Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण द्वारा दी जाती है: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{\max} = eV_s$,इसलिए $V_s = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$ है।
$\lambda_1 = 4000 \, \mathring{A}$ के लिए,$V_{s1} = \frac{12400}{4000} - \frac{\phi}{e} = 3.1 - \frac{\phi}{e}$ ($hc \approx 12400 \, \text{eV} \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए)।
$\lambda_2 = 3600 \, \mathring{A}$ के लिए,$V_{s2} = \frac{12400}{3600} - \frac{\phi}{e} \approx 3.444 - \frac{\phi}{e}$।
निरोधी विभव में परिवर्तन $\Delta V_s = V_{s2} - V_{s1} = (3.444 - \frac{\phi}{e}) - (3.1 - \frac{\phi}{e}) = 3.444 - 3.1 = 0.344 \, V \approx 0.34 \, V$।

(D) $1$. संतृप्त धारा $(i_s)$ आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है। तीव्रता दोगुनी होने पर, संतृप्त धारा $2 \times 5\,mA = 10\,mA$ हो जाएगी।
$2$. निरोधी विभव $(V_s)$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $eV_s = h\nu - \Phi$, जहाँ $\Phi$ कार्य फलन (work function) है।
$3$. प्रारंभ में, $eV_{s1} = h\nu - \Phi = 10\,eV$ है।
$4$. जब आवृत्ति को दोगुना $(2\nu)$ किया जाता है, तो नया निरोधी विभव $V_{s2}$ समीकरण $eV_{s2} = h(2\nu) - \Phi = 2h\nu - \Phi$ का पालन करता है।
$5$. चूंकि $h\nu = 10 + \Phi$, इसलिए $eV_{s2} = 2(10 + \Phi) - \Phi = 20 + 2\Phi - \Phi = 20 + \Phi$ है।
$6$. चूंकि $\Phi > 0$, इसलिए $V_{s2} > 20\,V$ होगा।
$7$. अतः, $i_s = 10\,mA$ और $V_s > 20\,V$।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 4\,eV$ है।
धातु का कार्य फलन $\phi = 2\,eV$ है।
प्रकाशिक उत्सर्जन होने के लिए,फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन और गोले के विभव $V_0$ द्वारा निर्मित स्थितिज ऊर्जा अवरोध के योग से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
कोई भी प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित न हो,इसके लिए शर्त $E < \phi + eV_0$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $4\,eV < 2\,eV + eV_0$.
$2\,eV < eV_0$.
इसलिए,$V_0 > 2\,V$.
अतः,प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन को रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम विभव $2\,V$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु की सतह का कार्य फलन है।
फोटोइलेक्ट्रॉन धातु की सतह के भीतर विभिन्न गहराइयों से उत्सर्जित होते हैं。
सतह से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों में अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ होती है。
गहरी परतों से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन सतह से बाहर निकलने से पहले टक्करों के कारण कुछ ऊर्जा खो देते हैं。
इसलिए, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $0$ से $K_{max}$ के बीच होती है。
अतः, किसी भी फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा हमेशा अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर या उससे कम होती है $(K \le K_{max})$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{\max} = hf - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
कथन $(A)$: चूंकि $KE_{\max} = hf - \Phi$,यदि $f$ बढ़ता है,तो $KE_{\max}$ बढ़ता है। अतः,$(A)$ सही है।
कथन $(B)$: निरोधी विभव $V_s$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करता है। यह कैथोड और एनोड के बीच की दूरी से स्वतंत्र है। अतः,$(B)$ गलत है।
कथन $(C)$: निरोधी विभव $V_s = \frac{KE_{\max}}{e} = \frac{hf - \Phi}{e}$। चूंकि $V_s$ केवल $f$ और $\Phi$ पर निर्भर करता है,इसलिए यदि $I$ बढ़ाया जाता है तो यह स्थिर रहता है। संतृप्ति धारा तीव्रता $I$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए यह बढ़ जाती है। अतः,$(C)$ सही है।
कथन $(D)$: चूंकि $V_s = \frac{hf - \Phi}{e}$,यदि $\Phi$ को घटाया जाता है,तो $V_s$ बढ़ जाता है। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,सही कथन $(A), (C)$ और $(D)$ हैं।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$.
दिया गया है कि $\lambda_1 = 2\lambda_2$,इसलिए $K_1$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$.
चूंकि $\lambda_1 > \lambda_2$,इसलिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda_1}$,$\frac{hc}{\lambda_2}$ से कम है।
अतः,$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi < \frac{hc}{\lambda_2} - \phi = K_2$.
