Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(B) વર્ક ફંક્શન $\phi_{0}$ એ સૂત્ર $\phi_{0} = h \nu_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ છે અને $\nu_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
ઉર્જાને જુલમાંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(e = 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગીએ છીએ.
$\phi_{0} = \frac{h \nu_{0}}{e} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 5.16 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$.
$\phi_{0} \approx \frac{34.19 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$.
$\phi_{0} \approx 2.137 \ eV$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\phi_{0} \approx 2.14 \ eV$ મળે છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\text{max}})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ (કટ-ઓફ વોલ્ટેજ,$V_0$) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{\text{max}} = e V_0$
અહીં આપેલ છે કે કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $V_0 = 1.5 \ V$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{\text{max}} = e \times 1.5 \ V$
$K_{\text{max}} = 1.5 \ eV$
આમ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $1.5 \ eV$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \phi_0$, જ્યાં $K_{max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે, $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_s$ (જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે), તેથી $eV_s = h\nu - \phi_0$ મળે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે સમીકરણ ગોઠવતા, $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$.
જેમ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ વધે છે, તેમ $\frac{h}{e}\nu$ પદ વધે છે, જે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માં વધારો કરે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે, તેની આવૃત્તિ પર નહીં, જો આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય તો.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_{0}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $eV_{0} = h\nu - \phi_{0}$.
બંને બાજુ $e$ વડે ભાગતા,આપણને $V_{0} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_{0}}{e}$ મળે છે.
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_{0}$,$x = \nu$,અને $c = -\frac{\phi_{0}}{e}$,તેથી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,આપાત પ્રકાશની ઊર્જા $E$ છે અને વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = \frac{E}{3}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi_0$
$K_{\max} = E - \frac{E}{3} = \frac{2E}{3}$.
ધાતુની અંદર થતી અથડામણોને કારણે ફોટોઈલેક્ટ્રોન $0$ થી $K_{\max}$ સુધીની ઊર્જા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ એ $0 \leq K \leq \frac{2E}{3}$ ની રેન્જમાં હોય છે.

(C) આપેલ છે,વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.4 \ eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E \ge \phi_0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda \le \lambda_0$ હોવી જોઈએ.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{\phi_0} = \frac{1240}{2.4} \approx 516.7 \ nm$.
જો આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda > \lambda_0$ હોય,તો ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A) 200 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
$B) 300 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
$C) 700 \ nm > 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થતું નથી)
$D) 400 \ nm < 516.7 \ nm$ (ઉત્સર્જન થાય છે)
તેથી,$700 \ nm$ તરંગલંબાઈ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $K_{max} = eV_0$,અને $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી:
$eV_0 = h\nu - \phi_0$
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_0 = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi_0}{e}$
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$ છે:
ઢાળ $(m)$ = $\frac{h}{e}$
$y$-અંતઃખંડ $(c)$ = $-\frac{\phi_0}{e}$
કાર્યવિધેય (work function) $\phi_0 = h\nu_0$ હોવાથી,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ થશે:
$c = -\frac{h\nu_0}{e}$
આમ,ઢાળ $\frac{h}{e}$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $-\frac{h\nu_0}{e}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = 0.52 eV$ છે. પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 500 \,nm$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બે અલગ-અલગ તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta K = K_2 - K_1 = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc \approx 1242 \,eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$0.52 = 1242 \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{500} \right)$.
$\frac{0.52}{1242} = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$0.000418 = \frac{1}{\lambda_2} - 0.002$.
$\frac{1}{\lambda_2} = 0.002418$.
$\lambda_2 = \frac{1}{0.002418} \approx 413.5 \,nm$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,નવી તરંગલંબાઈ આશરે $400 \,nm$ છે.

