Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Gujarati

(B) પરિપથમાં ચાર સમાન કેપેસિટર $C$ શ્રેણીમાં છે. $A$ અને $X$ વચ્ચેના ત્રણ કેપેસિટરને સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_{eq1} = C/3$ દ્વારા બદલી શકાય છે. $X$ અને $B$ વચ્ચેનું કેપેસિટર $C_{eq2} = C$ છે.
બિંદુ $X$ અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન $V_X = 0 \ V$ છે.
શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $10 \ V$ છે. બેટરી એવી રીતે જોડાયેલ છે કે $A$ એ $B$ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે,તેથી સ્થિતિમાનનો તફાવત કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વહેંચાય છે: $V_1 / V_2 = C_{eq2} / C_{eq1} = C / (C/3) = 3 / 1$.
$V_1 + V_2 = 10 \ V$ હોવાથી,$3V_2 + V_2 = 10 \ V \implies 4V_2 = 10 \ V \implies V_2 = 2.5 \ V$.
આમ,$V_1 = 7.5 \ V$.
$V_X = 0 \ V$ હોવાથી અને $A$ એ $X$ ની સાપેક્ષમાં ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર હોવાથી,$A$ આગળનું સ્થિતિમાન $V_A = V_X + V_1 = 0 + 7.5 = 7.5 \ V$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ છે.
આપેલ છે કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 1 \ \mu F$ છે.
પરિપથ એક લેડર નેટવર્ક (સીડી જેવું જોડાણ) ધરાવે છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ અનંત શ્રેણી દ્વારા મળે છે:
$C_{eq} = C + \frac{C}{2} + \frac{C}{4} + \frac{C}{8} + \dots$
આ એક સમગુણોતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = C$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે.
અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$C_{eq} = \frac{C}{1 - 1/2} = \frac{C}{1/2} = 2C$.
અહીં $C = 1 \ \mu F$ હોવાથી:
$C_{eq} = 2 \times 1 \ \mu F = 2 \ \mu F$.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સમકક્ષ કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} \ \mu F = \frac{2}{3} \ \mu F$
જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} V = \left( \frac{2}{3} \times 10^{-6} \ F \right) \times 120 \ V = 80 \times 10^{-6} \ C$
$1 \ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_1$:
$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{80 \times 10^{-6} \ C}{1 \times 10^{-6} \ F} = 80 \ V$

(D) ધારો કે દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડીનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટ $1$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલી છે. પ્લેટ $2$ ટર્મિનલ $A$ સાથે જોડાયેલી છે અને પ્લેટ $3$ ટર્મિનલ $B$ સાથે જોડાયેલી છે.
$1$. પ્લેટ $2$ અને $3$ દ્વારા બનતું કેપેસિટર સીધું $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલું છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
$2$. પ્લેટ $1$ અને $2$ દ્વારા બનતું કેપેસિટર,પ્લેટ $3$ અને $4$ દ્વારા બનતા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. ધારો કે આ $C_1$ અને $C_2$ છે,જ્યાં $C_1 = C_2 = C$.
$3$. આ શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ થાય,તેથી $C_s = \frac{C}{2}$.
$4$. આ શ્રેણી જોડાણ,પ્લેટ $2$ અને $3$ દ્વારા બનતા કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે. તેથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C_{AB} = C + C_s = C + \frac{C}{2} = \frac{3}{2}C$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મૂકતા,આપણને $C_{AB} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $A$ નું કેપેસિટન્સ $(C_A)$ = $2 \, \mu F$,$B$ નું કેપેસિટન્સ $(C_B)$ = $3 \, \mu F$,અને કુલ વોલ્ટેજ $(V)$ = $10 \, V$.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને કેપેસિટરો પરનો વિદ્યુતભાર $(Q)$ સમાન હોય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto 1/C)$.
તેથી,$V_A / V_B = C_B / C_A = 3 / 2$.
ધારો કે $V_A = 3x$ અને $V_B = 2x$.
$V_A + V_B = 10 \, V$ હોવાથી,$3x + 2x = 10 \, V$,જે આપણને $5x = 10 \, V$ આપે છે,તેથી $x = 2 \, V$.
આમ,$V_A = 3(2) = 6 \, V$ અને $V_B = 2(2) = 4 \, V$.
તેથી,$A$ ની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \, V$ અને $B$ ની પ્લેટો વચ્ચેનો $4 \, V$ છે.

(A) $1$. ડાબેથી જમણી તરફ પરિપથનું વિશ્લેષણ કરો. નીચે ડાબી બાજુએ રહેલા $C$ અને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p1} = C + C = 2 C$ થાય.
$2$. આ $2 C$ તેની ઉપરના $2 C$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s1} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = \frac{4 C^2}{4 C} = C$ થાય.
$3$. હવે,આ $C$ વચ્ચેના બીજા $C$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{p2} = C + C = 2 C$ થાય.
$4$. આ $2 C$ ઉપરના $2 C$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s2} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$ થાય.
$5$. અંતે,આ $C$ એ $P$ અને $Q$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા જમણી બાજુના $2 C$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2 C = 3 C$ થાય.

(B) આપેલ પરિપથમાં,પ્રથમ ત્રણ કેપેસિટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે,જેનું સમતુલ કેપેસિટન્સ $3C$ થાય છે.
આ $3C$ નું સંયોજન ચોથા કેપેસિટન્સ $C$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે.
તેથી,સમતુલ કેપેસિટન્સ $1/C_{eq} = 1/(3C) + 1/C$ દ્વારા મળે છે.
$1/C_{eq} = (1+3)/(3C) = 4/(3C)$.
આમ,$C_{eq} = 3C/4$ થાય છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $2\, \mu F$,$3\, \mu F$ અને $6\, \mu F$ ના કેપેસીટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમકક્ષ કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1\, \mu F$.
પરિપથમાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V = 1\, \mu F \times 24\, V = 24\, \mu C$.
કેપેસીટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન રહેશે,$Q = 24\, \mu C$.
$6\, \mu F$ ના કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_6 = \frac{Q}{C_6} = \frac{24\, \mu C}{6\, \mu F} = 4\, V$.