इस प्रकार,$K_1 < K_2$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य ${\lambda _1}$ के लिए:
$\frac{1}{2} m_e v_1^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य ${\lambda _2}$ के लिए:
$\frac{1}{2} m_e v_2^2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{1}{2} m_e v_2^2 - \frac{1}{2} m_e v_1^2 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \Phi) - (\frac{hc}{\lambda_1} - \Phi)$
$\frac{1}{2} m_e (v_2^2 - v_1^2) = hc (\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1})$
दोनों पक्षों को $\frac{2}{m_e}$ से गुणा करने पर:
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{2hc}{m_e} [\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}]$

(D) आइंस्टीन के प्रकाशवैद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\max} = h\nu - h\nu_0$
चूंकि उत्सर्जन होने के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए:
$h\nu - h\nu_0 > 0$
$h\nu > h\nu_0$
$\nu > \nu_0$
अतः,प्रकाशवैद्युत उत्सर्जन केवल तब होता है जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति एक निश्चित न्यूनतम आवृत्ति से अधिक हो,जिसे देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ कहा जाता है।

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K_{max}$ प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है, जहाँ $y = K_{max}$, $x = \nu$, $m = h$ (ढाल), और $c = -\phi$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि ढाल $h$ धनात्मक है और y-अंतःखंड $-\phi$ ऋणात्मक है, इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो x-अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0 = \phi/h$ से शुरू होती है और जिसकी ढाल धनात्मक है।
अतः, ग्राफ x-अक्ष पर एक धनात्मक आवृत्ति मान से शुरू होता है।

(B) मान लीजिए धातु $A$ का कार्य फलन $\phi_A = \phi_0$ है और धातु $B$ का कार्य फलन $\phi_B = 2\phi_0$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_K = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है।
धातु $A$ के लिए: $E_{K_A} = hf - \phi_0$.
धातु $B$ के लिए: $E_{K_B} = h(2f) - 2\phi_0 = 2(hf - \phi_0)$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_{K_A}}{E_{K_B}} = \frac{hf - \phi_0}{2(hf - \phi_0)} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(KE)_{\max} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए:
$(KE)_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ .........$(i)$
जब तरंगदैर्ध्य को घटाकर $\frac{\lambda}{3}$ कर दिया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा प्रारंभिक मान की $n$ गुनी हो जाती है:
$(KE)_2 = n(KE)_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda/3} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = hc \left( \frac{3}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ .........$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$n = \frac{\frac{3}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{3\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}} = \frac{3\lambda_0 - \lambda}{\lambda_0 - \lambda}$
$n(\lambda_0 - \lambda) = 3\lambda_0 - \lambda$
$n\lambda_0 - n\lambda = 3\lambda_0 - \lambda$
$n\lambda_0 - 3\lambda_0 = n\lambda - \lambda$
$\lambda_0(n - 3) = \lambda(n - 1)$
$\lambda_0 = \left( \frac{n - 1}{n - 3} \right) \lambda$

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है।
प्रारंभ में,$5\,eV = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ..........$(1)$
जब तरंगदैर्ध्य को $60\%$ कम किया जाता है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda - 0.6\lambda = 0.4\lambda = \frac{2}{5}\lambda$ हो जाती है।
इस मान को नई गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$17\,eV = \frac{hc}{0.4\lambda} - \phi = \frac{2.5hc}{\lambda} - \phi$ ..........$(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = 5\,eV + \phi$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$17\,eV = 2.5(5\,eV + \phi) - \phi$
$17\,eV = 12.5\,eV + 2.5\phi - \phi$
$17\,eV - 12.5\,eV = 1.5\phi$
$4.5\,eV = 1.5\phi$
$\phi = \frac{4.5}{1.5}\,eV = 3\,eV$.
अतः,धातु का कार्य फलन $3\,eV$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ वाले पहले मामले के लिए: $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda/2$ वाले दूसरे मामले के लिए: $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है कि $K_2 = 3K_1$,मान रखने पर:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi$.
