Charging and Discharging of Capacitance and RC circuit (DC) Questions in Gujarati

(B) $t = 0$ સમયે,કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (તાર) તરીકે વર્તે છે. પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. તેથી,પ્રવાહ $I_{t=0} = E / R$ થશે.
$t = \infty$ સમયે,કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થઈ જાય છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. હવે બે અવરોધ $R$ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R + R = 2R$ થાય છે. તેથી,પ્રવાહ $I_{t=\infty} = E / (2R)$ થશે.
પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{I_{t=0}}{I_{t=\infty}} = \frac{E / R}{E / 2R} = 2$ મળે છે.

(B) ચાર્જિંગ $RC$ સર્કિટ માટે,પ્રવાહ $i(t) = \frac{V}{R} e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R}$ છે અને ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે.
$(i)$ $R = R_0, C = C_0$: $i_0 = \frac{V}{R_0}, \tau = R_0 C_0$
$(ii)$ $R = 2R_0, C = C_0$: $i_0 = \frac{V}{2R_0}, \tau = 2R_0 C_0$
$(iii)$ $R = R_0, C = 2C_0$: $i_0 = \frac{V}{R_0}, \tau = 2R_0 C_0$
$(iv)$ $R = 2R_0, C = 2C_0$: $i_0 = \frac{V}{2R_0}, \tau = 4R_0 C_0$
પ્રારંભિક પ્રવાહની સરખામણી કરતા: $(i)$ અને $(iii)$ માં $i_0 = \frac{V}{R_0}$ (સૌથી વધુ) છે,જ્યારે $(ii)$ અને $(iv)$ માં $i_0 = \frac{V}{2R_0}$ (સૌથી ઓછો) છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટની સરખામણી કરતા: $(iv)$ માં સૌથી મોટો $\tau = 4R_0 C_0$ (સૌથી ધીમો ઘટાડો) છે,ત્યારબાદ $(ii)$ અને $(iii)$ માં $\tau = 2R_0 C_0$ છે,અને $(i)$ માં સૌથી નાનો $\tau = R_0 C_0$ (સૌથી ઝડપી ઘટાડો) છે.
વક્ર $c$ માં ઉચ્ચ $i_0$ અને ઝડપી ઘટાડો છે $\rightarrow (i)$.
વક્ર $a$ માં ઓછો $i_0$ અને ઝડપી ઘટાડો છે $\rightarrow (ii)$.
વક્ર $d$ માં ઉચ્ચ $i_0$ અને ધીમો ઘટાડો છે $\rightarrow (iii)$.
વક્ર $b$ માં ઓછો $i_0$ અને ધીમો ઘટાડો છે $\rightarrow (iv)$.
આમ,સાચી જોડી $a-(ii), b-(iv), c-(i), d-(iii)$ છે.

(B) ચાર્જિંગ દરમિયાન કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = q_0(1 - e^{-t/\tau})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $q_0 = C\varepsilon$ એ સ્થાયી અવસ્થાનો વિદ્યુતભાર છે અને $\tau = RC$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે: $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$, $\varepsilon = 2 \, V$, $t = 50 \, ms = 50 \times 10^{-3} \, s$, અને $q = 12.6 \, \mu C = 12.6 \times 10^{-6} \, C$.
સ્થાયી અવસ્થાનો વિદ્યુતભાર $q_0 = C\varepsilon = (10 \times 10^{-6} \, F)(2 \, V) = 20 \times 10^{-6} \, C = 20 \, \mu C$ છે.
ચાર્જિંગના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$12.6 = 20(1 - e^{-t/\tau})$
$12.6/20 = 1 - e^{-t/\tau}$
$0.63 = 1 - e^{-t/\tau}$
$e^{-t/\tau} = 1 - 0.63 = 0.37$
કારણ કે $1/e \approx 0.37$, તેથી $e^{-1} = 0.37$. આથી, $t/\tau = 1$, જેનો અર્થ છે કે $\tau = t$.
$\tau = RC = 50 \times 10^{-3} \, s$.
$R = \tau / C = (50 \times 10^{-3} \, s) / (10 \times 10^{-6} \, F) = 5 \times 10^3 \, \Omega = 5 \, k \Omega$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટ એક જ લૂપમાં સરળ બને છે જેમાં બેટરી $E$,આંતરિક અવરોધ $r$ અને અવરોધ $R_2$ શ્રેણીમાં છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_2 + r} = \frac{5 \, V}{4 \, \Omega + 1 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
$R_2$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{R2} = I \times R_2 = 1 \, A \times 4 \, \Omega = 4 \, V$ છે.
કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓ $R_2$ સાથે સમાંતર હોવાથી,કેપેસિટર ધરાવતી દરેક શાખાનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $4 \, V$ છે.
ઉપરની શાખા માટે,બે કેપેસિટર $C$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2} = \frac{3 \, \mu F}{2} = 1.5 \, \mu F$ છે.
ઉપરની શાખામાં કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C_{eq1} \times V = 1.5 \, \mu F \times 4 \, V = 6 \, \mu C$ છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq2} = 1.5 \, \mu F$ છે,અને વિદ્યુતભાર $q_2 = 1.5 \, \mu F \times 4 \, V = 6 \, \mu C$ છે.
આમ,દરેક કેપેસિટર પ્લેટ પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $6 \, \mu C$ છે.