(B) $1$. શ્રેણીમાં રહેલા કેપેસિટર્સને ઓળખો: ઉપર રહેલ $2\ \mu F$ અને જમણી બાજુ રહેલ $2\ \mu F$ ના કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\ \mu F$ થાય.
$2$. પરિપથનું સરળીકરણ: આ બંનેને બદલે $1\ \mu F$ નો એક કેપેસિટર મૂકો. આ નવો કેપેસિટર ત્રાંસા જોડાયેલા $1\ \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 1 + 1 = 2\ \mu F$ થાય.
$3$. વધુ સરળીકરણ: હવે,આ $2\ \mu F$ નો કેપેસિટર નીચે રહેલા $2\ \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1\ \mu F$ થાય.
$4$. અંતિમ પગલું: આ $1\ \mu F$ નો કેપેસિટર $A$ અને $B$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $1\ \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 1 + 1 = 2\ \mu F$ થાય.

(A) સૌ પ્રથમ,$3\ \mu F$ અને $6\ \mu F$ ના કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણને ઓળખો.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3\ \mu F + 6\ \mu F = 9\ \mu F$ થાય.
હવે,પરિપથમાં $4.5\ \mu F$ નું કેપેસિટર અને $9\ \mu F$ નું કેપેસિટર $12\ V$ ના ઉદગમ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આખા પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4.5} + \frac{1}{9} = \frac{2+1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$C_{eq} = 3\ \mu F$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 3\ \mu F \times 12\ V = 36\ \mu C$ થાય.
$4.5\ \mu F$ નું કેપેસિટર બાકીના પરિપથ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી પણ એટલો જ વિદ્યુતભાર $Q = 36\ \mu C$ વહેશે.
$4.5\ \mu F$ કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{4.5} = \frac{Q}{C} = \frac{36\ \mu C}{4.5\ \mu F} = 8\ V$ થાય.

(D) $1$. પરિપથ આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરો. આ પરિપથમાં ચાર કેપેસિટર છે,જે દરેક $3\,\mu F$ ના છે.
$2$. સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણો ઓળખો. બે કેપેસિટર સમાંતરમાં છે,જે ત્રીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ આખું જોડાણ ચોથા કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે.
$3$. સમાંતરમાં રહેલા બે કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3\,\mu F + 3\,\mu F = 6\,\mu F$ થાય.
$4$. આ $6\,\mu F$ કેપેસિટર અન્ય $3\,\mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,તેથી $C_s = 2\,\mu F$.
$5$. અંતે,આ $2\,\mu F$ નું જોડાણ બાકી રહેલા $3\,\mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે. તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 2\,\mu F + 3\,\mu F = 5\,\mu F$ થાય.

(C) આપેલ છે: જરૂરી કેપેસિટન્સ $C' = 16\ \mu F$,જરૂરી વોલ્ટેજ $V' = 1000\ V$. ઉપલબ્ધ કેપેસિટન્સ $C = 8\ \mu F$,ઉપલબ્ધ વોલ્ટેજ $V = 250\ V$.
જરૂરી વોલ્ટેજ $V'$ મેળવવા માટે,આપણે $n$ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવા પડશે: $n = V' / V = 1000 / 250 = 4$.
હવે,શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C / n = 8 / 4 = 2\ \mu F$ થાય.
જરૂરી કેપેસિટન્સ $C'$ મેળવવા માટે,આપણે આવી $m$ શ્રેણી શાખાઓને સમાંતરમાં જોડવી પડશે: $m = C' / C_{eq} = 16 / 2 = 8$.
કુલ જરૂરી કેપેસિટરની સંખ્યા = $m \times n = 8 \times 4 = 32$.

(B) $1$. જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ કેપેસિટરને $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર $q = CV$ જેટલો વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત કરે છે.
$2$. બેટરીથી અલગ કર્યા પછી દરેક કેપેસિટર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = CV$ રહે છે.
$3$. જ્યારે આ $n$ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V'$ એ દરેક કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજનો સરવાળો છે.
$4$. દરેક કેપેસિટર પર વિદ્યુતભાર $q = CV$ અને કેપેસિટન્સ $C$ હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_i = q/C = (CV)/C = V$ થાય છે.
$5$. $n = 10$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ વોલ્ટેજ $V' = n \times V = 10V$ થાય છે.

(D) કેપેસિટરો $C_1 = 2\,\mu F$ અને $C_2 = 3\,\mu F$ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આપેલ છે કે $V_A = 1000\,V$ અને $V_B = 0\,V$,તેથી સંયોજન વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = V_A - V_B = 1000\,V$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$,તેથી $C_{eq} = \frac{6}{5}\,\mu F$ મળે.
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V_{AB} = \frac{6}{5} \times 1000 = 1200\,\mu C$ થાય.
$2\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_C = \frac{Q}{C_1} = \frac{1200\,\mu C}{2\,\mu F} = 600\,V$ છે.
$V_A = 1000\,V$ મૂકતા,$1000 - V_C = 600\,V$ મળે.
આમ,$V_C = 1000 - 600 = 400\,V$ થાય.

(C) આ તંત્ર ચાર સમાંતર ધાતુની પ્લેટોનું બનેલું છે. ધારો કે પ્લેટોને ઉપરથી નીચે તરફ $1, 2, 3$ અને $4$ નંબર આપવામાં આવ્યા છે.
પ્લેટ $1$ અને $4$ ટર્મિનલ $B$ સાથે જોડાયેલ છે,જ્યારે પ્લેટ $2$ અને $3$ ટર્મિનલ $A$ સાથે જોડાયેલ છે.
આ ગોઠવણી સમાંતરમાં બે કેપેસિટર બનાવે છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2\frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ થાય.