$\phi$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $3\phi - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
अतः,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$E_k = hv - W$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $W$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ ढाल $m = h$ सभी धातुओं के लिए समान है।
इसलिए,विभिन्न धातुओं के लिए ग्राफ समान ढाल वाली समानांतर सीधी रेखाएं होनी चाहिए।
चूंकि कार्य फलन $W_A > W_B > W_C$ के क्रम में हैं,इसलिए देहली आवृत्ति $v_0$ (जहाँ $E_k = 0$) भी उसी क्रम का पालन करेगी क्योंकि $W = hv_0$:
$(v_0)_A > (v_0)_B > (v_0)_C$
इसका अर्थ है कि धातु $A$ के लिए $x$-अंतःखंड सबसे बड़ा है,उसके बाद $B$ और फिर $C$ आता है।
दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जिसमें रेखाएं समानांतर हैं और $x$-अंतःखंड $A > B > C$ के क्रम में हैं,सही है। दी गई आकृतियों के आधार पर,विकल्प $B$ सही ग्राफ दर्शाता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_{th}}$ कार्य फलन है और $V_s$ निरोधी विभव है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{th}} + e(3V_0)$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{th}} + eV_0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $\frac{3hc}{2\lambda} = \frac{3hc}{\lambda_{th}} + 3eV_0$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{3hc}{\lambda_{th}} - \frac{hc}{\lambda_{th}}$
$\frac{hc}{2\lambda} = \frac{2hc}{\lambda_{th}}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_{th}}$
$\lambda_{th} = 4\lambda$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, Js$,$\nu = 6 \times 10^{14} \, Hz$.
$E = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6 \times 10^{14}) \, J = 39.78 \times 10^{-20} \, J$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए,हम इसे $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{39.78 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV = 2.48625 \, eV \approx 2.49 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है $\Phi = 2 \, eV$.
$K_{max} = 2.49 \, eV - 2 \, eV = 0.49 \, eV$.

(B) एक फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जक का कार्य फलन $\phi_0$,देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ समीकरण द्वारा संबंधित होता है।
यह दिया गया है कि फोटोइलेक्ट्रॉन बस मुक्त हो रहे हैं,इसलिए आपतित तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य के बराबर है।
पहले उत्सर्जक के लिए,$\lambda_{01} = 300 \ nm$.
दूसरे उत्सर्जक के लिए,$\lambda_{02} = 600 \ nm$.
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{\phi_{01}}{\phi_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\phi_{01}}{\phi_{02}} = \frac{600 \ nm}{300 \ nm} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400}{\lambda (\text{in } Å)} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\lambda = 1240 \, Å$ दिया गया है, इसलिए $E = \frac{12400}{1240} = 10 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = W + K_{max}$, जहाँ $K_{max} = e V_s$.
निरोधी विभव $V_s = 8 \, V$ दिया गया है, इसलिए $K_{max} = 8 \, eV$.
अतः, कार्य फलन $W = E - K_{max} = 10 \, eV - 8 \, eV = 2 \, eV$.
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ का मान $\lambda_0 = \frac{12400}{W (\text{in } eV)} \, Å$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\lambda_0 = \frac{12400}{2} = 6200 \, Å$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है।
प्रकाश-विद्युत समीकरण $E = \phi_0 + K_{\max}$ है,जहाँ $\phi_0 = h\nu_0$ कार्य फलन है और $K_{\max}$ उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
यहाँ,आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu = 4\nu_0$ और देहली आवृत्ति $\nu_0$ दी गई है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$h(4\nu_0) = h\nu_0 + K_{\max}$
$K_{\max}$ के लिए हल करने पर:
$K_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$K_{\max} = 3h\nu_0$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = h n - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$n$ आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{1}{2} m v^2 = h n - \phi$ ..... $(i)$
$3n$ आवृत्ति वाली दूसरी स्थिति के लिए: $\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 h n - \phi$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$h n = \frac{1}{2} m v^2 + \phi$। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = 3 (\frac{1}{2} m v^2 + \phi) - \phi$
$\frac{1}{2} m (v^{\prime})^2 = \frac{3}{2} m v^2 + 2 \phi$
$(v^{\prime})^2 = 3 v^2 + \frac{4 \phi}{m}$
चूंकि $\phi > 0$,इसलिए $(v^{\prime})^2 > 3 v^2$,जिसका अर्थ है कि $v^{\prime} > \sqrt{3} v$।
अतः,अधिकतम वेग $\sqrt{3} v$ से अधिक होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन और अधिकतम गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है,जो $eV_s$ है,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_1} = \phi + eV$ ..... $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_2} = \phi + 3eV$ ..... $(2)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_3$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_3} = \phi + eV'$ ..... $(3)$
$\phi$ को हटाने के लिए समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} = 2eV \implies eV = \frac{hc}{2} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$
अब,समीकरण $(1)$ से $\phi$ ज्ञात करें:
$\phi = \frac{hc}{\lambda_1} - eV = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{2} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} + \frac{1}{2\lambda_1} \right) = hc \left( \frac{3}{2\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} \right)$
$\phi$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$eV' = \frac{hc}{\lambda_3} - \phi = \frac{hc}{\lambda_3} - hc \left( \frac{3}{2\lambda_1} - \frac{1}{2\lambda_2} \right)$
$V' = \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda_3} + \frac{1}{2\lambda_2} - \frac{3}{2\lambda_1} \right]$

(B) दिया गया है: $\lambda_1 = 4972\,\mathring{A}$,$\lambda_2 = 6216\,\mathring{A}$,कुल तीव्रता $I = 3.6 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$,क्षेत्रफल $A = 1\,\text{cm}^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2$,कार्य फलन $\phi = 2.3\,\text{eV}$.
