Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{th}}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય.
આપેલ છે:
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{th}} = 3600 \mathring A$.
આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda = 1100 \mathring A$.
ગતિઊર્જા $K_{\text{max}}$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{\text{th}}}$
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{1}{1100} - \frac{1}{3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{3600 - 1100}{1100 \times 3600} \right) \text{ eV}$
$K_{\text{max}} = 12400 \left( \frac{2500}{3960000} \right) \text{ eV} \approx 7.83 \text{ eV}$.

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi_0$ એ સૂત્ર $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $(5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Phi_0 = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}}$
$\Phi_0 = 3.978 \times 10^{-19} \ J \approx 4 \times 10^{-19} \ J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે એમિટર પ્લેટનું કાર્ય વિધેય $\phi = h v_0$ છે. આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = h v$ છે.
કિસ્સો $1$: સ્વીચ $S_1$ બંધ છે અને $S_2$ ખુલ્લી છે. $5 V$ ની બેટરી એવી રીતે જોડાયેલ છે કે કલેક્ટર $C$,$E$ ની સાપેક્ષમાં $-5 V$ પર છે. કલેક્ટર પર ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max, C} = (E - \phi) - 5 eV = 1 eV \Rightarrow E - \phi = 6 eV$.
કિસ્સો $2$: સ્વીચ $S_1$ ખુલ્લી છે અને $S_2$ બંધ છે. $5 V$ ની બેટરી એવી રીતે જોડાયેલ છે કે કલેક્ટર $C$,$E$ ની સાપેક્ષમાં $+5 V$ પર છે. આવૃત્તિ બમણી થતાં નવી ઊર્જા $2E$ થાય છે. કલેક્ટર પર મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max, C} = (2E - \phi) + 5 eV = 20 eV \Rightarrow 2E - \phi = 15 eV$.
સમીકરણો:
$E - \phi = 6 eV$ ...$(i)$
$2E - \phi = 15 eV$ ...(ii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતાં: $E = 9 eV$.
$E = 9 eV$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $9 eV - \phi = 6 eV \Rightarrow \phi = 3 eV$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi} = \frac{12400 eV Å}{3 eV} \approx 4133.3 Å$.

(D) આપેલ છે,વર્ક ફંક્શન $W_0 = 2.35 \text{ eV}$. વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો વિદ્યુત ઘટક $E = a[1 + \cos(2 \pi f_1 t)] \cos(2 \pi f_2 t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + a \cos(2 \pi f_1 t) \cos(2 \pi f_2 t)$
$E = a \cos(2 \pi f_2 t) + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 + f_2) t] + \frac{a}{2} \cos[2 \pi (f_1 - f_2) t]$.
વિકિરણમાં હાજર આવૃત્તિઓ $f_2$,$(f_1 + f_2)$,અને $(f_1 - f_2)$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા મેળવવા માટે,આપણે મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટોનનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ,જે $f_{\max} = f_1 + f_2 = 3.6 \times 10^{15} + 1.2 \times 10^{15} = 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}$ છે.
આ ફોટોનની ઊર્જા $E_{\text{photon}} = h f_{\max} = (6.6 \times 10^{-34} \text{ Js} \times 4.8 \times 10^{15} \text{ Hz}) / (1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) = 19.8 \text{ eV}$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max} = E_{\text{photon}} - W_0 = 19.8 \text{ eV} - 2.35 \text{ eV} = 17.45 \text{ eV}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે,આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 400 \,nm = 4 \times 10^{-7} \,m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 2 \,N/C$ અને અંતર,$s = 1 \,m$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા,$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} \approx 4.97 \times 10^{-19} \,J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા,$E_{ph} = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 \,eV$.
ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં $1 \,m$ અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થાય છે. ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = qEs = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (2 \,N/C) \times (1 \,m) = 3.2 \times 10^{-19} \,J$.
આને $eV$ માં રૂપાંતર કરતા,$K_{max} = 2 \,eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$E_{ph} = W_0 + K_{max}$.
તેથી,કાર્ય વિધેય $W_0 = E_{ph} - K_{max} = 3.1 \,eV - 2 \,eV = 1.1 \,eV$.