(B) કેપેસીટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$
તેથી,$C_{\text{eq}} = \frac{C}{3}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસીટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ હોય છે. કેપેસીટર સમાન હોવાથી,સંયોજનનો કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{\text{total}}$ એ દરેક કેપેસીટરના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો થાય છે.
$V_{\text{total}} = V + V + V = 3V$
આમ,સંયોજનનું કેપેસીટન્સ $C/3$ અને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $3V$ થશે.

(D) પરિપથમાં $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે બેટરી જોડાયેલી છે. રેખા $XY$ ની ડાબી બાજુએ આવેલા કેપેસિટર્સ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેઓ બેટરીના ટર્મિનલ્સને જોડતા વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થઈ જાય છે.
આમ,આ કેપેસિટર્સ $A$ અને $B$ વચ્ચેના સમતુલ્ય કેપેસિટન્સમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
બાકી રહેલો પરિપથ $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર્સનો બનેલો છે,જે $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB} = C + C = 2C$ થાય છે.

(C) $5 \ \mu F$ અને $1 \ \mu F$ ના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 5 \ \mu F + 1 \ \mu F = 6 \ \mu F$ થાય.
આ $6 \ \mu F$ કેપેસિટર $3 \ \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{branch} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \ \mu F$ થાય.
આ શાખામાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{branch} \times V = 2 \ \mu F \times 24 \ V = 48 \ \mu C$ છે.
ધારો કે $5 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે અને $1 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે. તેઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $\frac{q_1}{5} = \frac{q_2}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $q_1 = 5q_2$.
$q_1 + q_2 = 48 \ \mu C$ હોવાથી,$5q_2 + q_2 = 48 \ \mu C$,એટલે કે $6q_2 = 48 \ \mu C$,જે આપણને $q_2 = 8 \ \mu C$ આપે છે.
$1 \ \mu F$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q_2^2}{2C} = \frac{(8 \ \mu C)^2}{2 \times 1 \ \mu F} = \frac{64}{2} = 32 \ \mu J$ થાય.

(B) આ પરિપથમાં ત્રણ ઊભી શાખાઓ સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. જોકે,આકૃતિને જોતા આપણે જમણી બાજુથી ડાબી બાજુ તરફ સાદું રૂપ આપીશું.
$1$. સૌથી જમણી બાજુના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે: $C_{eq1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$.
$2$. આ $C_{eq1}$ એ વચ્ચેના ઊભા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે: $C_{eq2} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$.
$3$. આ $C_{eq2}$ એ ઉપરના આડા કેપેસિટર $C$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $C_{eq3} = \frac{C \times (3C/2)}{C + 3C/2} = \frac{3C^2/2}{5C/2} = \frac{3C}{5} = 0.6C$.
$4$. અંતે,આ $C_{eq3}$ એ સૌથી ડાબી બાજુના ઊભા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે: $C_{eq} = C + 0.6C = 1.6C$.

(B) $2 \ \mu F$ ના કેપેસિટરોનો ઉપયોગ કરીને $5 \ \mu F$ નું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે,આપણે તેમને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના મિશ્રણમાં ગોઠવી શકીએ છીએ.
$1$. બે $2 \ \mu F$ કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડો. તેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{1}{C_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \ \mu F$ થશે.
$2$. બે $2 \ \mu F$ કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડો. તેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 2 + 2 = 4 \ \mu F$ થશે.
$3$. હવે,શ્રેણી જોડાણ $(1 \ \mu F)$ અને સમાંતર જોડાણ $(4 \ \mu F)$ ને એકબીજા સાથે સમાંતરમાં જોડો. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 1 \ \mu F + 4 \ \mu F = 5 \ \mu F$ થશે.
$4$. વપરાયેલ કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $2$ (શ્રેણીમાં) $+ 2$ (સમાંતરમાં) $= 4$ કેપેસિટરો છે.
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ કેપેસિટરોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) ધારો કે બે કેપેસિટર $C_1 = 8 \mu F$ અને $C_2 = 16 \mu F$ છે,જેના બ્રેકિંગ વોલ્ટેજ $V_1 = 20 \ V$ અને $V_2 = 80 \ V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
$C_1$ મહત્તમ $Q_1 = C_1 V_1 = 8 \mu F \times 20 \ V = 160 \mu C$ વિદ્યુતભાર સંગ્રહી શકે છે.
$C_2$ મહત્તમ $Q_2 = C_2 V_2 = 16 \mu F \times 80 \ V = 1280 \mu C$ વિદ્યુતભાર સંગ્રહી શકે છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સંયોજનમાં કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ તે કેપેસિટર દ્વારા મર્યાદિત થાય છે જે પહેલા તેના બ્રેકિંગ વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે.
તેથી,સંયોજન મહત્તમ $Q_1$ અને $Q_2$ માંથી જે નાનું હોય તેટલો વિદ્યુતભાર સંગ્રહી શકે છે.
$Q_{\max} = \min(160 \mu C, 1280 \mu C) = 160 \mu C$.