प्रत्येक तरंगदैर्घ्य के लिए तीव्रता $I' = I/2 = 1.8 \times 10^{-3}\,\text{W/m}^2$.
प्रत्येक तरंगदैर्घ्य के लिए फोटॉन की ऊर्जा:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{12400}{4972} \approx 2.49\,\text{eV} > 2.3\,\text{eV}$ (उत्सर्जन के लिए सक्षम)।
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{12400}{6216} \approx 1.99\,\text{eV} < 2.3\,\text{eV}$ (उत्सर्जन के लिए सक्षम नहीं)।
केवल $\lambda_1$ के फोटॉन ही फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन में योगदान करते हैं।
$\lambda_1$ द्वारा आपतित शक्ति $P = I' \times A = 1.8 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 1.8 \times 10^{-7}\,\text{W}$.
प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या $n = \frac{P}{E_1} = \frac{1.8 \times 10^{-7}}{2.49 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 4.5 \times 10^{11}\,\text{photons/s}$.
चूंकि प्रत्येक सक्षम फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,इसलिए $2\,\text{s}$ में मुक्त होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $N = n \times 2 = 4.5 \times 10^{11} \times 2 = 9 \times 10^{11}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_0 = \frac{hc}{e} \left(\frac{1}{\lambda}\right) - \frac{\phi}{e}$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = \frac{hc}{e}$ दोनों धातुओं के लिए समान है,और x-अंतःखंड $\frac{1}{\lambda_0} = \frac{\phi}{hc}$ है।
ग्राफ से,धातु $A$ के लिए x-अंतःखंड,धातु $B$ के लिए x-अंतःखंड से छोटा है। चूँकि x-अंतःखंड कार्य फलन $\phi$ के समानुपाती है (अर्थात,$\phi = hc \cdot (1/\lambda_0)$),इसलिए छोटा x-अंतःखंड छोटे कार्य फलन को दर्शाता है।
अतः,$\phi_A < \phi_B$,जिसका अर्थ है कि धातु $B$ का कार्य फलन धातु $A$ से अधिक है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda = 2500\, \mathring{A}$ रखने पर,$E = \frac{12400}{2500} = 4.96\, eV$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ है,जहाँ $\Phi = 4.47\, eV$ कार्य फलन है।
$K_{max} = 4.96 - 4.47 = 0.49\, eV$.
जैसे-जैसे गोला इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करता है,यह धनावेशित हो जाता है,जिससे एक विभव $V$ उत्पन्न होता है जो आगे के उत्सर्जन को रोकता है। निरोधी विभव $V = K_{max}/e$ होने के कारण,$V = 0.49\, V$ प्राप्त होता है।
आवेशित गोले का विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} = k \frac{Q}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ और $r = 0.01\, m$ है।
$0.49 = \frac{9 \times 10^9 \times Q}{0.01}$.