(A) આપેલ છે: પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda = 488 \, nm$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ, $V_0 = 0.38 \, V$.
ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ લેતા, $E = \frac{1240}{488} \approx 2.54 \, eV$.
ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $KE_{\max} = eV_0 = 0.38 \, eV$ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = KE_{\max} + W_0$.
તેથી, વર્ક ફંક્શન $W_0 = E - KE_{\max} = 2.54 - 0.38 = 2.16 \, eV$.
આમ, કેથોડ મટીરીયલનું વર્ક ફંક્શન $2.16 \, eV$ છે।

(A) વર્ણપટ રેખાને અનુરૂપ ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu = \Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા $\phi = E(H_\alpha) = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) eV$.
$H_\beta$ ફોટોનની ઊર્જા $E_\beta = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) eV$.
$H_\infty$ ફોટોનની ઊર્જા $E_\infty = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} \right) eV$.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$.
$K_\beta = 13.6 \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{27 - 20}{144} \right) = 13.6 \left( \frac{7}{144} \right) eV$.
$K_\infty = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{9 - 5}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{4}{36} \right) = 13.6 \left( \frac{16}{144} \right) eV$.
ગુણોત્તર $\frac{K_\beta}{K_\infty} = \frac{7/144}{16/144} = \frac{7}{16}$.

(B) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
$P$ પાવર ધરાવતા સ્ત્રોત દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની કુલ સંખ્યા $N = \frac{P}{E} = \frac{P \lambda}{hc}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{I}{e}$ છે,જ્યાં $I$ એ ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરતા આપાત ફોટોનની ટકાવારી $\eta = \frac{n}{N} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = \frac{I/e}{P \lambda / hc} \times 100 = \frac{Ihc}{eP \lambda} \times 100$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV = h v - \Phi$
$V = (h/e) v - (\Phi/e)$
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ એક સીધી રેખા $y = mx + c$ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m = h/e$ તમામ ધાતુઓ માટે અચળ છે,અને $y$-અંતઃખંડ $-(\Phi/e)$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ એ $\Phi = h v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $v_0 = \Phi/h$.
કારણ કે $A$ નું વર્ક ફંક્શન $B$ કરતા વધારે છે $(\Phi_A > \Phi_B)$,તેથી $A$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $B$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ $(v_{0A} > v_{0B})$.
$V$ વિરુદ્ધ $v$ ના આલેખ પર,$x$-અંતઃખંડ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ દર્શાવે છે.
તેથી,ધાતુ $A$ માટેની રેખા $v$-અક્ષને ધાતુ $B$ ની રેખા કરતા જમણી બાજુએ છેદવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખમાં $A$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $B$ કરતા વધારે છે તે સાચું નિરૂપણ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ છે: $K_{max} = E - \Phi$,જ્યાં $E = 5 eV$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi = 4.36 eV$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{max} = 5 eV - 4.36 eV = 0.64 eV$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: $K_{max} = 0.64 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 1.024 \times 10^{-19} J$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $(9.1 \times 10^{-31} kg)$ છે.
$p = \sqrt{2m K_{max}} = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.024 \times 10^{-19}}$.
$p = \sqrt{18.6368 \times 10^{-50}} \approx 4.31 \times 10^{-25} kgms^{-1}$.