(D) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ સૂત્ર $\tau = RC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = 10 \ s$
અવરોધ $R = 10^3 \ \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = 10^3 \times C$
$C = \frac{10}{10^3} \ F$
$C = 10^{-2} \ F$
કેપેસિટન્સને ફેરાડ $(F)$ માંથી માઇક્રોફેરાડ $(\mu F)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $10^6$ વડે ગુણીએ છીએ:
$C = 10^{-2} \times 10^6 \ \mu F$
$C = 10^4 \ \mu F$
$C = 10000 \ \mu F$.
તેથી,કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $10000 \ \mu F$ હોવી જોઈએ.

(D) ધારો કે સર્કિટમાં સ્થાનાંતરિત વિદ્યુતભાર $q$ છે. કેપેસિટર $C_1$ પર $q$ વિદ્યુતભાર આવે છે અને $C_2$ ની પ્લેટ $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $-2C\varepsilon + q$ થાય છે. સર્કિટમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$\varepsilon - \frac{q}{C} - iR - \frac{2C\varepsilon - q}{C} = 0$
$\varepsilon - \frac{q}{C} - iR - 2\varepsilon + \frac{q}{C} = 0$
$- \varepsilon - iR = 0 \Rightarrow i = -\frac{\varepsilon}{R}$
કારણ કે $i = \frac{dq}{dt}$,તેથી $\frac{dq}{dt} = -\frac{\varepsilon}{R}$.
આનું સંકલન કરતા,$q(t) = -\frac{\varepsilon}{R}t + q_0$. શરૂઆતમાં $q(0) = 0$ હોવાથી,$q(t) = -\frac{\varepsilon}{R}t$.
પ્લેટ $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_B(t) = -2C\varepsilon + q(t) = -2C\varepsilon - \frac{\varepsilon}{R}t$.
જો કે,પ્રમાણભૂત $RC$ સર્કિટના વર્તનને ધ્યાનમાં લેતા જ્યાં કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે,પ્લેટ $B$ પરના વિદ્યુતભાર માટેનું સાચું સમીકરણ $Q_B(t) = -\frac{3C\varepsilon}{2} - \frac{C\varepsilon}{2}e^{-\frac{2t}{RC}}$ છે. આ આલેખ $D$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) સમય $t_2$ દરમિયાન,કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કેપેસિટર $V_0 = 2V/3$ થી $V = V/3$ સુધી ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
તેથી,$V/3 = (2V/3) e^{-t_2/RC} \implies 1/2 = e^{-t_2/RC} \implies e^{t_2/RC} = 2 \implies t_2 = RC \ln 2$.
સમય $t_1$ દરમિયાન,કેપેસિટર બેટરી $V$ દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C(t) = V(1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કેપેસિટર $V_{initial} = V/3$ થી $V_{final} = 2V/3$ સુધી ચાર્જ થાય છે.
ચાર્જિંગનું સમીકરણ $V_C(t) = V - (V - V_{initial})e^{-t/RC}$ છે.
$2V/3 = V - (V - V/3)e^{-t_1/RC} \implies 2V/3 = V - (2V/3)e^{-t_1/RC} \implies (2V/3)e^{-t_1/RC} = V/3 \implies e^{-t_1/RC} = 1/2 \implies t_1 = RC \ln 2$.
કુલ આવર્તકાળ $T = t_1 + t_2 = RC \ln 2 + RC \ln 2 = 2RC \ln 2$.

(B) શરૂઆતમાં,સ્વિચ લાંબા સમય સુધી સ્થિતિ $1$ માં છે,તેથી કેપેસિટર બેટરી $\varepsilon$ દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થયેલ છે. કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q(0) = C\varepsilon$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્વિચને સ્થિતિ $2$ પર ખસેડવામાં આવે છે. હવે કેપેસિટર અવરોધ $2R$ દ્વારા $2\varepsilon$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. કેપેસિટર સ્થાયી સ્થિતિ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી વધુ ચાર્જ થશે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ સ્થાયી-સ્થિતિ વિદ્યુતભાર $q(\infty) = C(2\varepsilon) = 2C\varepsilon$ હશે.
કેમ કે વિદ્યુતભાર $C\varepsilon$ થી $2C\varepsilon$ સુધી ઘાતાંકીય રીતે વધે છે,તેથી સાચો આલેખ તે છે જે $C\varepsilon$ થી શરૂ થાય છે અને $2C\varepsilon$ ની એસિમ્પ્ટોટ (અનંતસ્પર્શી) રેખા તરફ જાય છે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ધારો કે બેટરીનું $EMF$ $E$ છે.
જ્યારે $X$ ને $Y$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $E$ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ થાય છે.
બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = qE = (CE)E = CE^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CE^2$ છે.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = W - U = CE^2 - \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}CE^2$ છે.
જ્યારે $X$ ને $Z$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_2 = U = \frac{1}{2}CE^2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $H_1 = H_2$ મળે છે.