$Q = \frac{0.49 \times 0.01}{9 \times 10^9} = \frac{0.0049}{9 \times 10^9} \approx 5.44 \times 10^{-13}\, C$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$Q = 5.5 \times 10^{-13}\, C$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - hv_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
यदि आवृत्ति $v$ को दोगुना करके $2v$ कर दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ होगी। यह $2K_{max} = 2(hv - hv_0) = 2hv - 2hv_0$ के बराबर नहीं है। अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा दोगुनी नहीं होती है।
इसके अलावा,फोटोकरंट प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करता है,जो प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होता है,न कि आवृत्ति के। इसलिए,कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ सही ढंग से बताता है कि $K_{max}$ आवृत्ति पर रैखिक रूप से निर्भर करता है और फोटोकरंट तीव्रता पर निर्भर करता है। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E_{max})$ इस प्रकार है: $K.E_{max} = hv - W$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $W$ धातु का कार्य फलन है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यदि $v < W/h$ है,तो $hv < W$ होगा,जिसका अर्थ है कि आपतित ऊर्जा कार्य फलन को पार करने के लिए अपर्याप्त है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक तात्कालिक प्रक्रिया है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि $K.E_{max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि अधिकतम गतिज ऊर्जा $hv - W$ है,न कि $hv$।

(A) माना कार्य फलन $\phi$ है। आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{1240}{\lambda} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1 = 350 \ nm$ के लिए,$E_1 = \frac{1240}{350} \approx 3.543 \ eV$.
$\lambda_2 = 540 \ nm$ के लिए,$E_2 = \frac{1240}{540} \approx 2.296 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{max} = E - \phi$.
माना $v_1$ और $v_2$ अधिकतम गति हैं। दिया गया है कि $v_1 = 2v_2$,इसलिए $KE_1 = 4 KE_2$.
$3.543 - \phi = 4(2.296 - \phi)$.
$3.543 - \phi = 9.184 - 4\phi$.
$3\phi = 9.184 - 3.543 = 5.641$.
$\phi = \frac{5.641}{3} \approx 1.88 \ eV$.
निकटतम मान $1.8 \ eV$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B = B_0 [\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)]$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\omega_1 = 3.14 \times 10^7 c$ और $\omega_2 = 6.28 \times 10^7 c$ है।
चूंकि $\omega = 2\pi \nu$,आवृत्तियाँ $\nu_1 = \frac{3.14 \times 10^7 c}{2\pi} = 0.5 \times 10^7 c$ और $\nu_2 = \frac{6.28 \times 10^7 c}{2\pi} = 1.0 \times 10^7 c$ हैं।
अधिकतम आवृत्ति $\nu_{\max} = 1.0 \times 10^7 \times (3 \times 10^8) = 3 \times 10^{15} \ Hz$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu_{\max} = (6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s) \times (3 \times 10^{15} \ Hz) = 1.989 \times 10^{-18} \ J$ है।
इसे $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{1.989 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 12.43 \ eV$ प्राप्त होता है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max} = E - \phi = 12.43 \ eV - 4.7 \ eV = 7.73 \ eV$ है। निकटतम विकल्प $7.72 \ eV$ है।

(C) $1$. प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $(N_i)$ ज्ञात करें:
तीव्रता $I = 16 \, mW/m^2 = 16 \times 10^{-3} \, W/m^2$.
क्षेत्रफल $A = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = 10 \, eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 1.6 \times 10^{-18} \, J$.
कुल आपतित शक्ति $P = I \times A = 16 \times 10^{-3} \times 10^{-4} = 16 \times 10^{-7} \, W$.
$N_i = P / E = (16 \times 10^{-7}) / (1.6 \times 10^{-18}) = 10^{12} \, \text{फोटॉन/सेकंड}$.
$2$. प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_e)$ ज्ञात करें:
$N_e = 10\% \text{ of } N_i = 0.1 \times 10^{12} = 10^{11} \, \text{इलेक्ट्रॉन/सेकंड}$.
$3$. अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ ज्ञात करें:
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\max} = E - \phi = 10 \, eV - 5 \, eV = 5 \, eV$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} = \phi + eV_{1}$ ...... $(i)$
$\frac{hc}{\lambda_{2}} = \phi + eV_{2}$ ...... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{1}} - \frac{hc}{\lambda_{2}} = e(V_{1} - V_{2})$
$hc \left( \frac{1}{\lambda_{1}} - \frac{1}{\lambda_{2}} \right) = e \Delta V$
$\Delta V = \frac{hc}{e} \left( \frac{\lambda_{2} - \lambda_{1}}{\lambda_{1} \lambda_{2}} \right)$
यहाँ $\frac{hc}{e} = 1240\, nm \cdot V$,$\lambda_{1} = 300\, nm$,और $\lambda_{2} = 400\, nm$ दिया गया है:
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{400 - 300}{300 \times 400} \right)$
$\Delta V = 1240 \times \left( \frac{100}{120000} \right)$
$\Delta V = \frac{1240}{1200} \approx 1.03\, V$
अतः,निरोधी विभव में कमी लगभग $1\, V$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ और आवृत्ति $v$ के बीच संबंध है: $eV_s = hv - \phi$,जहाँ $\phi = hv_0$ कार्य फलन है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(V_0/2) = hv - \phi$ ..... $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(V_0) = h(v/2) - \phi$ ..... $(2)$
नोट: निरोधी विभव ऋणात्मक दिया गया है,जो इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभव का परिमाण दर्शाता है। अतः,$eV_s = h(v - v_0)$.