(B) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = 4.8 eV$ છે અને ગોળાનું વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.8 eV$ છે. ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે અટકે છે જ્યારે ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V$ એવા મૂલ્ય સુધી પહોંચે કે જેથી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $eV = E - \phi = 4.8 eV - 2.8 eV = 2.0 eV$,તેથી $V = 2.0 V$.
$R = 9 mm = 9 \times 10^{-3} m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 R = \frac{R}{k} = \frac{9 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = 10^{-12} F$ છે.
પોટેન્શિયલ $V$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ચાર્જ $Q = CV = 10^{-12} F \times 2.0 V = 2 \times 10^{-12} C$ છે.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{Q}{e} = \frac{2 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^7$ છે.
ઉત્સર્જનનો દર $10^5$ ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ હોવાથી,લાગતો સમય $t = \frac{n}{\text{rate}} = \frac{1.25 \times 10^7}{10^5} = 125 s$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0 = h\nu_0$.
આવૃત્તિ $\nu_1 = 2\nu_0$ માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_1 = h(2\nu_0) - h\nu_0 = h\nu_0$ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$,તેથી $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = h\nu_0$.
આવૃત્તિ $\nu_2 = 3\nu_0$ માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2 = h(3\nu_0) - h\nu_0 = 2h\nu_0$ છે.
કારણ કે $K_2 = 2K_1$,તેથી $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2(\frac{1}{2}mv_1^2)$.
આમ,$v_2^2 = 2v_1^2$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = \sqrt{2}v_1$.
$v_1 = 2 \times 10^6 \ m/s$ કિંમત મૂકતા,આપણને $v_2 = \sqrt{2} \times 2 \times 10^6 = 2\sqrt{2} \times 10^6 \ m/s$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
બામર શ્રેણી માટે, સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે.
મહત્તમ ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{max}} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) \text{ eV} = 13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV} = 3.4 \text{ eV}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે ધાતુનું મહત્તમ શક્ય વર્ક ફંક્શન આપાત ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા જેટલું એટલે કે $3.4 \text{ eV}$ હોઈ શકે છે.

(B) બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 3)$ થી ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતા ફોટોનની ઊર્જા:
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] \ eV$
$E = 13.6 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = 13.6 \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = 13.6 \times \frac{8}{9} \approx 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$:
$K_{\max} = E - W = 12.1 \ eV - 3.1 \ eV = 9.0 \ eV$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ છે.
સૂત્ર $\lambda \approx \frac{12.27}{\sqrt{K_{\max}}} \ \text{Å}$ (જ્યાં $K_{\max}$ એ $eV$ માં છે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{9}} = \frac{12.27}{3} = 4.09 \ \text{Å}$.
આમ,તરંગલંબાઇ આશરે $4 \ \text{Å}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = e V_s$,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી $e V_s = E - \phi$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(1.7 \ V) = 3.1 \ eV - \phi$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 3.1 \ eV - 1.7 \ eV = 1.4 \ eV$.
બીજા કિસ્સા માટે: $e V_s' = 2.5 \ eV - \phi$.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $e V_s' = 2.5 \ eV - 1.4 \ eV = 1.1 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s' = 1.1 \ V$ થાય.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર: $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ છે.
અહીં $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$ અને $v_{max} = 8 \times 10^5 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (8 \times 10^5)^2$.
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 64 \times 10^{10} = 288 \times 10^{-21} \text{ J}$.
આ ઊર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ (eV) માં ફેરવવા માટે,ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ વડે ભાગતા:
$K_{max} \text{ (eV માં)} = \frac{288 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} = 180 \times 10^{-2} = 1.8 \text{ eV}$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ: $K_{max} = e V_s$.
તેથી,$V_s = \frac{K_{max}}{e} = 1.8 \text{ V}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_s$, જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે, આપણે લખી શકીએ:
$eV_s = h\nu - \phi_0$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$
આ સમીકરણ સુરેખ રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $y = V_s$, $x = \nu$, અને ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
આપેલ છે કે $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ઢાળ $m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-15} \text{ JsC}^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,જ્યાં $V_0$ એ કટ-ઓફ (સ્ટોપિંગ) પોટેન્શિયલ છે અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,તેથી આપણને $eV_0 = h\nu - \phi_0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $V_0$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેના આલેખનો ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ઢાળ} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 4.14 \times 10^{-15} \ V \cdot s$.

