ અને $C_3$ $(150 \text{ F})$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{23}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75} \implies C_{23} = 75 \text{ F}$.
$2$. આ સંયોજન $C_{23}$ એ કેપેસિટર $C_1$ $(75 \text{ F})$ સાથે સમાંતરમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{123}$ છે:
$C_{123} = C_1 + C_{23} = 75 + 75 = 150 \text{ F}$.
$3$. અંતે, આ સંયોજન $C_{123}$ એ બિંદુઓ $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલ કેપેસિટર $C_4$ $(100 \text{ F})$ સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ છે:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{123}} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{150} + \frac{1}{100} = \frac{2 + 3}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$.
તેથી, $C_{AB} = 60 \text{ F}$.

(A) આપેલ છે: $C_1 = 1 \ \mu F, C_2 = 2 \ \mu F, V_1 = 6 \ kV, V_2 = 4 \ kV$.
દરેક કેપેસિટર મહત્તમ કેટલો વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત કરી શકે તે નીચે મુજબ છે:
$Q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 6 \ kV = 6 \ \mu C$.
$Q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 4 \ kV = 8 \ \mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ. તેથી,આ જોડાણ મહત્તમ જે વિદ્યુતભાર સહન કરી શકે તે ઓછા વિદ્યુતભાર ક્ષમતા ધરાવતા કેપેસિટર દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $Q_{max} = 6 \ \mu C$ છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \ \mu F$ છે.
આ જોડાણ મહત્તમ જે કુલ પોટેન્શિયલ $V_{max}$ સહન કરી શકે તે $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6 \ \mu C}{\frac{2}{3} \ \mu F} = 6 \times \frac{3}{2} \ kV = 9 \ kV$ છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 4 + 1}{20} = \frac{7}{20} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{\text{eq}} = \frac{20}{7} \mu F$.
$14 \text{ V}$ ના $DC$ સપ્લાય દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{\text{eq}} \times V = \frac{20}{7} \mu F \times 14 \text{ V} = 40 \mu C$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે સપ્લાય દ્વારા આપવામાં આવતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે.
આમ,$5 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $40 \mu C$ છે.

(B) આ પરિપથમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખામાં,$20 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
નીચેની શાખામાં,$10 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_2 = 5 \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ થશે:
$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 5 \mu F = 15 \mu F$.

(A) બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અસરકારક કેપેસીટન્સ શોધવા માટે,આપણે પરિપથનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. પરિપથમાં પાંચ કેપેસીટર છે,જે દરેકનું કેપેસીટન્સ $C$ છે.
$2$. નોડલ એનાલિસિસ અથવા સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને પરિપથને સરળ બનાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પરિપથને વધુ સરળ સમતુલ્ય પરિપથમાં ઘટાડી શકાય છે.
$3$. સમતુલ્ય પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ જોડાણ $2C$ ના બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં અને તેની સાથે સમાંતરમાં $C$ કેપેસીટર ધરાવતા પરિપથમાં ફેરવાય છે.
$4$. $2C$ ના બે કેપેસીટરનું શ્રેણી જોડાણ $C_{s} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = \frac{4C^2}{4C} = C$ આપે છે.
$5$. આ $C$ બાકીના કેપેસીટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ થાય છે.

(A) આપેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ પરથી,કેપેસીટર $3 C$ અને $2 C$ સમાન બે નોડ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p$ નીચે મુજબ મળે:
$C_p = 3 C + 2 C = 5 C$
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસીટર $C_p = 5 C$ એ કેપેસીટર $C$ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{AB}$ શ્રેણી જોડાણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C_{AB} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 5 C}{C + 5 C} = \frac{5 C^2}{6 C} = \frac{5}{6} C$