$(1)$ से: $eV_0/2 = hv - hv_0 \Rightarrow eV_0 = 2hv - 2hv_0$
$(2)$ से: $eV_0 = hv/2 - hv_0$
$eV_0$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2hv - 2hv_0 = hv/2 - hv_0$
$2hv - hv/2 = 2hv_0 - hv_0$
$3hv/2 = hv_0$
$v_0 = 3v/2$.

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र समीकरण $\vec E = E_0 \cos(kx - \omega t)$ के रूप में है।
तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \times 6 \times 10^{14} \, rad/s$ है।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = 6 \times 10^{14} \, Hz$ है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ है। $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{14}} = 5000 \, \mathring{A}$.
अतः,$E = \frac{12400}{5000} = 2.48 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करने पर: $K_{max} = E - \phi$,जहाँ $\phi = 2 \, eV$.
$eV_s = 2.48 - 2 = 0.48 \, eV$.
अतः,निरोधी विभव $V_s = 0.48 \, V$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - \phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है $E = \frac{1237}{\lambda}$ और $\phi = \frac{1237}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0 = 380 \, nm$ और $\lambda = 260 \, nm$.
$K_{\max} = \frac{1237}{260} - \frac{1237}{380}$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{380 - 260}{380 \times 260} \right)$
$K_{\max} = 1237 \times \left( \frac{120}{98800} \right)$
$K_{\max} \approx 1.5 \, eV$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = \phi + eV_0$
निरोधी विभव $V_0$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_0 = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$
दिए गए ग्राफ से,देहली आवृत्ति (threshold frequency) $(\nu_0)$ वह आवृत्ति है जिस पर निरोधी विभव $V_0$ शून्य हो जाता है। ग्राफ को देखने पर,जब $\nu = 4 \times 10^{14} \, Hz$ होता है,तब $V_0 = 0$ होता है।
इस बिंदु पर:
$0 = \frac{h\nu_0}{e} - \frac{\phi}{e}$
$\Rightarrow \phi = h\nu_0$
मान रखने पर:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \, Js) \times (4 \times 10^{14} \, Hz)$
$\phi = 26.52 \times 10^{-20} \, J$
कार्य फलन को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए:
$\phi (eV) = \frac{26.52 \times 10^{-20} \, J}{1.6 \times 10^{-19} \, C}$
$\phi = 1.6575 \, eV \approx 1.66 \, eV$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$hf = \phi_0 + KE_{max}$।
प्रथम स्थिति के लिए: $hf = \phi_0 + K_0$ --- $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,आवृत्ति $n_1$ के गुणक से बढ़ाई जाती है,अतः नई आवृत्ति $n_1f$ है। नया $KE_{max}$,$n_2K_0$ है:
$n_1hf = \phi_0 + n_2K_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से $hf$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$n_1(\phi_0 + K_0) = \phi_0 + n_2K_0$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$n_1\phi_0 + n_1K_0 = \phi_0 + n_2K_0$
$\phi_0$ के लिए हल करने पर:
$n_1\phi_0 - \phi_0 = n_2K_0 - n_1K_0$
$\phi_0(n_1 - 1) = K_0(n_2 - n_1)$
अतः,कार्य फलन है:
$\phi_0 = \left( \frac{n_2 - n_1}{n_1 - 1} \right) K_0$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$4.25 = \phi_{A} + T_{A}$ --- $(1)$
$4.70 = \phi_{B} + T_{B}$ --- $(2)$
दिया गया है: $T_{B} = T_{A} - 1.50 \, eV$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{B}} = \sqrt{\frac{T_{B}}{T_{A}}}$.
दिया है $\lambda_{B} = 2\lambda_{A}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_{B}}{T_{A}}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{T_{B}}{T_{A}} \Rightarrow T_{A} = 4T_{B}$.
$T_{A} = 4T_{B}$ को दिए गए संबंध में रखने पर: $T_{B} = 4T_{B} - 1.50 \Rightarrow 3T_{B} = 1.50 \Rightarrow T_{B} = 0.50 \, eV$.
तब $T_{A} = 4 \times 0.50 = 2.0 \, eV$.