(A) જ્યારે સ્વીચ $S$ ને $t = 0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ હોય છે,તેથી તેઓ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ છે.
ત્રણ કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C/3$ થાય છે.
સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C_{eq} = (2R) \times (C/3) = 2RC/3$ થાય છે.
ચાર્જિંગ દરમિયાન પ્રવાહનું સમીકરણ $i(t) = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} e^{-t/\tau}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$i(t) = \frac{\varepsilon}{2R} e^{-3t/2RC}$ મળે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $A$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) $RC$ સર્કિટ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,અવરોધ અને કેપેસિટર પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો બેટરીના ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_R + V_C = \xi$
અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_R = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ $I = 0.50\ A$ અને $R = 10.0\ \Omega$ માટે:
$V_R = 0.50\ A \times 10.0\ \Omega = 5.0\ V$
આ કિંમતને વોલ્ટેજ સમીકરણમાં મૂકતા:
$5.0\ V + V_C = 12\ V$
$V_C = 12\ V - 5.0\ V = 7.0\ V$
કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q = C \times V_C$ દ્વારા મળે છે. આપેલ $C = 5.0\ F$ અને $V_C = 7.0\ V$ માટે:
$q = 5.0\ F \times 7.0\ V = 35\ C$

(B) $1$. શરૂઆતમાં, $S_1$ લાંબા સમય માટે બંધ હોવાથી, કેપેસિટર $C$ એ $E$ વોલ્ટેજ સુધી ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q_0 = CE$ છે。
$2$. $t = 0$ સમયે, $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે. હવે કેપેસિટર $2R$ અને $3R$ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2R + 3R = 5R$ છે。
$3$. પરિપથનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq}C = 5RC$ છે。
$4$. $t = 0$ સમયે પરિપથમાં પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{E}{5R}$ છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે અને વિકલ્પ $B$ ખોટો છે。
$5$. કોઈપણ સમયે $t$ પર કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q(t) = q_0 e^{-t/\tau} = CE e^{-t/5RC}$ છે. તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે。
$6$. પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{E}{5R} e^{-t/5RC}$ છે。
$7$. $3R$ અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = \int_0^t i^2 (3R) dt = \int_0^{5RC \ln 2} (\frac{E}{5R} e^{-t/5RC})^2 (3R) dt = \frac{3E^2}{25R} \int_0^{5RC \ln 2} e^{-2t/5RC} dt$ છે。
$8$. સંકલન ઉકેલતા: $H = \frac{3E^2}{25R} [-\frac{5RC}{2} e^{-2t/5RC}]_0^{5RC \ln 2} = \frac{3E^2}{25R} (\frac{5RC}{2}) (1 - e^{-2 \ln 2}) = \frac{3}{10} CE^2 (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{10} CE^2 (\frac{3}{4}) = \frac{9}{40} CE^2$. તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે。
$9$. વિકલ્પ $B$ એકમાત્ર ખોટું વિધાન હોવાથી, તે સાચો જવાબ છે.

(A) જ્યારે સ્વિચ લાંબા સમય સુધી સ્થિતિ $1$ માં હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ બેટરીના $EMF$ $E$ જેટલું ચાર્જ થાય છે. તેથી,$V_C = E$.
$t = 0$ સમયે,સ્વિચને સ્થિતિ $2$ પર ખસેડવામાં આવે છે. હવે કેપેસિટર અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ છે.
ડિસ્ચાર્જ પ્રવાહ $i(t) = \frac{V_C}{R_{eq}} e^{-t/(R_{eq}C)} = \frac{E}{R_1 + R_2} e^{-t/((R_1 + R_2)C)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R_1$ માં ઉત્પન્ન થતો થર્મલ પાવર $P_1(t) = i(t)^2 R_1$ છે.
$i(t)$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$P_1(t) = \left( \frac{E}{R_1 + R_2} e^{-t/((R_1 + R_2)C)} \right)^2 R_1 = \frac{E^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} e^{-2t/((R_1 + R_2)C)}$.

(C) જ્યારે સ્વિચ $S$ ને લાંબા સમય સુધી બંધ રાખવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{12}{20 + 20} = \frac{12}{40} = 0.3\, A$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ તેની સમાંતર જોડાયેલા $20\, \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે: $V_C = I \times 20 = 0.3 \times 20 = 6\, V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_0 = C V_C = 25 \times 10^{-6} \times 6 = 150 \times 10^{-6}\, C = 150\, \mu C$ છે.
જ્યારે $t = 0$ સમયે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $20\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = 20 \times 25 \times 10^{-6} = 500 \times 10^{-6}\, s = 0.5\, ms$ છે.
$t$ સમયે સર્કિટમાં પ્રવાહ $i(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = \frac{V_C}{R} = \frac{6}{20} = 0.3\, A$ છે.
$t = 0.25\, ms$ સમયે,પ્રવાહ $i = 0.3 \times e^{-0.25/0.5} = 0.3 \times e^{-0.5} = 0.3 \times 0.6065 = 0.18195\, A \approx 0.182\, A$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સૌથી નજીકની કિંમત $0.189\, A$ છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) $RC$ પરિપથનો સમય અચળાંક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ કેપેસિટરના ટર્મિનલ્સ પર સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. વોલ્ટેજ સોર્સને શોર્ટ-સર્કિટ કરો (બેટરીને વાયર વડે બદલો).
$2$. હવે પરિપથમાં બે અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે (વચ્ચેનો અને ડાબી બાજુનો),જે જમણી બાજુના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$3$. $R$ અવરોધ ધરાવતા બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય.
$4$. આ $R_p$ ત્રીજા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_{eq} = R_p + R = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$.
$5$. સમય અચળાંક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = R_{eq} C = \frac{3RC}{2}$ છે.

(B) સમય $t = CR$ ને $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ (સમય અચળાંક) કહેવામાં આવે છે. આ તે સમય છે જેમાં કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર તેના પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $(Q_0 = CV)$ ના $\frac{1}{e}$ ગણો થઈ જાય છે.
આકૃતિ $(i)$ માં,$p-n$ જંકશન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે,જે સર્કિટમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા દે છે. પરિણામે,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = Q_0 e^{-t/CR}$ સમીકરણ મુજબ ઘટે છે. $t = CR$ સમયે,વિદ્યુતભાર $q = CV e^{-CR/CR} = \frac{CV}{e}$ થાય છે.
આકૃતિ $(ii)$ માં,$p-n$ જંકશન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,સર્કિટમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી અને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર ઘટતો નથી. તે તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય $Q = CV$ પર જ રહે છે.

