Electric Dipole and Electric Field Questions in Gujarati

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ને લઘુત્તમ કરવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય,એટલે કે $\theta = 0$ હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઉર્જા લઘુત્તમ હોય છે.

(A) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($-q$ અને $+q$) ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
$F = qE$ હોવાથી,બે વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો $F_1 = -qE_1$ અને $F_2 = qE_2$ છે.
$E_1
eq E_2$ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 + F_2
eq 0$ થાય છે.
વધુમાં,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગે છે અને તે એકરેખસ્થ ન હોવાથી,તેઓ ડાયપોલ પર પરિણામી ટોર્ક પણ લગાડે છે.
તેથી,ડાયપોલ બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times (2a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 2 \times 10^{-6} \, C$ અને અંતર $2a = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ છે.
$p = (2 \times 10^{-6} \, C) \times (3 \times 10^{-2} \, m) = 6 \times 10^{-8} \, C \cdot m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = pE$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $E = 2 \times 10^5 \, N/C$ આપેલ છે.
$\tau_{max} = (6 \times 10^{-8} \, C \cdot m) \times (2 \times 10^5 \, N/C) = 12 \times 10^{-3} \, N \cdot m$.

(D) બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
અહીં,પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 90^\circ$ છે (કારણ કે તે ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે).
ડાયપોલને $180^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$ થશે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = pE(\cos 90^\circ - \cos 270^\circ)$
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ અને $\cos 270^\circ = 0$ છે,
$W = pE(0 - 0) = 0$.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે.

(D) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે તેની અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{d^3}$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(p = q \times r)$,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(q \times r)}{d^3}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ એ $\frac{qr}{d^3}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $2l$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોન અથવા પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
અંતર $2l = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,m$.
તેથી,ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2l = (1.6 \times 10^{-19}\,C) \times (10^{-10}\,m) = 1.6 \times 10^{-29}\,C \cdot m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2pr}{ (r^2 - a^2)^2 }$
ટૂંકા ડાયપોલ માટે જ્યાં $r \gg a$ હોય,ત્યારે આ સૂત્રનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે $E \propto \frac{1}{r^3}$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$p = q \times (2l)$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$
અંતર $2l = 2.4 \text{ Å} = 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$
ડાયપોલ મોમેન્ટની ગણતરી:
$p = (3.2 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (2.4 \times 10^{-10} \text{ m})$
$p = 7.68 \times 10^{-29} \text{ C} \cdot \text{m}$

(C) ઉગમબિંદુ પર $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,બિંદુ $P(r, \theta)$ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક: $E_r = \frac{2p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$
લંબ ઘટક: $E_{\theta} = \frac{p \sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાન સદિશ (ત્રિજ્યાવર્તી દિશા) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\tan \alpha = \frac{E_{\theta}}{E_r} = \frac{1}{2} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાન સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે સ્થાન સદિશનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો અને વિદ્યુતક્ષેત્ર તથા સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$\phi = \theta + \alpha$.

(B) જ્યારે $\overrightarrow{P}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલને બાહ્ય સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\overrightarrow{\tau}$ જેટલું ટોર્ક અનુભવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ટોર્ક એ ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) છે.
ટોર્કનું સૂત્ર $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ઋણ વીજભારથી ધન વીજભાર તરફ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોય છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-8} \, C$,અંતર $2a = 2 \times 10^{-2} \, cm = 2 \times 10^{-4} \, m$,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^8 \, N/C$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-4}) = 8 \times 10^{-12} \, Cm$.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = pE = (8 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^8) = 32 \times 10^{-4} \, Nm$.
ડાયપોલને $0^\circ$ થી $180^\circ$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = pE(1 - \cos 180^\circ) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (32 \times 10^{-4}) = 64 \times 10^{-4} \, J$.

(B) ટૂંકા ડાયપોલ માટે $r$ અંતરે અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ${E_a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અંતરે $r$ વિષુવવૃત્તીય રેખા પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ${E_e} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ${E_a} = 2 \times \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3} \right) = 2{E_e}$.
તેથી,સાચો સંબંધ ${E_a} = 2{E_e}$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ એ $E = \frac{kq}{r^2}$ મુજબનું અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ હોતું નથી,તેથી ડાયપોલ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
જો કે,ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ડાયપોલને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો ટોર્ક $\vec{\tau}$ શૂન્ય થશે.
તેથી,ક્ષેત્રને કારણે ડાયપોલ પરનું ટોર્ક શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલની વિષુવરેખીય રેખા (લંબદ્વિભાજક) પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ના સમપ્રમાણમાં $(E \propto p)$ અને અંતર $r$ ના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં $(E \propto r^{-3})$ છે.
તેથી,$Q$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $p$ અને $r^{-3}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર $x$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{axial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $y$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતાના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $E_{axial} = E_{equatorial}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{2p}{x^3} = \frac{p}{y^3}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{x^3}{y^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2}$.
તેથી,$x:y$ નો ગુણોત્તર $\sqrt[3]{2}:1$ છે.