(D) આપેલ છે: કાર્ય-વિધેય, $\phi_{0} = 1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$.
તરંગલંબાઈ, $\lambda = 3000 \text{Å} = 3000 \times 10^{-10} m$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3000 \times 10^{-10}} = 6.63 \times 10^{-19} J$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = \phi_{0} + KE_{max}$.
$KE_{max} = E - \phi_{0} = 6.63 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} = 5.03 \times 10^{-19} J$.
કારણ કે $KE_{max} = \frac{1}{2}mv^{2}$, તેથી $v = \sqrt{\frac{2 \times KE_{max}}{m}}$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 5.03 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1.105 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^{6} m/s$.
આમ, વેગ આશરે $1 \times 10^{6} m/s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $\phi_0 = h\nu_0$,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,આપણે લખી શકીએ:
$K_{max} = h\nu - h\nu_0 = h(\nu - \nu_0)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ સ્વરૂપની એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $h$ છે અને આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $\nu_0$ છે.
$\nu < \nu_0$ આવૃત્તિઓ માટે,ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી. $\nu \geq \nu_0$ માટે,ગતિઊર્જા આવૃત્તિ સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$KE_{\max} = h\nu - \phi$
જ્યાં:
$KE_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
$\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ ધાતુ માટે વર્ક ફંક્શન $\phi$ અચળ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{\max})$ સીધી રીતે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ અને આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $eV_{0} = h\nu - \phi$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,ત્રણ આવૃત્તિઓ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અનુક્રમે $V_{01}, V_{02}$ અને $V_{03}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $|V_{03}| > |V_{02}| > |V_{01}|$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલી આવૃત્તિ વધારે.
તેથી,આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો સંબંધ $v_{3} > v_{2} > v_{1}$ થાય,જે $v_{1} < v_{2} < v_{3}$ ને સમાન છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે $n_i$ થી $n_f$ સ્તરમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=3$ થી $n=2$ ના સંક્રમણ માટે ઊર્જા $E_{3-2} = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$ છે.
અહીં ફોટોઇલેક્ટ્રોન માંડ ઉત્સર્જિત થાય છે, તેથી ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = 1.89 \text{ eV}$ છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે આપાત ફોટોનની ઊર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \ge \Phi)$.
આપેલા વિકલ્પો માટે ઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$A$: $n=2$ થી $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$B$: $n=3$ થી $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/9) = 12.09 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$C$: $n=5$ થી $n=2$: $E = 13.6 (1/4 - 1/25) = 13.6 (21/100) = 2.856 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$D$: $n=4$ થી $n=3$: $E = 13.6 (1/9 - 1/16) = 13.6 (7/144) \approx 0.66 \text{ eV} < 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય નથી).
તેથી, $n=4$ થી $n=3$ ના સંક્રમણ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ વેગ $v = 1.8 \times 10^{6} \ m/s$ અને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$.
સૌથી ઝડપી ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,જે સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $e V_{0} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
બંને બાજુને $m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $V_{0} \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{v^{2}}{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{0} \times (1.8 \times 10^{11}) = \frac{(1.8 \times 10^{6})^{2}}{2}$.
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = \frac{3.24 \times 10^{12}}{2}$.
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = 1.62 \times 10^{12}$.
$V_{0} = \frac{1.62 \times 10^{12}}{1.8 \times 10^{11}} = 0.9 \times 10 = 9 \ V$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ વર્ક ફંક્શન $(W)$ અને ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = W + KE$
$KE = E - W$
અહીં $E = \frac{hc}{\lambda}$ અને $W = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ હોવાથી:
$KE = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}}$
$KE = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$
$KE = hc \left( \frac{\lambda_{0} - \lambda}{\lambda \lambda_{0}} \right)$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$KE_{max} = h\nu - \phi_{0}$
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = KE_{max}$,$x = \nu$,$m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ y-અંતઃખંડ છે:
$KE_{max} = h\nu + (-\phi_{0})$
અહીં,ઢાળ $m = h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) છે.
જેহেতু $h$ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તેથી ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3 eV_{s} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $eV_{s} = hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{3 eV_{s}}{eV_{s}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}{hc \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}{\frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}}$
$3 \left( \frac{1}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{3}{\lambda_{0}} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{3}{2 \lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_{0}} - \frac{1}{\lambda_{0}}$
$\frac{1}{2 \lambda} = \frac{2}{\lambda_{0}}$
$\lambda_{0} = 4 \lambda$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે, અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$\nu = c / \lambda$ હોવાથી, ગતિઊર્જા એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ તેમજ પદાર્થના વર્ક ફંક્શન $\Phi_0$ પર આધાર રાખે છે.
આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા એ એકમ સમયમાં સપાટી પર અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા નક્કી કરે છે, જે ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે, પરંતુ તે વ્યક્તિગત ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાને અસર કરતી નથી.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E_{k} = h\nu - \Phi$
જ્યાં $E_{k}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi = h\nu_{0}$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્યવિધેય છે ($\nu_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે).
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = E_{k}$
$x = \nu$
$m = h$ (ઢાળ)
$c = -\Phi$ (y-અંતઃખંડ)
$1$. જ્યારે $\nu < \nu_{0}$ હોય,ત્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા કાર્યવિધેય કરતા ઓછી હોય છે,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી અને $E_{k} = 0$ રહે છે.
$2$. જ્યારે $\nu = \nu_{0}$ હોય,ત્યારે $E_{k} = 0$ થાય છે.
$3$. જ્યારે $\nu > \nu_{0}$ હોય,ત્યારે $E_{k}$ એ આવૃત્તિ $\nu$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આલેખ $D$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ સુધી $E_{k}$ શૂન્ય રહે છે,અને ત્યારબાદ તે રેખીય રીતે વધે છે.