(C) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 1.1 \ eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણને $v = \sqrt{\frac{2(E - \phi_0)}{m}}$ મળે છે.
$E_1 = 1.5 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા પ્રથમ કિરણ માટે,મહત્તમ વેગ $v_1 = \sqrt{\frac{2(1.5 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.4)}{m}}$ છે.
$E_2 = 2 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા બીજા કિરણ માટે,મહત્તમ વેગ $v_2 = \sqrt{\frac{2(2 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.9)}{m}}$ છે.
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન,$W = 2.2 \,eV$
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 400 \,nm$
આપાત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$E = \frac{1240 \,eV \cdot nm}{\lambda (nm)} = \frac{1240}{400} = 3.1 \,eV$
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$E = W + K_{max}$
જ્યાં $K_{max} = e V_s$ ($V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે).
$e V_s = E - W$
$e V_s = 3.1 \,eV - 2.2 \,eV = 0.9 \,eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 0.9 \,V$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ $K_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$1$. વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $K_{\max}$ સીધી રીતે આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,તીવ્રતા ગમે તે હોય.
$3$. વિધાન $III$ સાચું છે કારણ કે $K_{\max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
$4$. વિધાન $IV$ સાચું છે કારણ કે જેમ આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે,તેમ $K_{\max} = h\nu - \phi$ પણ વધે છે.
આમ,વિધાન $III$ અને $IV$ સાચા છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$V_s = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$
આ $y = mx + c$ પ્રકારનું રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ ઢાળ $4 \times 10^{-15} \ V \ s$ છે,તેથી:
$\frac{h}{e} = 4 \times 10^{-15} \ V \ s$
$h = (4 \times 10^{-15} \ V \ s) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C)$
$h = 6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$
આમ,પ્લાન્કનો અચળાંક $6.4 \times 10^{-34} \ J \ s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K.E._{max} = E - W$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{248 \, nm} = 5.0 \, eV$
મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$K.E._{max} = e V_s = 2.8 \, eV$
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.8 \, eV = 5.0 \, eV - W$
$W = 5.0 \, eV - 2.8 \, eV$
$W = 2.2 \, eV$
આમ, ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $2.2 \, eV$ છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે।
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
પ્રથમ તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 200 \, nm$ માટે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S1} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
બીજી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 400 \, nm$ માટે, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S2} = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ છે।
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ઘટાડો $\Delta V_S = V_{S1} - V_{S2}$ છે।
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{\lambda_0} - \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \right)$.
$\Delta V_S = \frac{1240}{e} \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{400} \right) = \frac{1240}{e} \left( \frac{2-1}{400} \right) = \frac{1240}{400} = 3.1 \, V$.

(A) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$
અહીં $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$ અને $v_{\max} = 1.6 \times 10^6 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી:
$(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2$
$(K.E.)_{\max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12}$
$(K.E.)_{\max} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$e V_s = (K.E.)_{\max}$
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{11.52 \times 10^{-19} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$
$V_s = 7.2 \ V$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$h \nu - W = K_{\text{max}}$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,$W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\text{max}}$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
ગતિઊર્જા ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી $K_{\text{max}} \geq 0$.
તેથી,$h \nu - W \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $h \nu \geq W$.
આપેલ છે કે વર્ક ફંક્શન $W = h \nu_0$,તેથી શરત $h \nu \geq h \nu_0$ બને છે.
બંને બાજુને $h$ વડે ભાગતા,આપણને $\nu \geq \nu_0$ મળે છે.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થશે જો આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય.