(D) આપેલ છે: $C_1 = 1.0 \ \mu F$,$V_1 = 6.0 \ kV = 6 \times 10^3 \ V$.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V_1 = 1.0 \ \mu F \times 6 \ kV = 6000 \ \mu C$ છે.
આપેલ છે: $C_2 = 2.0 \ \mu F$,$V_2 = 4.0 \ kV = 4 \times 10^3 \ V$.
બીજા કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 V_2 = 2.0 \ \mu F \times 4 \ kV = 8000 \ \mu C$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ. જ્યારે ઓછો મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધરાવતું કેપેસિટર તેની ક્ષમતા સુધી પહોંચે ત્યારે તંત્ર તેની મર્યાદા સુધી પહોંચી જશે.
$q_1 < q_2$ હોવાથી,શ્રેણી જોડાણ માટે મહત્તમ વિદ્યુતભાર $q_{max} = 6000 \ \mu C$ છે.
આ વિદ્યુતભાર પર,પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = 6 \ kV$ અને બીજા કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_2' = \frac{q_{max}}{C_2} = \frac{6000 \ \mu C}{2.0 \ \mu F} = 3 \ kV$ થાય.
તેથી,તંત્ર દ્વારા સહન કરી શકાતું કુલ મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{total} = V_1 + V_2' = 6 \ kV + 3 \ kV = 9 \ kV$ છે.

(D) આ પરિપથમાં એક કેપેસિટર $C$ એ $2C$,$C$,અને $2C$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
કેપેસિટર $C$ સીધું $AB$ ની વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી,તેની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $60\,V$ છે.
શ્રેણી શાખા જેમાં $2C$,$C$,અને $2C$ કેપેસિટરો છે,તે પણ $AB$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી આ શાખાનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $60\,V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કેપેસિટરની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ તેની કેપેસીટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V = Q/C)$. શ્રેણીમાં દરેક કેપેસિટર માટે વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોવાથી,$V \propto 1/C$.
ધારો કે $2C$,$C$,અને $2C$ કેપેસિટરોની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે $V_1$,$V_2$,અને $V_3$ છે.
$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{2C} : \frac{1}{C} : \frac{1}{2C} = \frac{1}{2} : 1 : \frac{1}{2} = 1 : 2 : 1$.
આ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો $V_1 + V_2 + V_3 = 60\,V$ છે.
ગુણોત્તર $1:2:1$ નો ઉપયોગ કરતા,ભાગોનો સરવાળો $1+2+1 = 4$ થાય છે.
તેથી,$V_2 = \frac{2}{4} \times 60\,V = 30\,V$.
બિંદુઓ $M$ અને $N$ એ શ્રેણી શાખામાં રહેલા મધ્યના કેપેસિટર $C$ ના છેડાઓ છે. તેથી,$M$ અને $N$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 30\,V$ છે.

(C) આપેલ છે: $C_1 = 1.0 \mu F$,$V_1 = 6 kV = 6000 V$.
$C_2 = 2.0 \mu F$,$V_2 = 4 kV = 4000 V$.
$C_1$ જે મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે તે $q_1 = C_1 V_1 = 1.0 \mu F \times 6 kV = 6000 \mu C$ છે.
$C_2$ જે મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે તે $q_2 = C_2 V_2 = 2.0 \mu F \times 4 kV = 8000 \mu C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ. તેથી,સંયોજન જે મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે તે નાના મહત્તમ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કેપેસિટર દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $q_{max} = 6000 \mu C$ છે.
જ્યારે સંયોજન પરનો વિદ્યુતભાર $6000 \mu C$ હોય,ત્યારે $C_1$ પરનો વોલ્ટેજ $V_1' = 6 kV$ અને $C_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2' = q_{max} / C_2 = 6000 \mu C / 2.0 \mu F = 3000 V = 3 kV$ થાય.
શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{total} = V_1' + V_2' = 6 kV + 3 kV = 9 kV$ થાય.

(B) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
દરેક કેપેસિટર મહત્તમ કેટલો વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત કરી શકે તે $q = C \times V_{max}$ દ્વારા મળે છે.
$2 \, \mu F$ કેપેસિટર માટે: $q_1 = 2 \, \mu F \times 3 \, V = 6 \, \mu C$.
$3 \, \mu F$ કેપેસિટર માટે: $q_2 = 3 \, \mu F \times 2 \, V = 6 \, \mu C$.
$5 \, \mu F$ કેપેસિટર માટે: $q_3 = 5 \, \mu F \times 1 \, V = 5 \, \mu C$.
કોઈપણ કેપેસિટર બગડે નહીં તે માટે,શ્રેણી જોડાણમાં વિદ્યુતભાર આ મૂલ્યોમાંથી ન્યૂનતમ મૂલ્યથી વધવો જોઈએ નહીં,જે $q_{max} = 5 \, \mu C$ છે.
આ વિદ્યુતભાર પર દરેક કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજનો સરવાળો એ કુલ વોલ્ટેજ $V$ છે:
$V = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{q_{max}}{C_1} + \frac{q_{max}}{C_2} + \frac{q_{max}}{C_3}$
$V = \frac{5 \, \mu C}{2 \, \mu F} + \frac{5 \, \mu C}{3 \, \mu F} + \frac{5 \, \mu C}{5 \, \mu F} = 2.5 + 1.666 + 1 = 5.166 \, V = \frac{31}{6} \, V$.

(B) ધારો કે કવચની ત્રિજ્યા $r_1 = R$,$r_2 = 2R$ અને $r_3 = 2\sqrt{2}R$ છે. અંદરનું કવચ $(r_1)$ અને બહારનું કવચ $(r_3)$ જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
નળાકાર કેપેસીટર માટે એકમ લંબાઈ દીઠ કેપેસીટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln(r_{outer}/r_{inner})}$ છે.
અહીં બે કેપેસીટર બને છે:
$C_1$ એ અંદરના કવચ $(R)$ અને મધ્યના કવચ $(2R)$ વચ્ચે છે: $C_1 = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln(2R/R)} = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln 2}$.
$C_2$ એ મધ્યના કવચ $(2R)$ અને બહારના કવચ $(2\sqrt{2}R)$ વચ્ચે છે: $C_2 = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln(2\sqrt{2}R/2R)} = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln(\sqrt{2})} = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\frac{1}{2} \ln 2} = \frac{4 \pi \epsilon_0}{\ln 2}$.
અંદરનું અને બહારનું કવચ જોડાયેલા હોવાથી,આ બંને કેપેસીટર મધ્યના કવચની સાપેક્ષમાં સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{2 \pi \epsilon_0}{\ln 2} + \frac{4 \pi \epsilon_0}{\ln 2} = \frac{6 \pi \epsilon_0}{\ln 2}$ થાય.