(B) થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા (કાર્ય વિધેય) $\Phi = h \nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
ધાતુ $A$ માટે:
$\Phi_A = h \nu_A = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.8 \times 10^{14}) \ J = 11.88 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $\Phi_A = \frac{11.88 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.7425 \ eV$.
ધાતુ $B$ માટે:
$\Phi_B = h \nu_B = (6.6 \times 10^{-34}) \times (2.2 \times 10^{14}) \ J = 14.52 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $\Phi_B = \frac{14.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.9075 \ eV$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 0.825 \ eV$ છે.
અહીં $E > \Phi_A$ $(0.825 \ eV > 0.7425 \ eV)$ અને $E < \Phi_B$ $(0.825 \ eV < 0.9075 \ eV)$ હોવાથી,ફોટોઈલેક્ટ્રોન માત્ર ધાતુ $A$ માંથી જ ઉત્સર્જિત થશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે જેની ઉર્જા $E_1 = 1 \text{ eV}$ છે:
$K_1 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
બીજા ફોટોન માટે જેની ઉર્જા $E_2 = 2.5 \text{ eV}$ છે:
$K_2 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
ગતિ ઉર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
ગતિ ઉર્જાના સમીકરણને મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $1:2$ થશે.

(B) જ્યારે યોગ્ય આવૃત્તિનો પ્રકાશ ધાતુની પ્લેટ પર પડે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે. આ ઘટનાને ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર કહેવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{\max} = hf - \phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$f$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન (કાર્ય વિધેય) છે.
આપેલ ધાતુ માટે $h$ અને $\phi_0$ અચળ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(f)$ પર જ આધાર રાખે છે.

(D) પાશ્ચન શ્રેણીમાં,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થામાંથી $n=3$ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે. પાશ્ચન શ્રેણીમાં ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 4, 5, 6, \dots$
ન્યૂનતમ ઉર્જા $n=4$ થી $n=3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$E_{\min} = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{16-9}{144} \right) = 13.6 \left( \frac{7}{144} \right) \approx 0.66 \text{ eV}$.
મહત્તમ ઉર્જા $n=\infty$ થી $n=3$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$E_{\max} = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = \frac{13.6}{9} \approx 1.51 \text{ eV}$.
ફોટોન દ્વારા ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે,તેની ઉર્જા ધાતુના કાર્ય વિધેય $\phi_0$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ. આમ,$\phi_0 \leq E_{\text{photon}}$. પાશ્ચન ફોટોનની મહત્તમ ઉર્જા $1.51 \text{ eV}$ હોવાથી,કાર્ય વિધેય $\phi_0 \leq 1.51 \text{ eV}$ હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$1.1 \text{ eV}$ એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે આ શરતને સંતોષે છે.

(B) વર્ક ફંક્શન $\Phi$ નું સૂત્ર $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\lambda_0$ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ \text{Js}$, $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$, અને $\lambda_0 = 6250 \ \text{Å} = 6250 \times 10^{-10} \ \text{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Phi = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6250 \times 10^{-10}} \ \text{J}$.
$\Phi = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6250 \times 10^{-10}} = \frac{19.8}{6250} \times 10^{-16} \ \text{J} = 3.168 \times 10^{-20} \ \text{J}$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ (eV) માં ફેરવવા માટે, ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ વડે ભાગતા:
$\Phi = \frac{3.168 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ \text{eV} = 1.98 \ \text{eV}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 8 \times 10^{-19} \ J$ છે.
તેને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં ફેરવતા,$E = \frac{8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 5 \ eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = 10 \ Å = 10^{-9} \ m$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_{max} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-9})^2} \approx 2.41 \times 10^{-19} \ J$.
તેને $eV$ માં ફેરવતા: $K_{max} = \frac{2.41 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 1.5 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - K_{max} = 5 \ eV - 1.5 \ eV = 3.5 \ eV$.