(C) એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = -qE$ છે. ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ થાય છે. જોકે,આ બંને બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એક બળયુગ્મ બનાવે છે જે ડાયપોલ પર $\tau = pE \sin \theta$ જેટલું ટોર્ક લગાડે છે. તેથી,ડાયપોલ માત્ર ટોર્ક અનુભવે છે અને કોઈ ચોખ્ખું બળ અનુભવતું નથી.

(A) આપેલ છે: ડાયપોલની લંબાઈ $2l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,તેથી $l = 0.05 \, m$. વિદ્યુતભાર $q = 500 \, \mu C = 5 \times 10^{-4} \, C$. ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર $r = 20 \, cm + 5 \, cm = 25 \, cm = 0.25 \, m$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2l = (5 \times 10^{-4} \, C) \times (0.1 \, m) = 5 \times 10^{-5} \, C \cdot m$.
ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - l^2)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.06)^2}$.
$E = \frac{22.5 \times 10^4}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \, N/C$.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલની અક્ષ અને બિંદુના સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિમાન મહત્તમ થવા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ $(+1)$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 0^\circ$ પર થાય છે.
સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ થવા માટે,$\cos \theta$ ન્યૂનતમ $(-1)$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 180^\circ$ પર થાય છે.
તેથી,સ્થિતિમાન $0^\circ$ પર મહત્તમ અને $180^\circ$ પર ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = 0$ થાય છે.
જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^\circ$ મૂકતા,આપણને $U = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ મળે છે.
કારણ કે $-pE$ એ સ્થિતિઊર્જા માટેનું સૌથી ઓછું શક્ય મૂલ્ય છે,તેથી તે ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા છે.
આમ,બળ શૂન્ય છે અને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \sqrt{3 \cos^{2} \theta + 1}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલ અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $E \propto \frac{1}{r^{3}}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અંતર $r$ ના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_a = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિષુવરેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_a}{E_e} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $q = 2 \times 10^{-6} \, C$ અને $d = 0.01 \, m$.
$p = (2 \times 10^{-6} \, C) \times (0.01 \, m) = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m$.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$,તેથી $\tau_{\max} = pE$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau_{\max} = (2 \times 10^{-8} \, C \cdot m) \times (5 \times 10^5 \, N/C)$.
$\tau_{\max} = 10 \times 10^{-3} \, N \cdot m$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ છે.
અંતમાં,ડાયપોલ ક્ષેત્રને પ્રતિ-સમાંતર છે,તેથી $\theta_2 = 180^\circ$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -pE \cos(180^\circ) = -pE(-1) = pE$ છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1$.
$W = pE - (-pE) = 2pE$.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ એ નાના અંતરે રહેલા બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારોનો બનેલો હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારો સ્થિર હોય છે,ત્યારે તેઓ તેમની આસપાસના વિસ્તારમાં માત્ર સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભારો (પ્રવાહ) અથવા સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રો દ્વારા જ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,સ્થિર વિદ્યુત ડાયપોલ માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર જ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $N$ એ $P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી $x$ અંતરે અને $64 P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી $(25 - x)$ અંતરે આવેલું છે.
તટસ્થ બિંદુ $N$ પર,ડાયપોલ $1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને ડાયપોલ $2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ છે.
ક્ષેત્રોને સરખાવતા:
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(64P)}{(25 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{64}{(25 - x)^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{25 - x}$
$25 - x = 4x$
$5x = 25$
$x = 5 \ cm$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકાયેલ વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{P} \times \vec{E}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = PE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{P}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે $\vec{P}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(C) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશા ઋણ વિદ્યુતભારથી ધન વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે.
ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા ડાયપોલની અક્ષને સમાંતર હોય છે,પરંતુ તે ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે.
તેથી,વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશાથી બિલકુલ વિરુદ્ધ હોય છે.
આમ,બંને સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^o$ થાય છે.

(C) $r$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ડાયપોલને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3} = E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ડાયપોલને તેની લંબ અક્ષની આસપાસ $90^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે જે બિંદુ અગાઉ અક્ષીય રેખા પર હતું તે હવે ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવે છે.
$r$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ડાયપોલને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $E_{\text{equatorial}} = \frac{E_{\text{axial}}}{2} = \frac{E}{2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\tau = pE \sin \theta$ જેટલું ટોર્ક અનુભવે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાંથી નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$ થાય છે.
તેથી,પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE\theta$ મળે છે.
પરિભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $I \frac{d^2\theta}{dt^2} = -pE\theta$.
ગોઠવણી કરતા $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -(\frac{pE}{I})\theta$ મળે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{pE}{I}$ મળે છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{pE}{I}}$ થાય છે.