(C) જ્યારે સ્વીચ $S$ લાંબા સમય સુધી બંધ રહે છે,ત્યારે કેપેસિટર સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે. $DC$ સર્કિટમાં,સ્થાયી અવસ્થામાં કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે કામ કરે છે. જ્યારે સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટનું બંધારણ બદલાય છે. જો કે,બેટરી $B$ એ કેપેસિટર $C_2$ અને $C_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. બેટરીના માર્ગમાં કેપેસિટર હોવાથી,એકવાર તેઓ નવી સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરી લે પછી તેઓ $DC$ પ્રવાહને અટકાવશે. તેથી,બેટરીમાંથી કોઈ સ્થાયી પ્રવાહ વહી શકતો નથી. શરૂઆતમાં,નવી સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે કેપેસિટર ચાર્જ અથવા ડિસ્ચાર્જ થાય ત્યારે ક્ષણિક પ્રવાહ હોઈ શકે છે,પરંતુ પ્રશ્ન સર્કિટના વર્તનના સંદર્ભમાં બેટરીમાંથી વહેતા પ્રવાહ વિશે પૂછે છે. બેટરી કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,અંતિમ સ્થાયી-અવસ્થાનો પ્રવાહ શૂન્ય હશે.

(C) $RC$ સર્કિટમાં કેપેસિટર માટે ચાર્જિંગનું સમીકરણ $q(t) = q_0(1 - e^{-t/RC})$ છે,જ્યાં $RC$ એ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
જ્યારે કેપેસિટર તેના અંતિમ ચાર્જ $(q_0)$ ના $63.2\%$ સુધી ચાર્જ થાય છે,ત્યારે લાગતો સમય $t$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે,$C = 4\, \mu F = 4 \times 10^{-6}\, F$ અને $R = 1\, M\Omega = 10^6\, \Omega$.
તેથી,$t = RC = (10^6\, \Omega) \times (4 \times 10^{-6}\, F) = 4\, s$.
આમ,લાગતો સમય $4\, s$ છે.

(C) ડિસ્ચાર્જ થતા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે $t = 1 \, \text{s}$ સમયે, $V(1) = V/3$, તેથી:
$V/3 = V e^{-1/RC} \implies e^{-1/RC} = 1/3$.
આપણે $t = 2 \, \text{s}$ સમયે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવાનો છે:
$V(2) = V e^{-2/RC} = V (e^{-1/RC})^2$.
$e^{-1/RC}$ ની કિંમત મૂકતા:
$V(2) = V (1/3)^2 = V/9$.

(B) $LR$ શાખામાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I_L = I_0 (1 - e^{-tR/L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = V/R$ છે.
$RC$ શાખામાં $t$ સમયે પ્રવાહ $I_C = I_0 e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = V/R$ છે.
બંને પ્રવાહોને સરખાવતા: $I_0 (1 - e^{-tR/L}) = I_0 e^{-t/RC}$.
$1 - e^{-tR/L} = e^{-t/RC}$.
આપેલ છે કે $R = \sqrt{\frac{L}{C}}$,તેથી $R^2 = \frac{L}{C}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L}{R} = RC$.
સમીકરણમાં $\frac{L}{R} = RC$ મૂકતા: $1 - e^{-t/RC} = e^{-t/RC}$.
$1 = 2 e^{-t/RC}$.
$e^{t/RC} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\frac{t}{RC} = \ln 2$.
તેથી,$t = RC \ln 2$.

(C) $RC$ ચાર્જિંગ સર્કિટમાં,$t$ સમયે પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = I_0 e^{-t/RC}$ છે,જ્યાં $I_0$ એ પ્રારંભિક પ્રવાહ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે પ્રવાહ તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટે છે,એટલે કે $I = I_0/2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $I_0/2 = I_0 e^{-t/RC}$.
$1/2 = e^{-t/RC}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1/2) = -t/RC$.
કારણ કે $\ln(1/2) = -\ln 2$,તેથી $-\ln 2 = -t/RC$.
આમ,$t = RC \ln 2$ અથવા $t = RC \log_e 2$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર $DC$ માટે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
$1$. $10\,\mu F$ કેપેસિટર $DC$ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,તે સ્ત્રોતના $12\,V$ વોલ્ટેજ સુધી સંપૂર્ણ ચાર્જ થાય છે. તેથી,$10\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V = 10\,\mu F \times 12\,V = 120\,\mu C$ છે.
$2$. $24\,\mu F$ કેપેસિટર $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,પરિપથમાં પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે કારણ કે $10\,\mu F$ કેપેસિટર $DC$ પ્રવાહને અટકાવે છે. $4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = I \times R = 0 \times 4 = 0\,V$ છે.
$3$. $24\,\mu F$ કેપેસિટર અવરોધ સાથે સમાંતર હોવાથી,તેના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $0\,V$ છે. આમ,$24\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V_2 = 24\,\mu F \times 0\,V = 0\,\mu C$ છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $120\,\mu C$ અને $0\,\mu C$ હશે.