(A) આપેલ છે: વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 4.2 \text{ eV}$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 2000 \text{ Å}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in Å})} \text{ eV} = \frac{12400}{2000} = 6.2 \text{ eV}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - \phi_0$.
$K_{\max} = 6.2 \text{ eV} - 4.2 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$.
ગતિ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{\max} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$.
$v_{\max}^2 = \frac{2 \times K_{\max}}{m} = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.703 \times 10^{12} \text{ m}^2/\text{s}^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.703 \times 10^{12}} \approx 8.38 \times 10^5 \text{ m/s} \approx 8.4 \times 10^5 \text{ m/s}$.

(A) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 9 \ eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર શરૂ કરવા માટે સક્ષમ સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
વર્ક ફંક્શન અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અચળાંક $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{9 \ eV} \approx 137.77 \ nm$.
નેનોમીટરને મીટરમાં ફેરવતા:
$\lambda_0 \approx 137.77 \times 10^{-9} \ m = 1.3777 \times 10^{-7} \ m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $1.37 \times 10^{-7} \ m$ મળે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)}$
પ્રથમ કિરણ માટે $\lambda_1 = \frac{\lambda_0}{3}$:
$v_1 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{2}{\lambda_0}}$
બીજા કિરણ માટે $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{9}$:
$v_2 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{9}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{8}{\lambda_0}}$
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2/\lambda_0}{8/\lambda_0}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 300 \ nm$,$\lambda_2 = 500 \ nm$,અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = 3$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi_0 + K_{max}$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$.
બંને કિસ્સાઓ માટે ગુણોત્તર લેતા:
$\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \frac{E_1 - \phi_0}{E_2 - \phi_0} = \frac{\frac{1240}{\lambda_1} - \phi_0}{\frac{1240}{\lambda_2} - \phi_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $3^2 = \frac{\frac{1240}{300} - \phi_0}{\frac{1240}{500} - \phi_0}$.
$9 = \frac{4.133 - \phi_0}{2.48 - \phi_0}$.
$9(2.48 - \phi_0) = 4.133 - \phi_0$.
$22.32 - 9\phi_0 = 4.133 - \phi_0$.
$8\phi_0 = 18.187$.
$\phi_0 \approx 2.273 \ eV \approx 2.28 \ eV$.