(D) સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટની રચનાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. $10 \ \mu F$ અને $4 \ \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,અને $5 \ \mu F$ અને $6 \ \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે $C_1 = 10 \ \mu F$ અને $C_2 = 4 \ \mu F$. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{12}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1/C_{12} = 1/10 + 1/4 = (2+5)/20 = 7/20 \implies C_{12} = 20/7 \ \mu F$.
ધારો કે $C_3 = 5 \ \mu F$ અને $C_4 = 6 \ \mu F$. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{34}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1/C_{34} = 1/5 + 1/6 = (6+5)/30 = 11/30 \implies C_{34} = 30/11 \ \mu F$.
આ બંને શાખાઓ બેટરીના ટર્મિનલ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે સમાંતરમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ છે:
$C_{eq} = C_{12} + C_{34} = 20/7 + 30/11 = (220 + 210) / 77 = 430 / 77 \ \mu F \approx 5.58 \ \mu F$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાય છે. શ્રેણી પરિપથમાં,દરેક ઘટકમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
તેથી,$C_1$ અને $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન છે.
સૂત્ર $V = q/C$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$V_1 = q / C_1 = q / 4 \mu F$
$V_2 = q / C_2 = q / 8 \mu F$
અહીં $C_1 < C_2$ હોવાથી,$V_1 > V_2$ મળે છે. આમ,$C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $C_2$ કરતા વધારે છે.

(D) ધારો કે દરેક સમાંતર હારમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $n$ છે અને શ્રેણીમાં આવી હારની સંખ્યા $m$ છે.
દરેક કેપેસીટર $300\ V$ સહન કરી શકે છે. $1000\ V$ નો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત સહન કરવા માટે,શ્રેણીમાં કેપેસીટર્સની સંખ્યા $(m)$ એ $m \times 300 \ge 1000$ શરત સંતોષવી જોઈએ,જે $m \ge 3.33$ આપે છે. આમ,આપણને શ્રેણીમાં ઓછામાં ઓછી $m = 4$ હારની જરૂર છે.
દરેક હાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $1000/4 = 250\ V$ હશે,જે $300\ V$ ની સુરક્ષિત મર્યાદામાં છે.
સમાંતરમાં $n$ કેપેસીટર્સની એક હારનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{row} = n \times 1\ \mu F = n\ \mu F$ છે.
શ્રેણીમાં આવી $m = 4$ હાર હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} + \frac{1}{C_{row}} = \frac{4}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq} = 2\ \mu F$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{4}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
કેપેસીટર્સની કુલ સંખ્યા = $m \times n = 4 \times 8 = 32$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,$1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસીટરો બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 1 \mu F + 2 \mu F = 3 \mu F$ થાય.
$4 \mu F$ (જે $X$ સાથે જોડાયેલ છે) અને $4 \mu F$ (જે $Y$ સાથે જોડાયેલ છે) ના કેપેસીટરો $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ પૂછવામાં આવ્યું છે. $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસીટરો સીધા $X$ અને $Y$ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,$X$ અને $Y$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ ફક્ત આ બે કેપેસીટરોના સમાંતર જોડાણ જેટલું જ થશે.
આમ,$C_{XY} = 1 \mu F + 2 \mu F = 3 \mu F$.

(B) ધારો કે દરેક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A\varepsilon_0}{d}$ છે.
પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણી ઓળખી શકીએ છીએ.
કુલ ચાર કેપેસિટર્સ છે.
$A$ અને $C$ ની વચ્ચે,$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતું એક કેપેસિટર છે.
$C$ અને $B$ ની વચ્ચે,$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતું એક કેપેસિટર છે.
$A$ અને $C$ ની વચ્ચે ($D$ દ્વારા),શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર્સ છે,જેનું કેપેસિટન્સ $C$ છે,જે $\frac{C}{2}$ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ધરાવતી શાખા બનાવે છે.
આ શાખા $A$ અને $C$ વચ્ચેના પ્રથમ કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે.
તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AC} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ છે.
હવે,$C_{AC}$ એ $C$ અને $B$ વચ્ચેના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{AC}} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C/2} + \frac{1}{C} = \frac{2}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{2+3}{3C} = \frac{5}{3C}$.
આમ,$C_{eq} = \frac{3C}{5} = \frac{3A\varepsilon_0}{5d}$.