समीकरण $(1)$ से,$\phi_{A} = 4.25 - 2.0 = 2.25 \, eV$.
समीकरण $(2)$ से,$\phi_{B} = 4.70 - 0.50 = 4.20 \, eV$.
अतः,धातु $B$ का कार्य फलन $4.20 \, eV$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = eV_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव (stopping potential) है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,हम लिख सकते हैं:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m$,$\frac{h}{e}$ के बराबर है।
दिया गया है कि ढाल $4.12 \times 10^{-15} \, V-s$ है और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है,इसलिए:
$\frac{h}{e} = 4.12 \times 10^{-15}$
$h = (4.12 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$h \approx 6.592 \times 10^{-34} \, J-s \approx 6.6 \times 10^{-34} \, J-s$.

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक होती है, या समान रूप से, जब तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य $ (\lambda < \lambda_{th}) $ से कम होती है।
यह दिया गया है कि हरा प्रकाश उत्सर्जन का कारण बनता है लेकिन पीला प्रकाश नहीं, इसलिए देहली तरंगदैर्ध्य $ (\lambda_{th}) $ हरे और पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के बीच स्थित है।
दृश्य स्पेक्ट्रम में, तरंगदैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $ \lambda_{Red} > \lambda_{Orange} > \lambda_{Yellow} > \lambda_{Green} > \lambda_{Blue} > \lambda_{Indigo} > \lambda_{Violet} $.
चूंकि इंडिगो (Indigo) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से कम है, इसलिए इसकी आवृत्ति और ऊर्जा अधिक होती है, अतः यह फोटो-इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन करेगा।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc = 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,$E = \frac{12375}{2000} \, eV = 6.1875 \, eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{\max}$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K_{\max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
$K_{\max} = E - W_0 = 6.1875 \, eV - 5.01 \, eV = 1.1775 \, eV$.
निरोधी विभव (stopping potential) $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{\max} = e V_s$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$V_s = 1.1775 \, V$,जो लगभग $1.2 \, V$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = h v - \Phi$ होती है, जहाँ $\Phi = h v_0$ कार्य फलन है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $v_1$ के लिए, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$।
आवृत्ति $v_2$ के लिए, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 / K_2 = 1 / x$ दिया गया है, इसलिए $x K_1 = K_2$।
मान रखने पर: $x h(v_1 - v_0) = h(v_2 - v_0)$।
$x v_1 - x v_0 = v_2 - v_0$।
$x v_1 - v_2 = x v_0 - v_0$।
$x v_1 - v_2 = v_0(x - 1)$।
अतः, देहली आवृत्ति $v_0 = \frac{x v_1 - v_2}{x - 1}$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12375}{\lambda (\text{in } Å)} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए तरंगदैर्ध्य को रखने पर, $E = \frac{12375}{5000} = 2.475 \, eV$ प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $E = W_0 + K_{\max}$, जहाँ $W_0$ कार्य फलन है और $K_{\max}$ फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा निरोधी विभव $V_0$ से $K_{\max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है।
चूँकि $V_0 = 1.36 \, V$ दिया गया है, इसलिए $K_{\max} = 1.36 \, eV$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $2.475 = W_0 + 1.36$।
$W_0$ के लिए हल करने पर: $W_0 = 2.475 - 1.36 = 1.115 \, eV \approx 1.12 \, eV$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E = \phi + K_{max}$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ और $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$
$v$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda \phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}$
$v = [\frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}]^{1/2}$

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,इलेक्ट्रॉन उत्सर्जक प्लेट से उत्सर्जित होते हैं और संग्राहक प्लेट की ओर बढ़ते हैं।
जब लंबवत नीचे की दिशा में एक विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेशित होने के कारण) ऊपर की दिशा में (विद्युत क्षेत्र के विपरीत) एक स्थिर-विद्युत बल का अनुभव करते हैं।
चूंकि संग्राहक प्लेट उत्सर्जक प्लेट के ऊपर स्थित है,इसलिए यह ऊपर की ओर लगने वाला बल इलेक्ट्रॉनों की गति की दिशा में कार्य करता है।
परिणामस्वरूप,इलेक्ट्रॉन त्वरित होते हैं,जिससे संग्राहक प्लेट तक पहुँचने पर उनकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
चूंकि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,इसलिए उन्हें रोकने के लिए उच्च निरोधी विभव (stopping potential) की आवश्यकता होती है।
अतः,निरोधी विभव बढ़ जाता है,जबकि संतृप्त प्रकाश-धारा और देहली तरंगदैर्ध्य अपरिवर्तित रहते हैं।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e V_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है।
आइंस्टीन का समीकरण $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है: $\phi = 2.14\, eV$,$V_0 = 0.60\, V$,इसलिए $K_{max} = 0.60\, eV$.