(B) આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન,$\phi_0 = 2 \text{ eV}$
મહત્તમ ગતિઊર્જા,$K_{\max} = 2 \text{ eV}$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi_0 + K_{\max}$
$E = 2 \text{ eV} + 2 \text{ eV} = 4 \text{ eV}$
ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધ $\lambda = \frac{12400 \text{ eV Å}}{E \text{ (in eV)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{12400}{4} \text{ Å} = 3100 \text{ Å}$
આમ,આપાત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $3100 \text{ Å}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h \nu = \phi + K.E._{max}$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m v^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{h}{m \lambda}$.
$v$ ની કિંમત ગતિ ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{m \lambda} \right)^2$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{m^2 \lambda^2} \right)$
$h \nu = \phi + \frac{h^2}{2 m \lambda^2}$
બંને બાજુ $h$ વડે ભાગતા:
$\nu = \frac{\phi}{h} + \frac{h}{2 m \lambda^2}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\nu$ આવૃત્તિ માટે,મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $E$ છે,તેથી:
$E = h\nu - \phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિ વધારીને $3\nu$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $K'_{max}$ નીચે મુજબ થશે:
$K'_{max} = h(3\nu) - \phi = 3h\nu - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે $h\nu$ ને $h\nu = E + \phi$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$K'_{max} = 3(E + \phi) - \phi$
$K'_{max} = 3E + 3\phi - \phi$
$K'_{max} = 3E + 2\phi$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
$K_{max} = \frac{P^2}{2m}$ હોવાથી,$\frac{P^2}{2m} = h\nu - h\nu_0$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\nu = 2v$ અને $\nu_0 = v$:
$\frac{P^2}{2m} = h(2v) - hv = hv$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,ધારો કે નવી આવૃત્તિ $\nu'$ છે અને નવું વેગમાન $2P$ છે:
$\frac{(2P)^2}{2m} = h\nu' - hv$
$\frac{4P^2}{2m} = h\nu' - hv$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{P^2}{2m}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$4(hv) = h\nu' - hv$
$4hv + hv = h\nu'$
$h\nu' = 5hv$
$\nu' = 5v$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$,
જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈમાં $50 \%$ નો ઘટાડો થાય,ત્યારે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \lambda - 0.5\lambda = 0.5\lambda = \frac{\lambda}{2}$ થાય.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $E' = 3E$ છે.
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $3E = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_s = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$V_s$ ને $\nu$ ના વિધેય તરીકે ગોઠવતા: $V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_s$ અને $x = \nu$,$X$-અક્ષ સાથેનો આલેખનો ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ મળે છે.
જો કે,પ્રશ્નમાં ઉલ્લેખ છે કે ખૂણો $\theta$ એ $Y$-અક્ષ સાથે બને છે. રેખા $y = mx + c$ માટે,ઢાળ $m = \tan(\alpha)$ છે જ્યાં $\alpha$ એ $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે. $Y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $X$-અક્ષ સાથેના ખૂણા $\alpha$ સાથે $\theta = 90^\circ - \alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\tan \theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{h/e} = \frac{e}{h}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hf - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $f_1 = 3f$,$\phi = 2hf$,અને $v_1 = v$.
$\frac{1}{2}mv^2 = 3hf - 2hf = hf$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $f_2 = 4.25f$,$\phi = 2hf$,અને $v_2 = ?$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 4.25hf - 2hf = 2.25hf$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{2.25hf}{hf}$
$\frac{v_2^2}{v^2} = 2.25$
$v_2^2 = 2.25v^2$
$v_2 = \sqrt{2.25}v = 1.5v$.

(C) બામર શ્રેણીની $H_{\alpha}$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu_0 = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5Rc}{36}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે.
બામર શ્રેણીની $H_{\beta}$ રેખાની આવૃત્તિ $\nu = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3Rc}{16}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = h(\frac{3Rc}{16}) - h(\frac{5Rc}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{3}{16} - \frac{5}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{27 - 20}{144}) = \frac{7 Rhc}{144}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે અને આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આપેલી આવૃત્તિ માટે,ફોટોકરંટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે અને તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
જો આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ (કટ-ઓફ) આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય,તો તીવ્રતા ગમે તેટલી વધારવામાં આવે તો પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન શક્ય નથી.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ: $E = E_0 \sin [k(x - ct)]$,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 1.57 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી: $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{1.57 \times 10^7} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_p = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.64 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} = 4.98 \times 10^{-19} \text{ J}$.
વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $\phi_0 = 1.9 \text{ eV} = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.04 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E_p = \phi_0 + eV_0$.
$eV_0 = 4.98 \times 10^{-19} - 3.04 \times 10^{-19} = 1.94 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{1.94 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ V} = 1.2125 \text{ V}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $1.1 \text{ V}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$.
$\lambda_1 = 200 \,nm$ માટે,ધારો કે વેગ $v$ છે. તેથી $\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}mv^2$ $(i)$.
$\lambda_2 = 600 \,nm$ માટે,વેગ $\frac{v}{3}$ છે. તેથી $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{2}m(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}mv^2)$ (ii).
$(i)$ પરથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$.
આ કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{hc}{600 \times 10^{-9}} - \phi = \frac{1}{9}(\frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi)$.
$9$ વડે ગુણતા: $\frac{9hc}{600 \times 10^{-9}} - 9\phi = \frac{hc}{200 \times 10^{-9}} - \phi$.
$8\phi = hc(\frac{9}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{200 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{9-3}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{6}{600 \times 10^{-9}}) = hc(\frac{1}{100 \times 10^{-9}}) = hc \times 10^7$.
તેથી,$\phi = \frac{hc}{8} \times 10^7 \,J$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 2.5 eV$,આવૃત્તિ $f = 3.2 \times 10^{15} Hz$,પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.6 \times 10^{-34} J-s$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$.
$E = (6.6 \times 10^{-34} J-s) \times (3.2 \times 10^{15} Hz) = 21.12 \times 10^{-19} J$.
ઊર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{21.12 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 13.2 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 13.2 eV - 2.5 eV = 10.7 eV$.