(A) ધારો કે $n$ કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,દરેક $2\,\mu F$ ના,તેથી તેમનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = n \times 2\,\mu F = 2n\,\mu F$ થાય.
જો $5$ કેપેસિટર સમાંતરમાં હોય,તો $C_p = 5 \times 2 = 10\,\mu F$.
જો બાકીના $2$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોય,તો તેમનો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = (2 \times 2) / (2 + 2) = 1\,\mu F$ થાય.
હવે,આ $10\,\mu F$ અને $1\,\mu F$ ને શ્રેણીમાં જોડતા,$C_{eq} = (10 \times 1) / (10 + 1) = 10/11\,\mu F$ મળે.
કુલ કેપેસિટરની સંખ્યા $5 + 2 = 7$ છે,જે પ્રશ્ન મુજબ સાચું છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ એ દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડીનું કેપેસીટન્સ છે.
આકૃતિ પરથી, પ્લેટ $1$ અને $4$ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે. પ્લેટ $2$ અને $3$ અનુક્રમે ટર્મિનલ $a$ અને $b$ સાથે જોડાયેલ છે.
પાસપાસેની પ્લેટો દ્વારા ત્રણ કેપેસીટર બને છે: $C_1$ (પ્લેટ $1$ અને $2$ વચ્ચે), $C_2$ (પ્લેટ $2$ અને $3$ વચ્ચે), અને $C_3$ (પ્લેટ $3$ અને $4$ વચ્ચે).
પ્લેટ $1$ અને $4$ જોડાયેલ હોવાથી, તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પર છે. ધારો કે આ સ્થિતિમાન $V_0$ છે.
ટર્મિનલ $a$ એ પ્લેટ $2$ સાથે અને ટર્મિનલ $b$ એ પ્લેટ $3$ સાથે જોડાયેલ છે.
કેપેસીટર $C_1$ એ પ્લેટ $1$ ($V_0$ પર) અને પ્લેટ $2$ ($V_a$ પર) વચ્ચે છે.
કેપેસીટર $C_2$ એ પ્લેટ $2$ ($V_a$ પર) અને પ્લેટ $3$ ($V_b$ પર) વચ્ચે છે.
કેપેસીટર $C_3$ એ પ્લેટ $3$ ($V_b$ પર) અને પ્લેટ $4$ ($V_0$ પર) વચ્ચે છે.
આ એક સર્કિટ બનાવે છે જેમાં $C_1$ અને $C_3$ સમાંતરમાં છે, અને આ સંયોજન $C_2$ સાથે શ્રેણીમાં છે. જોકે, આપેલ સર્કિટ આકૃતિ જોતા, તે $C_2$ ને $C_1$ અને $C_3$ ના શ્રેણી સંયોજન સાથે સમાંતરમાં દર્શાવે છે.
સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_2 + (C_1 \text{ અને } C_3 \text{ શ્રેણીમાં}) = C + \frac{C \times C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3}{2}C$.
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મૂકતા, આપણને $C_{ab} = \frac{3}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ મળે છે.

(C) આ પરિપથ સંમિત છે. સંમિતિને કારણે,ઉપરની શાખાના નોડ્સ અને નીચેની શાખાના અનુરૂપ નોડ્સ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે. તેથી,ઊભી કેપેસીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને તેમને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
ઊભી કેપેસીટરને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે. દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસીટર છે: $C, 2C, 4C, 8C, \dots$
એક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $(C_{branch})$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{branch}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{4C} + \frac{1}{8C} + \dots$
$\frac{1}{C_{branch}} = \frac{1}{C} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
આ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે. સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{C_{branch}} = \frac{1}{C} \times 2 = \frac{2}{C} \Rightarrow C_{branch} = \frac{C}{2}$.
કારણ કે સમાંતરમાં આવી બે શાખાઓ છે,કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ:
$C_{eq} = C_{branch} + C_{branch} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$ થાય છે.

(D) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સ્ટ્રક્ચરને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે।
$1$. બ્રિજના ભાગમાં, ચારેય કેપેસિટર સમાન કેપેસિટન્સ $C$ ધરાવે છે। વિરુદ્ધ બાજુઓના કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $C/C = C/C$ છે, જે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરતનું પાલન કરે છે।
$2$. તેથી, બ્રિજના મધ્યમાં રહેલા કેપેસિટર પર કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નથી અને તેને દૂર કરી શકાય છે।
$3$. બ્રિજમાં બાકી રહેલા ચાર કેપેસિટર બે શ્રેણી શાખાઓ $(C \text{ અને } C)$ બનાવે છે જે એકબીજા સાથે સમાંતર છે। બ્રિજનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$ છે।
$4$. આ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$, $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા બાકીના કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતરમાં છે।
$5$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2\,C$ થાય છે।

(B) આ પરિપથ $AB$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડેલી બે શાખાઓનો બનેલો છે.
એક શાખામાં $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતો કેપેસિટર છે.
બીજી શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ કેપેસિટર છે: $2C$,$C$,અને $2C$.
શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{1+2+1}{2C} = \frac{4}{2C} = \frac{2}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$C_{eq} = \frac{C}{2}$.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,આ શાખાના દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે,જે $Q = C_{eq} \times V = (\frac{C}{2}) \times 30 = 15C$ છે.
કેપેસિટર $C$ (બિંદુ $M$ અને $N$ વચ્ચે) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{MN} = \frac{Q}{C} = \frac{15C}{C} = 15\, V$ છે.

(C) $1$. સર્કિટનું અવલોકન કરો: બે $2 \mu F$ ના કેપેસીટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ છે.
$2$. હવે,સર્કિટ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ $4 \mu F$ કેપેસીટરમાં સરળ બને છે.
$3$. શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસીટર માટે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{AB}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$5$. તેથી,$C_{AB} = \frac{4}{3} \mu F$.
*નોંધ*: આપેલ વિકલ્પોમાં ભૂલ હોઈ શકે છે,પરંતુ ઉકેલ મુજબ $C$ વિકલ્પ પસંદ કરેલ છે.

(B) $1$. નીચે ડાબી બાજુએ રહેલા ત્રણ કેપેસીટર,જે દરેકનું કેપેસીટન્સ $C$ છે,તે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{p1} = C + C + C = 3C$ થાય.
$2$. આ $3C$ તેની ઉપર રહેલા $3C$ ના કેપેસીટર સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{s1} = \frac{3C \times 3C}{3C + 3C} = \frac{9C^2}{6C} = 1.5C = \frac{3C}{2}$ થાય.
$3$. આ $\frac{3C}{2}$ તેની બાજુમાં રહેલા $\frac{3C}{2}$ ના કેપેસીટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{p2} = \frac{3C}{2} + \frac{3C}{2} = 3C$ થાય.
$4$. આ $3C$ સૌથી ઉપરના $3C$ ના કેપેસીટર સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{s2} = \frac{3C \times 3C}{3C + 3C} = 1.5C = \frac{3C}{2}$ થાય.
$5$. અંતે,આ $\frac{3C}{2}$ એ $P$ અને $Q$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $\frac{3C}{2}$ ના કેપેસીટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{3C}{2} + \frac{3C}{2} = 3C$ થાય.