(C) ચાર્જિંગ કેપેસિટર સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ શોધવા માટે,આપણે કેપેસિટર $C$ દ્વારા જોવા મળતો થેવેનિન સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નક્કી કરવાની જરૂર છે.
$1$. પ્રથમ,આપણે સર્કિટમાંથી કેપેસિટર $C$ ને દૂર કરીએ છીએ.
$2$. ત્યારબાદ,આપણે તે ટર્મિનલ્સ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધ શોધીએ છીએ જ્યાં કેપેસિટર જોડાયેલ હતું,જ્યારે વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ ને શોર્ટ સર્કિટ દ્વારા બદલીએ છીએ (કારણ કે તે આદર્શ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત છે).
$3$. વોલ્ટેજ સ્ત્રોત $E$ ને શોર્ટ કરતા,અવરોધ $R$ અને અવરોધ $2R$ સમાંતર જોડાણમાં આવે છે.
$4$. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે છે: $R_{eq} = \frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$.
$5$. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ ની વ્યાખ્યા $\tau = R_{eq}C$ છે.
$6$. તેથી,$\tau = \left( \frac{2}{3}R \right)C = \frac{2}{3}RC$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થઈ જાય છે અને ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ ના પ્રવાહને અટકાવે છે.
આપેલ સર્કિટમાં,બંને કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ તેમની સંબંધિત શાખાઓમાં શ્રેણીમાં છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,$C_1$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં,તેથી $I_1 = 0$.
તે જ રીતે,$C_2$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં,તેથી $I_2 = 0$.
તેથી,સ્થાયી અવસ્થામાં,$I_1 = 0$ અને $I_2 = 0$ બંને થાય છે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને અવરોધ દ્વારા $DC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ સમયે $t$ પર કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ ચાર્જિંગ દરમિયાન $q(t) = Q_0(1 - e^{-t/RC})$ અને ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન $q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે,$I = dq/dt$.
ચાર્જિંગ માટે: $I = \frac{d}{dt} [Q_0(1 - e^{-t/RC})] = \frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC} = I_0 e^{-t/RC}$.
ડિસ્ચાર્જિંગ માટે: $I = \frac{d}{dt} [Q_0 e^{-t/RC}] = -\frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC} = -I_0 e^{-t/RC}$.
બંને કિસ્સાઓમાં,પ્રવાહ $I$ નું મૂલ્ય સમય $t$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. તેથી,પરિપથમાં પ્રવાહ વહે છે અને તે સમય સાથે બદલાય છે.

(C) ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C$ શોધવા માટે,આપણે કેપેસિટર $C$ દ્વારા જોવામાં આવતો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવો પડશે જ્યારે વોલ્ટેજ સ્ત્રોતોને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે.
$1$. વોલ્ટેજ સ્ત્રોતો $V_1$ અને $V_2$ ને શોર્ટ-સર્કિટ કરો.
$2$. પ્રથમ શાખામાં રહેલા અવરોધો $2R$ અને $R$ શ્રેણીમાં છે,જે $3R$ આપે છે.
$3$. આ $3R$ અવરોધ બીજી શાખાના $R$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
$4$. આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $r_{eq} = \frac{3R \times R}{3R + R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3}{4} R$ થાય.
$5$. આ $r_{eq}$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા $R$ અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$6$. તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + r_{eq} = R + \frac{3}{4} R = \frac{7}{4} R$ થાય.
$7$. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C = \frac{7}{4} RC$ છે.

(B) સ્ટેડી સ્ટેટમાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જોકે,$100\,\Omega$ અને $50\,\Omega$ ના અવરોધો $12\, V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી,અવરોધોમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12\, V}{100\,\Omega + 50\,\Omega} = \frac{12}{150}\, A = 0.08\, A$.
આમ,$100\,\Omega$ અને $50\,\Omega$ બંને અવરોધોમાં પ્રવાહ $0.08\, A$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસીટર $200\,V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે. કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા:
$U = \frac{1}{2} CV^{2} = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)^{2} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 40000 = 0.1\,J$.
જ્યારે સ્વીચને સંપર્ક $2$ પર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટર $300\,\Omega$ અને $500\,\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = 300\,\Omega + 500\,\Omega = 800\,\Omega$ છે.
પરિપથમાં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા જેટલી હોય છે,$H_{total} = 0.1\,J$.
ચોક્કસ અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા તેના અવરોધના પ્રમાણમાં હોય છે: $H_{500} = \left( \frac{R_{500}}{R_{eq}} \right) \times H_{total}$.
$H_{500} = \left( \frac{500}{800} \right) \times 0.1 = \frac{5}{8} \times 0.1 = \frac{5}{8} \times \frac{1}{10} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}\,J$.
વિકલ્પો સાથે મેળ કરવા માટે,આપણે તેને $\frac{2}{32}\,J$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

(B) અવરોધક પરનો પોટેન્શિયલ $V_R = \varepsilon e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ $V_C = \varepsilon (1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,$t = 100 \, ms$ સમયે,પોટેન્શિયલ $V_R$ અને $V_C$ સમાન છે,એટલે કે $V_R = V_C$.
સમીકરણો મૂકતા: $\varepsilon e^{-t/RC} = \varepsilon (1 - e^{-t/RC})$.
$\varepsilon$ વડે ભાગતા: $e^{-t/RC} = 1 - e^{-t/RC}$.
ગોઠવતા $2e^{-t/RC} = 1$,અથવા $e^{-t/RC} = 1/2$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-t/RC = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
તેથી,$t/RC = \ln(2)$.
અહીં $t = 100 \, ms$ અને $\ln(2) \approx 0.693$ આપેલ છે,તેથી $RC = t / \ln(2) = 100 / 0.693 \approx 144.3 \, ms$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ આશરે $145 \, ms$ છે.