(B) તીવ્રતા $I = 100 \ W \ m^{-2}$ આપેલ છે. એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા $(N)$ $N = \frac{I}{E} = \frac{I \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{100 \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 1.51 \times 10^{20} \ m^{-2} \ s^{-1}$.
આપાત ફોટોનમાંથી $2 \%$ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n' = 0.02 \times N = 0.02 \times 1.51 \times 10^{20} = 3.02 \times 10^{18} \ m^{-2} \ s^{-1}$ થાય.
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ ક્ષેત્રફળ માટે,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = n' \times A = 3.02 \times 10^{18} \times 2 \times 10^{-4} = 6.04 \times 10^{14}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$h\nu = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$
જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,$\nu_0$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,$m$ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને $v_{\text{max}}$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ છે.
$v_{\text{max}}$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = h(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}}^2 = \frac{2h}{m}(\nu - \nu_0)$
$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2h}{m}} \sqrt{\nu - \nu_0}$
$\nu < \nu_0$ માટે,$v_{\text{max}} = 0$ છે. $\nu \ge \nu_0$ માટે,$v_{\text{max}}$ એ $\nu$ સાથે વધે છે. આ સંબંધ $v_{\text{max}} \propto \sqrt{\nu - \nu_0}$ છે. આ આવૃત્તિ અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થતો પરવલયાકાર વળાંક દર્શાવે છે,જ્યાં જેમ $\nu$ વધે છે તેમ ઢાળ ઘટે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચું નિરૂપણ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ: $K E_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W$,જ્યાં $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 1240 \mathring{A}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 8 \text{ V}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{1240 \mathring{A}} = 10 \text{ eV}$ છે.
$K E_{\max} = eV_0 = 8 \text{ eV}$ હોવાથી,$8 \text{ eV} = 10 \text{ eV} - W$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $W = 10 \text{ eV} - 8 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ માટે,$W = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$\lambda_0 = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{W} = \frac{12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}}{2 \text{ eV}} = 6200 \mathring{A}$.

(B) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના અભ્યાસમાં,પ્રકાશ ઉર્જાને નાના પેકેટોના સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે. આ ઉર્જાના દરેક પેકેટને ફોટોન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ ફોટોનની આવૃત્તિ છે.
આમ,ઉર્જા ચોક્કસ મૂલ્યો ($h\nu$ ના ગુણાંક) સુધી મર્યાદિત હોવાથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરનો અભ્યાસ ઉર્જાના ક્વોન્ટાઇઝેશનને સમજવામાં મદદરૂપ થાય છે.

(C) આપેલ છે, પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, $\lambda = 4900 Å$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ, $V_s = 2 \,V$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E \approx \frac{12400}{\lambda (Å)} eV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{12400}{4900} eV \approx 2.53 eV$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = e V_s = 2 eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = E - \phi$, જ્યાં $\phi$ એ વર્ક-ફંક્શન છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 eV = 2.53 eV - \phi$.
તેથી, $\phi = 2.53 eV - 2 eV = 0.53 eV$.

(A) આપાત અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિકિરણની ઊર્જા,$E = 6.2 eV$.
એલ્યુમિનિયમ સપાટીનું વર્ક-ફંક્શન,$\phi = 4.2 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{\max})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = E - \phi$
$K_{\max} = 6.2 eV - 4.2 eV = 2.0 eV$.
આ ઊર્જાને જૂલ (Joule) માં ફેરવવા માટે,આપણે $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$K_{\max} = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 3.2 \times 10^{-19} J$.

(C) આપેલ છે: કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 1.24 eV$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 4.36 \times 10^{-7} m$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $hc \approx 1240 eV \cdot nm = 1240 \times 10^{-9} eV \cdot m$.
$E = \frac{1240 \times 10^{-9} eV \cdot m}{4.36 \times 10^{-7} m} \approx 2.844 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$.
$K_{max} = 2.844 eV - 1.24 eV = 1.604 eV$.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,તેથી રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 1.604 V \approx 1.60 V$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $K_{max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે।
પ્રકાશની તીવ્રતા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાને અસર કરે છે, જે બદલામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે, પરંતુ તે વ્યક્તિગત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાને અસર કરતું નથી।
તેથી, જ્યારે તીવ્રતા ઘટાડીને એક-ચતુર્થાંશ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અપરિવર્તિત રહે છે।