(D) આપેલ છે કે,વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 1.5 \ eV$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$. કારણ કે $V_s \propto \frac{1}{\lambda}$,નાની તરંગલંબાઇ મોટા સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ (વધુ ઋણ) ને અનુરૂપ છે.
તરંગલંબાઇની સરખામણી કરતા: $\lambda_A = 200 \ nm < \lambda_B = 400 \ nm < \lambda_C = 600 \ nm$. તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_A| > |V_B| > |V_C|$ ક્રમમાં હશે. આલેખ પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_1, V_2, V_3, V_4$ છે જ્યાં $|V_1| > |V_2| > |V_3| > |V_4|$. તેથી,$A \rightarrow V_2$,$B \rightarrow V_3$,અને $C \rightarrow V_4$.
સેચ્યુરેશન ફોટોકરન્ટ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. આપેલ તીવ્રતા: $I_A = 1.8 \ W/m^2$,$I_B = 1 \ W/m^2$,$I_C = 0.5 \ W/m^2$. તેથી,સેચ્યુરેશન કરન્ટનો ક્રમ $I_A > I_B > I_C$ છે.
આ વક્રો સાથે મેળવતા:
વક્ર $III$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_2$ અને ઉચ્ચ સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $A$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $II$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_3$ અને મધ્યમ સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $B$ ને અનુરૂપ છે.
વક્ર $IV$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_4$ અને ઓછો સેચ્યુરેશન કરન્ટ ધરાવે છે,જે પ્રકાશ $C$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $A \rightarrow III, B \rightarrow II, C \rightarrow IV$ છે. વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\lambda_1 = 600 \ nm$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(i)$
$\lambda_2 = 400 \ nm$ માટે,$K_2 = 2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- (ii)
$(i)$ પરથી,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2 \left( \frac{hc}{\lambda_1} - \phi \right) = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda_1} - 2\phi = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
$\phi = hc \left( \frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J-s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$\lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 400 \times 10^{-9} \ m$:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) \left( \frac{2}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{400 \times 10^{-9}} \right)$
$\phi = (19.89 \times 10^{-26}) \times 10^9 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{400} \right)$
$\phi = 19.89 \times 10^{-17} \left( \frac{4-3}{1200} \right) = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200} \ J$
$\phi = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200 \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.036 \ eV \approx 1.02 \ eV$.

(A) ધારો કે $\phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ --- $(i)$
આપેલ છે કે ફોટોનની પ્રારંભિક ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = 2.4 \text{ eV}$ છે।
જ્યારે તરંગલંબાઇમાં $50 \%$ ઘટાડો થાય છે, ત્યારે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે।
ફોટોનની નવી ઉર્જા $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = 2 \times 2.4 \text{ eV} = 4.8 \text{ eV}$ થાય છે।
નવો મહત્તમ વેગ $v' = 3v$ છે, તેથી નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'_{\max} = \frac{1}{2} m (3v)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = 9 K_{\max}$ થાય।
બીજા કિસ્સા માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$9 K_{\max} = E' - \phi_0 = 4.8 - \phi_0$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી, $K_{\max} = 2.4 - \phi_0$।
આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$9(2.4 - \phi_0) = 4.8 - \phi_0$
$21.6 - 9\phi_0 = 4.8 - \phi_0$
$8\phi_0 = 21.6 - 4.8 = 16.8$
$\phi_0 = \frac{16.8}{8} = 2.1 \text{ eV}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ એ $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 4 \text{ eV}$ અને $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 4 - 2 = 2 \text{ eV} \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 2.5 \text{ eV}$ અને $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.5 - 2 = 0.5 \text{ eV} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{2}{0.5}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E_K = E - \phi_0$,જ્યાં $E_K$ એ ગતિ ઊર્જા છે,$E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $E = E_K + \phi_0$ ... $(i)$.
જ્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જામાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ઊર્જા $E'$ એ $E' = E + 0.2E = 1.2E$ થાય છે.
નવી ગતિ ઊર્જા $E_K'$ એ $E_K' = E' - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $E' = E_K' + \phi_0$ ... (ii).
સમીકરણ (ii) માં $E' = 1.2E$ મૂકતા,આપણને મળે છે $1.2E = E_K' + \phi_0$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$E = 0.5 + \phi_0$. આ કિંમતને સુધારેલા સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$1.2(0.5 + \phi_0) = 0.8 + \phi_0$
$0.6 + 1.2\phi_0 = 0.8 + \phi_0$
$1.2\phi_0 - \phi_0 = 0.8 - 0.6$
$0.2\phi_0 = 0.2$
$\phi_0 = 1.0 \ eV$.