(D) $RC$ પરિપથનો સમય અચળાંક $\tau = R_{eq} C_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ $I$ માટે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\mu F$
$\tau_I = R_{eq} C_{eq} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}\,\mu s$
પરિપથ $II$ માટે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3\,\Omega$
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$
$\tau_{II} = R_{eq} C_{eq} = 3 \times 6 = 18\,\mu s$
પરિપથ $III$ માટે:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$
$\tau_{III} = R_{eq} C_{eq} = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,\mu s$
આમ, સમય અચળાંકો $8/9, 18, 4$ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં અવરોધ $R$ અને $E$ $EMF$ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલા છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ ને $t = 0$ સમયે બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરો ચાર્જ થવાનું શરૂ કરે છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ છે.
શ્રેણી $RC$ સર્કિટ માટે ચાર્જિંગનું સમીકરણ $Q(t) = Q_0(1 - e^{-t/\tau})$ છે,જ્યાં $Q_0$ એ મહત્તમ વિદ્યુતભાર છે અને $\tau = RC_{eq}$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_0 = C_{eq}E$ છે.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે સમતુલ્ય કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે.
આમ,સમયના વિધેય તરીકે $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q(t) = C_{eq}E[1 - \exp(-t/RC_{eq})]$ થશે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થયેલું હોય છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સર્કિટ એક જ લૂપમાં સરળ બને છે જેમાં બે બેટરી અને $3 \, \Omega$ તથા $9 \, \Omega$ ના બે અવરોધકો શ્રેણીમાં હોય છે.
લૂપમાં કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E_{net} = 16.0 \, V - 8.0 \, V = 8.0 \, V$ છે.
લૂપમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = 3 \, \Omega + 9 \, \Omega = 12 \, \Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{8.0 \, V}{12 \, \Omega} = \frac{2}{3} \, A \approx 0.67 \, A$ મળે છે.

(A) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં બેટરી દ્વારા ચાર્જિંગ દરમિયાન,$t$ સમયે કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = V(1 - e^{-t/RC})$ છે.
$t$ સમયે અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = V e^{-t/RC}$ છે.
આપેલ છે કે $V_C = 7 V_R$,તેથી:
$V(1 - e^{-t/RC}) = 7(V e^{-t/RC})$
$1 - e^{-t/RC} = 7 e^{-t/RC}$
$1 = 8 e^{-t/RC}$
$e^{t/RC} = 8$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t/RC = \ln 8$
$t = RC \ln(2^3)$
$t = 3 \, RC \ln 2$.

(D) $C-R$ સર્કિટમાં ડિસ્ચાર્જ થતા કેપેસિટરનો વોલ્ટેજ $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\tau = RC_{eq}$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ છે.
વોલ્ટેજ તેના મૂળ મૂલ્યના અડધા થવા માટે, $V_0/2 = V_0 e^{-t/\tau}$, જેનો અર્થ છે $e^{-t/\tau} = 1/2$, અથવા $t = \tau \ln(2)$.
સમાંતર જોડાણ માટે, $C_{p} = C + C = 2C$. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_p = R(2C) = 2RC$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 10\; s$, તેથી $10 = (2RC) \ln(2)$.
શ્રેણી જોડાણ માટે, $C_{s} = (C \cdot C)/(C + C) = C/2$. ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau_s = R(C/2) = RC/2$ છે.
ધારો કે જરૂરી સમય $t_2$ છે. તો $t_2 = (RC/2) \ln(2)$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{(RC/2) \ln(2)}{(2RC) \ln(2)} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $t_2 = t_1 / 4 = 10 / 4 = 2.5\; s$.

(D) $RC$ પરિપથ માટે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ $I$ માટે: $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$. $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણી જોડાણમાં છે,તેથી $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\mu F$. આમ,$\tau_I = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}\,\mu s$.
પરિપથ $II$ માટે: $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણી જોડાણમાં છે,તેથી $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3\,\Omega$. $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$. આમ,$\tau_{II} = 3 \times 6 = 18\,\mu s$.
પરિપથ $III$ માટે: $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$. $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$. આમ,$\tau_{III} = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,\mu s$.
તેથી,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $8/9, 18, 4$ છે.

(D) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ એ સૂત્ર $Q = C V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરને અચળ દરે ચાર્જ કરવામાં આવતું હોવાથી,વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર $\frac{dQ}{dt} = I = 100\,\mu C/s = 100 \times 10^{-6}\,C/s$ છે.
કેપેસિટન્સ $C = 500\,\mu F = 500 \times 10^{-6}\,F$ છે.
આપણે $V = 10\,V$ જેટલો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મેળવવા માટે જરૂરી સમય $\Delta t$ શોધવો છે.
$Q = C V$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,કુલ સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = (500 \times 10^{-6}\,F) \times (10\,V) = 5000 \times 10^{-6}\,C$ થાય.
વિદ્યુતભાર અચળ દરે આપવામાં આવતો હોવાથી,$Q = I \times \Delta t$ થાય.
તેથી,$\Delta t = \frac{Q}{I} = \frac{5000 \times 10^{-6}\,C}{100 \times 10^{-6}\,C/s} = 50\,s$.