मान रखने पर: $0.60\, eV = \frac{1240\, eV \cdot nm}{\lambda} - 2.14\, eV$.
$0.60 + 2.14 = \frac{1240}{\lambda}$.
$2.74 = \frac{1240}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{1240}{2.74} \approx 452.55\, nm$.
चूँकि $452.55\, nm$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi$ होती है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है और $\Phi$ कार्य फलन है।
प्रारंभ में,$K_0 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति को $n_1$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो नई आवृत्ति $\nu' = n_1\nu$ हो जाती है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $n_2K_0$ है।
अतः,$n_2K_0 = h(n_1\nu) - \Phi$ --- $(2)$
$(1)$ से,$h\nu = K_0 + \Phi$। इस मान को $(2)$ में रखने पर:
$n_2K_0 = n_1(K_0 + \Phi) - \Phi$
$n_2K_0 = n_1K_0 + n_1\Phi - \Phi$
$n_2K_0 - n_1K_0 = \Phi(n_1 - 1)$
$K_0(n_2 - n_1) = \Phi(n_1 - 1)$
$\Phi = \left( \frac{n_2 - n_1}{n_1 - 1} \right) K_0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{400 \, nm} = 3.1 \, eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$,जहाँ $\phi = 2.5 \, eV$ है।
$K_{max} = 3.1 \, eV - 2.5 \, eV = 0.6 \, eV$ है।
$K_{max}$ को जूल में बदलने पर: $K_{max} = 0.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 0.96 \times 10^{-19} \, J$ है।
संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $p = \sqrt{2mK}$ है।
$p = \sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31} \, kg) \times (0.96 \times 10^{-19} \, J)}$ है।
$p = \sqrt{17.472 \times 10^{-50}} \approx 4.18 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान लगभग $4 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$ है।

(B) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hf$ द्वारा दी जाती है।
उत्सर्जक का कार्य फलन $\phi = hf_0$ है,जहाँ $f_0$ देहली आवृत्ति है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है:
$hf = \phi + K_{max}$
कार्य फलन का मान रखने पर:
$hf = hf_0 + K_{max}$
$K_{max}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$K_{max} = hf - hf_0$
$K_{max} = h(f - f_0)$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $K_{max} = h\nu - \Phi$, जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
स्थिति $1$: $K_0 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
स्थिति $2$: $3K_0 = h(2\nu) - \Phi = 2h\nu - \Phi$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(3K_0 - K_0) = (2h\nu - \Phi) - (h\nu - \Phi)$
$2K_0 = h\nu$
समीकरण $(1)$ में $h\nu = 2K_0$ रखने पर:
$K_0 = 2K_0 - \Phi$ implies $\Phi = K_0$
स्थिति $3$: यदि आवृत्ति को तीन गुना कर दिया जाए, तो $\nu' = 3\nu$.
$K_{max}' = h(3\nu) - \Phi = 3(h\nu) - \Phi$
$h\nu = 2K_0$ और $\Phi = K_0$ रखने पर:
$K_{max}' = 3(2K_0) - K_0 = 6K_0 - K_0 = 5K_0$.
अतः, मान $5$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - \phi_0$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है कि देहली आवृत्ति $v$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi_0 = hv$ है।
$4v$ आवृत्ति वाले आपतित प्रकाश की ऊर्जा $E = h(4v) = 4hv$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K_{\max} = 4hv - hv = 3hv$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,जब $v$ आवृत्ति का एक फोटॉन धातु की सतह पर टकराता है,तो फोटॉन की ऊर्जा का उपयोग कार्य फलन $\phi$ को दूर करने के लिए किया जाता है और शेष ऊर्जा उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉन को अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ के रूप में दी जाती है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = hv$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
धातु का कार्य फलन $\phi = hv_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ देहली आवृत्ति है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$hv = (KE)_{\max} + \phi$
$\phi$ का मान रखने पर:
$hv = (KE)_{\max} + hv_0$
अधिकतम गतिज ऊर्जा के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$(KE)_{\max} = hv - hv_0$
$(KE)_{\max} = h(v - v_0)$
चूंकि $h$ एक नियतांक है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $(v - v_0)$ के सीधे समानुपाती होती है।