(B) $1$. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં, ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE$ અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = -qE$ છે.
$2$. ડાઈપોલ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ થાય છે.
$3$. વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાઈપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. જ્યારે ડાઈપોલની ચાકમાત્રા $p$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશામાં હોય, ત્યારે ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
$5$. તેથી, $U = -pE \cos(0^\circ) = -pE$, જે ન્યૂનત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા છે.

(A) ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાઈપોલ માટે,તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે (જ્યાં $r \gg a$) અક્ષ પરના બિંદુ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{E}_{axial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશામાં જ હોય છે.

(B) ધારો કે $+q$ અને $-q$ બે વિદ્યુતભારો $2a$ અંતરે રહેલા છે. ધારો કે $P$ એ લંબ દ્વિભાજક પરનું બિંદુ છે જે મધ્યબિંદુથી $x$ અંતરે છે.
$r$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
$+q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ છે.
$-q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_2 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}} = 0$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુત ડાયપોલના લંબ દ્વિભાજક પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાઈપોલ પર ટોર્ક લગાડે છે,જે $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાઈપોલને પ્રારંભિક સ્થિતિ $\theta_1 = 0^\circ$ (સંતુલન સ્થિતિ) થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2 = \theta$ સુધી ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ ટોર્કનું ખૂણાની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$W = \int_{0}^{\theta} \tau \, d\theta$
$W = \int_{0}^{\theta} pE \sin \theta \, d\theta$
$W = pE [-\cos \theta]_{0}^{\theta}$
$W = -pE (\cos \theta - \cos 0^\circ)$
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$W = -pE (\cos \theta - 1) = pE(1 - \cos \theta)$.

(B) વિદ્યુત ડાઈપોલ એ $2a$ અંતરે રહેલા બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભારો $+q$ અને $-q$ નો બનેલો છે.
ધારો કે ડાઈપોલનું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $O$ છે.
ડાઈપોલને કારણે કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષના મધ્યબિંદુએ,ધન વીજભારથી અંતર $a$ છે અને ઋણ વીજભારથી અંતર પણ $a$ છે.
$+q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_+ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a}$ અને $-q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_- = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
કુલ સ્થિતિમાન $V = V_+ + V_- = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a} = 0$.
આમ,વિદ્યુત ડાઈપોલના મધ્યબિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકાયેલ વિદ્યુત ડાઈપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = pE \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(\theta)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin(\theta)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(C) ડાઈપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ આગળ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A \,(r, 135^{\circ})$ આગળ સ્થિતિમાન:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos 135^{\circ}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p (-1/\sqrt{2})}{r^2}$.
બિંદુ $B \,(r, 45^{\circ})$ આગળ સ્થિતિમાન:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos 45^{\circ}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p (1/\sqrt{2})}{r^2}$.
વિદ્યુતભાર $q$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે બાહ્ય પરિબળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$W = q \left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]$
$W = q \left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \right]$
$W = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\sqrt{2} qp}{r^2}$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુત ડાઈપોલ માત્ર ટોર્ક અનુભવે છે અને ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
જોકે,અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ બિંદુઓ પર બદલાય છે.
ડાઈપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) અલગ-અલગ સ્થાનો પર હોવાથી,તેઓ અલગ-અલગ વિદ્યુત બળો $(F = qE)$ અનુભવે છે.
તેથી,ડાઈપોલ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોતું નથી.
વધુમાં,બળો એક રેખીય ન હોવાથી,ડાઈપોલ ટોર્ક પણ અનુભવે છે.
આમ,અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુત ડાઈપોલ ચોખ્ખું બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $(p)$ એ બે વિદ્યુતભારો પૈકીના એક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $(q)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(2a)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$p = q \times 2a$.
વિદ્યુતભાર $(q)$ નો $SI$ એકમ કુલંબ $(C)$ છે અને અંતર $(2a)$ નો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ $C \cdot m$ (કુલંબ-મીટર) છે.

(B) ટૂંકા વિદ્યુત ડાઈપોલ માટે $r$ અંતરે તેની અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટૂંકા વિદ્યુત ડાઈપોલ માટે $r$ અંતરે તેની વિષુવરેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિષુવરેખા પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_{\text{axial}}}{E_{\text{equatorial}}} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ થાય છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અસમાન હોય છે,કારણ કે તે અંતર $r$ સાથે બદલાય છે $(E \propto 1/r^2)$.
અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાઈપોલ પર લાગતું બળ $\vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,ડાઈપોલ પરનું ચોખ્ખું બળ સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી.
ડાઈપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે. ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = pE \sin \theta$ હોવાથી,આ ચોક્કસ સ્થિતિમાં $\sin(0^\circ) = 0$ અથવા $\sin(180^\circ) = 0$ થાય છે,જેના કારણે ટોર્ક શૂન્ય બને છે.
તેથી,ડાઈપોલ પરનું ટોર્ક શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(B) વિદ્યુત ડાઈપોલની વિષુવ રેખા પરના બિંદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું સૂત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ છે,જ્યાં $\vec{p}$ એ ડાઈપોલ મોમેન્ટ (દ્વિ ધ્રુવીય ચાકમાત્રા) છે.
અહીં ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા ડાઈપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશાની વિરુદ્ધ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ડાઈપોલ મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-parallel) હોય છે.