(B) આપેલ છે, વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.4 \text{ eV}$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં હાઈડ્રોજન પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_i = 13.6 \text{ eV}$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોન દ્વારા હાઈડ્રોજન પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા માટે, ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ હાઈડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી, $KE_{max} = 13.6 \text{ eV}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = KE_{max} + \phi$, જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1240}{\lambda} = 13.6 + 2.4$.
$\frac{1240}{\lambda} = 16$.
$\lambda = \frac{1240}{16} = 77.5 \text{ nm}$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં ઉર્જાનું સમીકરણ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h \nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$ $\ldots$ $(i)$
જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 2\nu$ થાય છે.
નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_0' = \frac{h(2\nu)}{e} - \frac{\phi_0}{e} = \frac{2h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$
આને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$V_0' = 2\left(\frac{h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}\right) + \frac{\phi_0}{e}$
સમીકરણ $(i)$ ને આ પદમાં મૂકતા:
$V_0' = 2V_0 + \frac{\phi_0}{e}$
કારણ કે $\frac{\phi_0}{e} > 0$,તેથી સાબિત થાય છે કે $V_0' > 2V_0$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ બમણા કરતા વધારે થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(KE)_{\max }$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $(KE)_{\max } = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = (KE)_{\max }$ અને $x = \nu$,આપણને ઢાળ $m = h$ મળે છે.
જેহেতু $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તેથી $(KE)_{\max }$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખનો ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(B) ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.5 \,eV$ છે।
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 310 \,nm$ છે।
અચળાંક $hc = 1240 \,eV-nm$ આપેલ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી:
$eV_0 = \frac{1240 \,eV-nm}{310 \,nm} - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 4 \,eV - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 1.5 \,eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 1.5 \,V$ થાય।

(A) આપેલ છે: સ્ત્રોતનો પાવર $P = 1 \,W$, અંતર $d = 1 \,m$, ખુલ્લા વિસ્તારની ત્રિજ્યા $r = 1 \,Å = 10^{-10} \,m$, વર્ક ફંક્શન $\phi = 5 \,eV = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$.
$d$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi d^2} = \frac{1}{4 \pi (1)^2} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$.
વર્તુળાકાર વિસ્તાર $A = \pi r^2$ દ્વારા શોષાયેલ પાવર $P_{abs} = I \times A = \frac{1}{4 \pi} \times \pi (10^{-10})^2 = \frac{10^{-20}}{4} \,W$.
વર્ક ફંક્શન જેટલી ઉર્જા મેળવવા માટે જરૂરી સમય $t = \frac{\phi}{P_{abs}}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{5 \times 1.6 \times 10^{-19}}{10^{-20} / 4} = \frac{8 \times 10^{-19}}{0.25 \times 10^{-20}} = 320 \,s$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$h v = \phi + K.E_{max}$,જ્યાં $K.E_{max} = e V_s$ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ માટે: $h v_1 = \phi + e V_1$ --- $(1)$
આવૃત્તિ $2 v_1$ માટે: $h(2 v_1) = \phi + e(3 V_1) = \phi + 3 e V_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$h v_1 = \phi + e V_1$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\phi + e V_1) = \phi + 3 e V_1$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + 3 e V_1$
$\phi = e V_1$
હવે,$\phi = e V_1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$h v_1 = e V_1 + e V_1 = 2 e V_1$
આવૃત્તિ $4 v_1$ માટે,ધારો કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = n V_1$ છે:
$h(4 v_1) = \phi + e(n V_1)$
$4(h v_1) = e V_1 + n e V_1$
$4(2 e V_1) = e V_1(1 + n)$
$8 e V_1 = e V_1(1 + n)$
$8 = 1 + n$
$n = 7$