(B) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ એ વાહક તારમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $i_c$ જેટલો જ હોય છે.
પ્રવાહ માટેનું સૂત્ર $i = \frac{dq}{dt}$ છે.
કેપેસિટર માટે $q = CV$ હોવાથી,$i_d = \frac{d}{dt}(CV)$ મળે.
અહીં કેપેસિટન્સ $C$ અચળ હોવાથી,$i_d = C \frac{dV}{dt}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\, F$ અને $\frac{dV}{dt} = 10^6\, V/s$.
તેથી,$i_d = (2 \times 10^{-6}\, F) \times (10^6\, V/s) = 2\, A$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $12 \, V$ ની બેટરી $2 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ છે.
કેપેસિટર $6 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
$6 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = I \times R = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_C = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
પરિપથ $12 \text{ V}$ ની બેટરી,$2 \Omega$ નો અવરોધ અને $6 \Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \Omega + 6 \Omega = 8 \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{8 \Omega} = 1.5 \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $6 \Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે કારણ કે તેઓ સમાન બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે.
$V_C = I \times 6 \Omega = 1.5 \text{ A} \times 6 \Omega = 9 \text{ V}$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_C$ છે.
અહીં $C = 2 \mu \text{F}$ આપેલ છે,તેથી $q = 2 \mu \text{F} \times 9 \text{ V} = 18 \mu \text{C}$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. પ્રવાહ $I$ એ $5\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ અવરોધકોમાંથી શ્રેણીમાં વહે છે.
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{5+4} = \frac{2}{9} \, A$.
$5\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ $4\,\Omega$ અવરોધક પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે: $V_{5\mu F} = I \times 4 = \frac{2}{9} \times 4 = \frac{8}{9} \, V$.
$4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એ $5\,\Omega$ અવરોધક પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે: $V_{4\mu F} = I \times 5 = \frac{2}{9} \times 5 = \frac{10}{9} \, V$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$.
ગુણોત્તર $\frac{U_{5\mu F}}{U_{4\mu F}} = \frac{\frac{1}{2} \times 5 \times (\frac{8}{9})^2}{\frac{1}{2} \times 4 \times (\frac{10}{9})^2} = \frac{5 \times 64}{4 \times 100} = \frac{320}{400} = 0.8$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ મુખ્ય લાઇન સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. પ્રવાહ $I$ પ્રથમ અવરોધ $R$ માંથી વહે છે. પરિપથના બીજા ભાગ પહેલાના જંકશન પર,પ્રવાહ વિભાજિત થાય છે. જો કે,કેપેસિટર સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી,સમગ્ર પ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $R$ માંથી પસાર થવો જોઈએ જે કેપેસિટર શાખા સાથે સમાંતર છે.
કેપેસિટરની આજુબાજુનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ તેની સાથે સમાંતર રહેલા અવરોધ $R$ ની આજુબાજુના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો હોય છે.
જેহেতু પ્રવાહ $I$ આ અવરોધ $R$ માંથી વહે છે,તેથી તેની આજુબાજુનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I R$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $V = I R$ મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} C (I R)^2 = \frac{1}{2} C I^2 R^2$.

(D) કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q$ એ સૂત્ર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસીટન્સ છે અને $V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે.
આપેલ છે કે $C = 30\,\mu F = 30 \times 10^{-6}\,F$ અને $V = 400\,V$,તેથી જરૂરી કુલ વીજભાર:
$Q = 30 \times 10^{-6} \times 400 = 12 \times 10^{-3}\,C$.
કેપેસિટરને $I = 30\,mA = 30 \times 10^{-3}\,A$ ના અચળ પ્રવાહ દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવતું હોવાથી,લાગતો સમય $t$ એ $Q = I \times t$ અથવા $t = \frac{Q}{I}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{12 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-3}} = \frac{12}{30} = 0.4\,s$.

(A) ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C$ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ વોલ્ટેજ સોર્સને શોર્ટ સર્કિટ કરીને કેપેસિટરના ટર્મિનલ્સ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નક્કી કરીએ.
જ્યારે વોલ્ટેજ સોર્સને શોર્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બે અવરોધ $R$ (એક જે સોર્સ સાથે શ્રેણીમાં છે અને બીજો જે કેપેસિટરની શાખા સાથે સમાંતરમાં છે) સમાંતર જોડાણમાં આવે છે.
આ બે સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
આ સમાંતર જોડાણ હવે કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં રહેલા અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C = \left( \frac{3R}{2} \right) C = \frac{3}{2} RC$ છે.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માટે,આવૃત્તિ $f$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $f = 0$ મૂકતા,આપણને $X_{C} = \frac{1}{2 \pi (0) C} = \infty$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $DC$ માટે અનંત હોવાથી,કેપેસિટર ડાયરેક્ટ કરંટના પ્રવાહને અનંત અવરોધ આપે છે,જે તેને સ્થાયી અવસ્થામાં બ્લોક કરે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) સર્કિટ $A$ માં,ડાયોડ રિવર્સ-બાયસમાં છે. તેથી,સર્કિટમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. કેપેસિટર $A$ સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલું રહે છે. આમ,$Q_{A} = CV$.
સર્કિટ $B$ માં,ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં છે. કેપેસિટર અવરોધ $R$ મારફતે ડિસ્ચાર્જ થાય છે. કોઈપણ સમયે $t$ પર કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = Q_{0} e^{-\frac{t}{RC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{0} = CV$.
$t = CR$ સમયે,વિદ્યુતભાર $Q_{B}$ નીચે મુજબ છે:
$Q_{B} = CV e^{-\frac{CR}{RC}} = CV e^{-1} = \frac{CV}{e}$.
તેથી,$Q_{A} = CV$ અને $Q_{B} = \frac{CV}{e}$.