(B) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે. $q = CV$ હોવાથી,$V = \frac{q}{C}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{C}$.
આપેલ કેપેસીટન્સ $C_1 = 1 \mu\text{F}$,$C_2 = 2 \mu\text{F}$,અને $C_3 = 3 \mu\text{F}$ છે.
તેમની વચ્ચેના વોલ્ટેજનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$ છે.
ધારો કે $V_1 = 6x$,$V_2 = 3x$,અને $V_3 = 2x$.
બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{1,max} = 2 \text{ V}$,$V_{2,max} = 1 \text{ V}$,અને $V_{3,max} = 3 \text{ V}$ છે.
કેપેસિટર બ્રેકડાઉન ન થાય તે માટે,દરેક પરનો વોલ્ટેજ તેના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ કરતા વધવો જોઈએ નહીં:
$1$) $6x \le 2 \Rightarrow x \le \frac{1}{3} \text{ V}$
$2$) $3x \le 1 \Rightarrow x \le \frac{1}{3} \text{ V}$
$3$) $2x \le 3 \Rightarrow x \le \frac{3}{2} \text{ V}$
બધી શરતો સંતોષવા માટે,આપણે સૌથી નાની કિંમત $x = \frac{1}{3} \text{ V}$ પસંદ કરવી જોઈએ.
કુલ $emf$ $E = V_1 + V_2 + V_3 = 6x + 3x + 2x = 11x$.
$x = \frac{1}{3} \text{ V}$ મૂકતા,આપણને $E = 11 \times \frac{1}{3} = \frac{11}{3} \text{ V}$ મળે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,જમણી બાજુના બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે અને તેમનું સંયોજન ડાબી બાજુના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. જોકે,સર્કિટ આકૃતિ જોતા,વર્ટિકલ કેપેસિટર એવા બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ છે જે જમણી બાજુના વાયર દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,પોટેન્શિયલ તફાવતનું વિશ્લેષણ કરતા,વર્ટિકલ કેપેસિટર એવા બે બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ છે જે સમાંતર વાયર જોડાણને કારણે સમાન પોટેન્શિયલ પર છે.
આમ,વર્ટિકલ કેપેસિટર શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ છે અને તે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સમાં કોઈ ફાળો આપતું નથી.
બાકીના બે કેપેસિટર ઇનપુટ ટર્મિનલ્સ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ થાય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
પરિપથનું અવલોકન કરીને,આપણે નોડ્સને નામ આપી શકીએ છીએ.
પરિપથની રચના જોતા,ત્રણેય કેપેસીટર બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C + C = 3C$ થાય છે.

(B) $1$. સર્કિટનું માળખું ઓળખો: સર્કિટમાં પાંચ કેપેસિટર છે,જે દરેકનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
$2$. જમણી બાજુના ભાગને સરળ બનાવો: જમણી બાજુના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ થાય.
$3$. મધ્ય ભાગને સરળ બનાવો: આ $C_{s1} = \frac{C}{2}$ એ મધ્યના ઉભા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_{p1} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ થાય.
$4$. બાકીના શ્રેણી ભાગને સરળ બનાવો: આ $C_{p1} = \frac{3C}{2}$ એ ઉપરના આડા કેપેસિટર $C$ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_{s2} = \frac{C \times (3C/2)}{C + (3C/2)} = \frac{3C^2/2}{5C/2} = \frac{3C}{5}$ થાય.
$5$. અંતિમ સમાંતર જોડાણ: આ $C_{s2} = \frac{3C}{5}$ એ ડાબી બાજુના ઉભા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + \frac{3C}{5} = \frac{8C}{5} = 1.6\,C$ થાય.

(B) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસિટર્સને જોડીને સર્કિટને સરળ બનાવો. $23 \mu F$ અને $12 \mu F$ ના કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_p = 23 + 12 = 35 \mu F$. તેવી જ રીતે,જમણી બાજુના બે $1 \mu F$ કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_p = 1 + 1 = 2 \mu F$.
હવે,સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે જેમાં $C_1 = 35 \mu F$,$C_3 = 10 \mu F$,$C_2 = 7 \mu F$,અને $C_4 = 2 \mu F$ છે,અને વચ્ચે $13 \mu F$ નો કેપેસિટર છે.
ગુણોત્તર તપાસો: $\frac{C_1}{C_3} = \frac{35}{10} = 3.5$ અને $\frac{C_2}{C_4} = \frac{7}{2} = 3.5$.
કારણ કે $\frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4}$,બ્રિજ સંતુલિત છે,તેથી વચ્ચેના $13 \mu F$ કેપેસિટરને દૂર કરી શકાય છે.
હવે,ઉપરની શાખામાં $35 \mu F$ અને $7 \mu F$ શ્રેણીમાં છે: $C_{up} = \frac{35 \times 7}{35 + 7} = \frac{245}{42} = \frac{35}{6} \mu F$.
નીચેની શાખામાં $10 \mu F$ અને $2 \mu F$ શ્રેણીમાં છે: $C_{low} = \frac{10 \times 2}{10 + 2} = \frac{20}{12} = \frac{10}{6} \mu F$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = \frac{35}{6} + \frac{10}{6} = \frac{45}{6} = 7.5 \mu F$.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક માટે વિદ્યુતભાર $q$ સમાન રહેશે.
ચાર કેપેસિટર પરનો કુલ સ્થિતિમાનનો તફાવત $10 \, V$ છે. તેથી,$\frac{q}{C} + \frac{q}{C} + \frac{q}{C} + \frac{q}{C} = 10 \, V$,જે આપણને $\frac{q}{C} = 2.5 \, V$ આપે છે.
બિંદુ $X$ ને અર્થિંગ કરેલું છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $V_X = 0 \, V$ છે.
પરિપથ આકૃતિ જોતા,બિંદુ $A$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલું છે અને બિંદુ $A$ અને $X$ ની વચ્ચે ત્રણ કેપેસિટર છે. $A$ અને $X$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_X = \frac{q}{C} + \frac{q}{C} + \frac{q}{C} = 3 \times 2.5 \, V = 7.5 \, V$ થાય છે.
$V_X = 0 \, V$ હોવાથી,$V_A = 7.5 \, V$ મળે છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં કુલ $n$ કેપેસિટર છે. એક કેપેસિટર સીધું બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે જોડાયેલ છે.
બાકીના $(n - 1)$ કેપેસિટર $A$ અને $B$ વચ્ચેના બીજા માર્ગ પર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
આ $(n - 1)$ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે:
$C_{series} = \frac{C}{n - 1}$
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસિટર,$A$ અને $B$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$:
$C_{eq} = C + C_{series} = C + \frac{C}{n - 1}$
$C_{eq} = \frac{C(n - 1) + C}{n - 1} = \frac{Cn - C + C}{n - 1} = \frac{nC}{n - 1}$