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 221 \,nm = 221 \times 10^{-9} \,m$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{221 \times 10^{-9}} \,J = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{221 \times 10^{-9}} \,J = 0.09 \times 10^{-17} \,J = 9 \times 10^{-19} \,J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = \frac{9 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,J/eV} = 5.625 \,eV \approx 5.63 \,eV$.
સીસાના ગોળાનું કાર્ય વિધેય $\phi = 4.14 \,eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi = 5.63 \,eV - 4.14 \,eV = 1.49 \,eV$ છે.
જેમ જેમ ગોળો ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે, તેમ તે ધન વીજભારિત બને છે અને તેનું સ્થિતિમાન વધે છે જ્યાં સુધી ફોટોઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળી ન શકે. પ્રાપ્ત મહત્તમ સ્થિતિમાન $V$ એ $eV = K_{max}$ દ્વારા મળે છે.
આમ, $V = 1.49 \,V$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ એ કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = \Phi + K_{max}$
આપેલ છે:
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ = $4 eV$
મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ = $1.1 eV$
કાર્ય વિધેય શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Phi = E - K_{max}$
$\Phi = 4 eV - 1.1 eV$
$\Phi = 2.9 eV$
તેથી, ધાતુનું કાર્ય વિધેય $2.9 eV$ છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$ અને $f = 4 \times 10^{14} \,Hz$ આપેલ છે।
$E = 6.63 \times 10^{-34} \times 4 \times 10^{14} = 26.52 \times 10^{-20} \,J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે, તેને $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{26.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV = 1.6575 \,eV$.
ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = 2.14 \,eV$ છે।
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(1.6575 \,eV)$ એ વર્ક ફંક્શન $(2.14 \,eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી, આપાત પ્રકાશ પાસે ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા નથી।
તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં અને મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $0 \,eV$ રહેશે।

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
આપેલ છે:
કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 2 \ \text{eV} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ \text{J} = 3.2 \times 10^{-19} \ \text{J}$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 3000 \ \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} \ \text{m} = 3 \times 10^{-7} \ \text{m}$
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} \ \text{J} = 6.6 \times 10^{-19} \ \text{J}$
હવે,$KE_{max}$ ની ગણતરી કરતા:
$KE_{max} = 6.6 \times 10^{-19} \ \text{J} - 3.2 \times 10^{-19} \ \text{J} = 3.4 \times 10^{-19} \ \text{J}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{hc}{\lambda} - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ (ii) બાદ કરતા:
$E_1 - E_2 = \left(\frac{hc}{\lambda_1} - W\right) - \left(\frac{hc}{\lambda_2} - W\right)$
$E_1 - E_2 = hc \left(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$
$E_1 - E_2 = hc \left(\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}\right)$
$hc$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$hc = \frac{(E_1 - E_2) \lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$E_1 = 2.5 eV$ ઉર્જા ધરાવતા પ્રથમ ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = E_1 - \phi_0 = 2.5 eV - 1.5 eV = 1.0 eV$ $(i)$
$E_2 = 3.5 eV$ ઉર્જા ધરાવતા બીજા ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = E_2 - \phi_0 = 3.5 eV - 1.5 eV = 2.0 eV$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{1.0 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h v - h v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ માટે,$K_1 = h(v_1 - v_0)$.
આવૃત્તિ $v_2$ માટે,$K_2 = h(v_2 - v_0)$.
મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = 1 : n$ આપેલ છે,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{n}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{n}$.
$\frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0} = \frac{1}{n}$.
ગુણાકાર કરતા,$n(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$.
$n v_1 - n v_0 = v_2 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = n v_0 - v_0$.
$n v_1 - v_2 = v_0(n - 1)$.
તેથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0 = \frac{n v_1 - v_2}{n - 1}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = E - W_0$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}}$ મળે.
જ્યારે $m$ દળ અને $e$ વીજભાર ધરાવતો કણ $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વેગને લંબ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$evB = \frac{mv^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$r = \frac{mv}{eB}$ મળે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{2m(E-W_0)}}{eB}$.