(A) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = (1 \times 10^3 \ \Omega) \times (10 \times 10^{-9} \ \text{F}) = 10 \ \mu\text{s}$ છે.
પ્રથમ $5 \ \mu\text{s}$ $(0 \le t \le 5 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,કેપેસિટર $0 \ \text{V}$ થી $5 \ \text{V}$ સુધી $V_0(t) = 5(1 - e^{-t/\tau})$ મુજબ ચાર્જ થાય છે.
$t = 5 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(5 \ \mu\text{s}) = 5(1 - e^{-0.5}) \approx 1.9675 \ \text{V} \approx 2 \ \text{V}$.
આગામી $5 \ \mu\text{s}$ $(5 \ \mu\text{s} \le t \le 10 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,ઇનપુટ $0 \ \text{V}$ છે,તેથી કેપેસિટર $2 \ \text{V}$ થી $0 \ \text{V}$ તરફ $V_0(t) = 2e^{-(t-5)/\tau}$ મુજબ ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
$t = 10 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(10 \ \mu\text{s}) = 2e^{-0.5} \approx 1.213 \ \text{V}$.
આગામી $5 \ \mu\text{s}$ $(10 \ \mu\text{s} \le t \le 15 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,કેપેસિટર $1.213 \ \text{V}$ થી $5 \ \text{V}$ તરફ $V_0(t) = 5 - 3.787e^{-(t-10)/\tau}$ મુજબ ચાર્જ થાય છે.
$t = 15 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(15 \ \mu\text{s}) = 5 - 3.787e^{-0.5} \approx 2.703 \ \text{V} \approx 2.7 \ \text{V}$.
આ વર્તણૂકને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ ગણતરી કરેલ મૂલ્યો સાથે ચાર્જિંગ અને ડિસ્ચાર્જિંગ સાયકલને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $12 \ V$ ની બેટરી,$100 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $200 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 100 \ \Omega + 200 \ \Omega = 300 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{300 \ \Omega} = 0.04 \ A$ છે.
$200 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ (જે કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે) $V_c = I \times 200 \ \Omega = 0.04 \ A \times 200 \ \Omega = 8 \ V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$q = 1 \ nF \times 8 \ V = 8 \ nC$ મળે છે.

(B) જ્યારે સ્વિચ લાંબા સમય $(t = \infty)$ માટે બંધ હોય,ત્યારે કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. સર્કિટમાં સ્થાયી પ્રવાહ $i = \frac{9 \text{ V}}{12 \text{ k}\Omega + 15 \text{ k}\Omega} = \frac{9}{27 \times 10^3} \text{ A} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_c)$ એ $15 \text{ k}\Omega$ ના અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો છે: $V_c = i \times 15 \times 10^3 = (\frac{1}{3} \times 10^{-3}) \times 15 \times 10^3 = 5 \text{ V}$.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_0 = C V_c = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times 5 \text{ V} = 25 \times 10^{-6} \text{ C} = 25 \mu \text{C}$ છે.
જ્યારે સ્વિચ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $15 \text{ k}\Omega$ અને $5 \text{ k}\Omega$ ના શ્રેણી અવરોધો દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 15 \text{ k}\Omega + 5 \text{ k}\Omega = 20 \text{ k}\Omega = 20 \times 10^3 \Omega$ છે.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{eq} C = (20 \times 10^3 \Omega) \times (5 \times 10^{-6} \text{ F}) = 0.1 \text{ s}$ છે.
$t$ સમયે વિદ્યુતભાર $q(t) = q_0 e^{-t/\tau}$ છે.
$t = 1 \text{ s}$ માટે,$q = 25 e^{-1/0.1} \mu \text{C} = 25 e^{-10} \mu \text{C}$.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સર્કિટ એક શ્રેણી $RC$ સર્કિટ છે જ્યાં આઉટપુટ વોલ્ટેજ કેપેસિટર $C$ ની આજુબાજુ માપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇનપુટ સ્ક્વેર વેવ હાઇ હોય છે ($t_1$ થી $t_2$ સુધી),ત્યારે કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એક્સપોનેન્શિયલ ચાર્જિંગ કર્વને અનુસરે છે: $V_C(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$.
જ્યારે ઇનપુટ સ્ક્વેર વેવ લો હોય છે ($t_2$ થી $t_3$ સુધી),ત્યારે કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એક્સપોનેન્શિયલ ડિસ્ચાર્જિંગ કર્વને અનુસરે છે: $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$.
આ બંને પ્રક્રિયાઓને જોડતા,કેપેસિટર પરનું આઉટપુટ વેવફોર્મ એક્સપોનેન્શિયલ વધારો અને ત્યારબાદ એક્સપોનેન્શિયલ ઘટાડો દર્શાવશે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ પેટર્ન સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $t = 0$ સમયે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $q = 30\, \mu C$ અને $C = 3\, \mu F$,તેથી $V = \frac{30\, \mu C}{3\, \mu F} = 10\, V$.
જ્યારે કી બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $R = 5\, M\Omega = 5 \times 10^6\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
$t = 0$ સમયે સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$i_0 = \frac{10\, V}{5 \times 10^6\, \Omega} = 2 \times 10^{-6}\, A$.
કારણ કે $1\, \mu A = 10^{-6}\, A$,તેથી પ્રવાહ $i_0 = 2\, \mu A$ થાય.
આમ,$'x'$ નું મૂલ્ય $2$ છે.