(C) બે કેપેસિટરો $C$ અને $2C$ એ $10 \ V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{eq} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$
અહીં $C = 6 \ \mu F$ આપેલ છે,તેથી સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = \frac{2}{3} \times 6 \ \mu F = 4 \ \mu F$
બેટરીમાંથી લેવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = C_{eq} \times V = 4 \ \mu F \times 10 \ V = 40 \ \mu C$
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ સંગ્રહિત થશે. તેથી,$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $40 \ \mu C$ છે.

(B) $1$. ધારો કે બિંદુ $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P$ અને બિંદુ $Q$ પરનું સ્થિતિમાન $V_Q$ છે.
$2$. જમણી બાજુનું $2C$ કેપેસીટર સીધું $P$ અને $Q$ વચ્ચે જોડાયેલું છે.
$3$. ડાબી બાજુની શાખામાં $2C$ અને $2C$ ના બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે,જે $C$ કેપેસીટર સાથે સમાંતર છે. આ ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq1} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = C$ થાય.
$4$. આ $C$ એ બીજા $C$ કેપેસીટર સાથે સમાંતર છે,તેથી આ બ્લોકનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C + C = 2C$ થાય.
$5$. હવે,આ $2C$ એ નીચેના $C$ કેપેસીટર સાથે શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq2} = \frac{2C \times C}{2C + C} = \frac{2C}{3}$ થાય.
$6$. અંતે,આ $\frac{2C}{3}$ એ જમણી બાજુના $2C$ કેપેસીટર સાથે સમાંતર છે.
$7$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = 2C + \frac{2C}{3} = \frac{8C}{3}$ થાય.

(C) પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણો ઓળખીને સમજીએ.
$1$. ઉપરની શાખામાં બે $1 \, \mu F$ ના કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1 = 0.5 \, \mu F$ થાય.
$2$. જોકે,આકૃતિ જોતા,મધ્યમાં રહેલ $1 \, \mu F$ કેપેસીટર અને ઉપર-ડાબી બાજુનો $1 \, \mu F$ કેપેસીટર સમાંતરમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $1 + 1 = 2 \, \mu F$ થાય.
$3$. આ $2 \, \mu F$ નું સંયોજન ઉપર-જમણી બાજુના $1 \, \mu F$ કેપેસીટર સાથે શ્રેણીમાં છે. તેથી આ ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{upper} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \, \mu F$ થાય.
$4$. આ આખી ઉપરની શાખા નીચેના $2 \, \mu F$ કેપેસીટર સાથે સમાંતરમાં છે.
$5$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_{upper} + 2 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2 + 6}{3} = \frac{8}{3} \, \mu F$ થાય.

(C) આપેલ સર્કિટમાં ચાર કેપેસિટર છે,જે દરેક $2\,\mu F$ ના છે. ધારો કે કેપેસિટર $C_1, C_2, C_3$ અને $C_4$ છે. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધું જોડાયેલ કેપેસિટર બાકીના ત્રણ શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ધારો કે ઉપરનું કેપેસિટર $C_1 = 2\,\mu F$ છે. બાકીના ત્રણ કેપેસિટર $(C_2, C_3, C_4)$ નીચે અને બાજુઓ પર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ ત્રણના શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$C_s = \frac{2}{3}\,\mu F$.
હવે,આ શ્રેણી જોડાણ $C_s$ એ $C_1$ સાથે સમાંતર છે. તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_s = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}\,\mu F$ થાય.

(D) $1$. બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચેનું સમાંતર જોડાણ ઓળખો: $2\, \mu F$,$5\, \mu F$ અને $5\, \mu F$ ના કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{CD} = 2 + 5 + 5 = 12\, \mu F$ થાય.
$2$. બિંદુ $E$ અને $B$ વચ્ચેનું સમાંતર જોડાણ ઓળખો: $4\, \mu F$ અને $2\, \mu F$ ના કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{EB} = 4 + 2 = 6\, \mu F$ થાય.
$3$. હવે,સર્કિટ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર્સમાં સરળ બને છે: $6\, \mu F$ ($A$ સાથે જોડાયેલ),$C_{CD} = 12\, \mu F$,અને $C_{EB} = 6\, \mu F$.
$4$. શ્રેણી જોડાણ માટે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$.
$5$. સરવાળો કરતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{2 + 1 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.
$6$. તેથી,$C_{eq} = \frac{12}{5} = 2.4\, \mu F$.