Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Hindi

(D) कण $X$-अक्ष के अनुदिश $u$ के स्थिर वेग से गति करता है, इसलिए $x = ut$, जिसका अर्थ है $t = x/u$।
$Y$-अक्ष के अनुदिश, कण पर बल $F = eE$ है, इसलिए त्वरण $a_y = \frac{eE}{m}$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन $y = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2 = \left( \frac{eE}{2mu^2} \right) x^2$ है।
यह $x^2 = 4ay$ के रूप वाले परवलय का समीकरण है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 = \left( \frac{2mu^2}{eE} \right) y$।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर, हमें $4a = \frac{2mu^2}{eE}$ प्राप्त होता है।
अतः, फोकस दूरी $a = \frac{2mu^2}{4eE} = \frac{mu^2}{2eE}$ है।

(A) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $= M$,आवेश $= q$,विद्युत क्षेत्र $= E$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
त्वरण $a = F/M = qE/M$.
तय की गई दूरी $S = ut + (1/2)at^2 = (1/2)(qE/M)t^2$.
अंतिम वेग $v = u + at = (qE/M)t$.
गतिज ऊर्जा $T = (1/2)Mv^2 = (1/2)M(qEt/M)^2 = (1/2)(q^2E^2t^2/M)$.
अब,अनुपात $T/S = [(1/2)(q^2E^2t^2/M)] / [(1/2)(qE/M)t^2] = qE$.
चूंकि $q$ और $E$ स्थिर हैं,इसलिए अनुपात $T/S = qE$ समय $t$ से स्वतंत्र है और स्थिर रहता है।

(B) कण को एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ द्वारा $D$ दूरी तक त्वरित किया जाता है। विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ के बराबर होता है।
$KE = W = q E D$
निकटतम पहुँच की दूरी $(r_0)$ पर,कण की पूरी गतिज ऊर्जा स्थिर आवेश $Q$ के साथ परस्पर क्रिया के कारण स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$PE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{r_0}$
निकटतम पहुँच के बिंदु पर $KE$ और $PE$ को बराबर करने पर:
$q E D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{r_0}$
$r_0$ के लिए हल करने पर:
$r_0 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 E D}$

(C) जब लोलक गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और विद्युत बल ($qE$ क्षैतिज दिशा में) के प्रभाव में संतुलन में होता है,तो गोलक पर कार्य करने वाला कुल बल इन दो बलों का सदिश योग होता है।
चूंकि ये बल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कुल बल $F_{net}$ का परिमाण $F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
संतुलन की स्थिति में,डोरी में तनाव $T$ इस कुल बल को संतुलित करता है ताकि गोलक स्थिर रहे।
इसलिए,तनाव $T = \sqrt{(mg)^{2} + (qE)^{2}}$ है।

(C) आवेश पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{qE}{2m}$ प्राप्त होता है।
विराम अवस्था $(u = 0)$ से शुरू करते हुए,$n$ सेकंड के बाद गति $v$ को गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।
मान रखने पर,$v = 0 + (\frac{qE}{2m}) \times n = \frac{qEn}{2m}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{qE}{m}$।
प्रोटॉन के लिए,आवेश $q_p = e$ और द्रव्यमान $m_p$ है। अतः,$a_p = \frac{eE}{m_p}$।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q_\alpha = 2e$ और द्रव्यमान $m_\alpha = 4m_p$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$a_\alpha = \frac{2eE}{4m_p} = \frac{1}{2} \frac{eE}{m_p} = \frac{a_p}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{a_p}{a_\alpha} = 2$,जिसका अर्थ है कि $a_p : a_\alpha = 2 : 1$।

$\text{गतिज ऊर्जा में परिवर्तन } (\Delta K) \text{ कण पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होता है।}$
$\text{चूंकि चुंबकीय बल } \vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) \text{ हमेशा वेग } \vec{v} \text{ के लंबवत होता है, इसलिए यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है।}$
$\text{अतः, कार्य केवल विद्युत बल } \vec{F}_e = q\vec{E} = qE_0 e^{-\lambda x}\hat{i} \text{ द्वारा किया जाता है।}$
$\text{जब कण } x = 0 \text{ से } x = L \text{ तक चलता है, तो किया गया कार्य } W \text{ इस प्रकार है:}$
$W = \int_{0}^{L} F_x \, dx = \int_{0}^{L} q E_0 e^{-\lambda x} \, dx$
$W = q E_0 \left[ \frac{e^{-\lambda x}}{-\lambda} \right]_{0}^{L}$
$W = \frac{q E_0}{-\lambda} (e^{-\lambda L} - e^0) = \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L})$
$\text{इस प्रकार, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन } \frac{q E_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda L}) \text{ है।}$

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में $q$ आवेश को गति कराने में किया गया कार्य $W = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
यहाँ $q = 3 \text{ C}$ दिया गया है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$.
$\vec{d} = (5 - 0)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (2 - (-5))\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \text{ N/C}$ दिया गया है।
$W = 3 \times (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k})$.
$W = 3 \times [(2 \times 5) + (3 \times 3) + (4 \times 7)]$.
$W = 3 \times [10 + 9 + 28] = 3 \times 47 = 141 \text{ J}$.