(B) $4 \mu F$ કેપેસિટર એ $2 \mu F$ અને $3 \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
જ્યારે $4 \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટ પર $+80 \mu C$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નીચેની પ્લેટ પર સમાન અને વિરુદ્ધ $-80 \mu C$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
આ $+80 \mu C$ વિદ્યુતભાર ત્યારબાદ $2 \mu F$ અને $3 \mu F$ કેપેસિટરની ઉપરની પ્લેટો વચ્ચે વહેંચાય છે,જે સમાંતર જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ તેમની કેપેસીટન્સના ગુણોત્તરમાં વહેંચાય છે:
$q_1 = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) Q_{total}$
$3 \mu F$ કેપેસિટર માટે:
$q = \left( \frac{3 \mu F}{3 \mu F + 2 \mu F} \right) \times 80 \mu C$
$q = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \mu C = 3 \times 16 \mu C = 48 \mu C$.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોડાણોને ઓળખી શકીએ છીએ:
$1$. કેપેસિટર $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
$2$. આ સંયોજન $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$3$. અંતે,આ આખો બ્લોક $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
દરેક કેપેસિટર $C = 9 pF$ આપેલ છે:
પગલું $1$: $C_1$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
$C_{13} = \frac{C_1 \times C_3}{C_1 + C_3} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = 4.5 pF$.
પગલું $2$: $C_{13}$ એ $C_2$ સાથે સમાંતર છે.
$C_{123} = C_{13} + C_2 = 4.5 + 9 = 13.5 pF$.
પગલું $3$: $C_{123}$ એ $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$C_{AB} = \frac{C_{123} \times C_4}{C_{123} + C_4} = \frac{13.5 \times 9}{13.5 + 9} = \frac{121.5}{22.5} = 5.4 pF$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$5.4 pF$ એ $5 pF$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) પરિપથને જોતા, આપણે બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી ત્રણ સમાંતર શાખાઓ ઓળખી શકીએ છીએ.
$1$. ડાબી શાખામાં શ્રેણીમાં $2 C$ ના બે કેપેસિટર છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{left} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$ છે.
$2$. મધ્ય શાખામાં $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું એક કેપેસિટર છે. તેથી, $C_{middle} = C$.
$3$. જમણી શાખામાં $2 C$ ના કેપેસિટરની શ્રેણીમાં $C$ ના બે કેપેસિટરનું સમાંતર જોડાણ છે. સમાંતર જોડાણ $C_{parallel} = C + C = 2 C$ આપે છે. આ $2 C$ એ $2 C$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{right} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$.
ત્રણેય શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી, કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_{left} + C_{middle} + C_{right} = C + C + C = 3 C$ થાય છે.

(A) જ્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{net} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = 1.6 \text{ mF} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ F}$.
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{net} \times V = 1.6 \times 10^{-3} \times 300 = 0.48 \text{ C} = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q_2 = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
$C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{480 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 240 \text{ V}$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{480 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-3}} = 60 \text{ V}$ છે.
કુલ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{net} V^2 = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 10^{-3} \times (300)^2 = 0.8 \times 10^{-3} \times 90000 = 72 \text{ J}$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ છે.
$C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_s$ એ મધ્ય જંકશન અને બિંદુ $N$ વચ્ચે જોડાયેલા ત્રીજા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,બિંદુઓ $P$ અને $N$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.

(B) પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રણેય કેપેસિટર $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસીટન્સના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
તમામ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$C_{eq} = C + C + C = 3C$
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $3C$ છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 5 + 2}{10} = \frac{17}{10} \ \mu F^{-1}$
$C_{eq} = \frac{10}{17} \ \mu F$
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે:
$Q = C_{eq} \times V = \left( \frac{10}{17} \ \mu F \right) \times 10 \ V = \frac{100}{17} \ \mu C$
$2.0 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ નીચે મુજબ છે:
$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{100/17 \ \mu C}{2 \ \mu F} = \frac{50}{17} \ V$

(B) આ પરિપથ એક બ્રિજ જેવી રચના ધરાવે છે. ચાલો તેને સરળ બનાવીએ.
$1$. ઉપરની શાખામાં (બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે) રહેલા બે $4 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $C_1 = 2 \mu F$.
$2$. નીચેની શાખાઓમાં (બિંદુ $C$ સાથે જોડાયેલા) રહેલા બે $4 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ પણ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ છે: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $C_2 = 2 \mu F$.
$3$. આ $C_2$ એ વચ્ચેના $4 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આમ,આ મધ્ય ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_3 = C_2 + 4 \mu F = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$ થાય.
$4$. અંતે,$C_1$ અને $C_3$ એ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_3 = 2 \mu F + 6 \mu F = 8 \mu F$ થાય.

(C) કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{5 \mu F} + \frac{1}{10 \mu F} = \frac{2+1}{10 \mu F} = \frac{3}{10 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \mu F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F$
શ્રેણી સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F) \times (300 \ V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 90000$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 9 \times 10^4$
$U = \frac{1}{2} \times 30 \times 10^{-2} = 15 \times 10^{-2} \ J = 0.15 \ J$