(B) ટૂંકા વિદ્યુત ડાઈપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ આગળ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$
જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,$p$ એ ડાઈપોલ મોમેન્ટ છે,$r$ એ ડાઈપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે અને $\theta$ એ બિંદુના સ્થાન સદિશ અને ડાઈપોલની અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિદ્યુત ડાઈપોલ એ $d$ જેટલા નાના અંતરે રહેલા બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારોનો બનેલો છે.
જ્યારે તેને અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બંને વિદ્યુતભારોના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
$F = qE$ હોવાથી,બંને વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળોના મૂલ્યો સમાન હોતા નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું રેખીય બળ ઉદ્ભવે છે.
વધુમાં,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તે ડાઈપોલના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલો વિદ્યુત ડાઈપોલ ચોખ્ખું રેખીય બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(D) ડાયપોલની અક્ષ પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2Kp}{r^3}$ છે,જ્યાં $K$ એ કુલંબનો અચળાંક છે અને $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE = q \left( \frac{2Kp}{r^3} \right) = \frac{2Kpq}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $F \propto \frac{1}{r^3}$.
જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,એટલે કે $r' = 2r$,તો નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ થશે:
$F' = \frac{2Kpq}{(2r)^3} = \frac{2Kpq}{8r^3} = \frac{1}{8} \left( \frac{2Kpq}{r^3} \right) = \frac{F}{8}$.

(C) ડાઈપોલ મોમેન્ટ $p$ એ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $2a$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
અંતર $2a = 2.4 \ \mathring{A} = 2.4 \times 10^{-10} \ m$
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^5 \ V/m$ (નોંધ: ડાઈપોલ મોમેન્ટની ગણતરી કરવા માટે વિદ્યુત ક્ષેત્રની માહિતીની જરૂર નથી).
સૂત્ર: $p = q \times (2a)$
ગણતરી: $p = (3.2 \times 10^{-19} \ C) \times (2.4 \times 10^{-10} \ m)$
$p = 7.68 \times 10^{-29} \ C-m$.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times (2a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 2 \times 10^{-6} \ C$ અને $2a = 3 \times 10^{-2} \ m$ છે.
$p = (2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^{-8} \ Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$ લેતા,$\tau_{max} = pE$ થાય.
$\tau_{max} = (6 \times 10^{-8} \ Cm) \times (2 \times 10^{5} \ N/C)$.
$\tau_{max} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(B) ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં ડાઇપોલનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $E_r = \frac{2kp \cos \phi}{r^3}$ અને સ્પર્શકીય ઘટક $E_t = \frac{kp \sin \phi}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\phi = \pi/3$ એ સ્થાન સદિશ $OP$ ડાઇપોલ અક્ષ ($x$-અક્ષ) સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ $OP$ સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\tan \alpha = \frac{E_t}{E_r} = \frac{kp \sin \phi / r^3}{2kp \cos \phi / r^3} = \frac{1}{2} \tan \phi$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = \pi/3$ મૂકતા,આપણને $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે,તેથી $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે સ્થાન સદિશનો ખૂણો $\phi$ અને $\alpha$ નો સરવાળો છે,તેથી $\theta = \phi + \alpha = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(A) ડાઈપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $\ell$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$p = q \times \ell$
આપેલ છે:
$q = 10^{-10} \, \text{stC}$
$\ell = 1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, \text{cm}$
કિંમતો મૂકતા:
$p = 10^{-10} \, \text{stC} \times 10^{-8} \, \text{cm} = 10^{-18} \, \text{esu} \cdot \text{cm}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, \text{Debye} = 10^{-18} \, \text{esu} \cdot \text{cm}$,
તેથી, $p = 1 \, \text{Debye}$.

(D) ડાઇપોલની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E_{\text{axis}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ છે.
ડાઇપોલની વિષુવરેખા પર $y$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ છે.
આપેલ છે કે $E_{\text{axis}} = E_{\text{equatorial}}$,તેથી:
$\frac{2p}{x^3} = \frac{p}{y^3}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3} \Rightarrow \frac{x^3}{y^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $x:y$ એ $\sqrt[3]{2}:1$ થાય.