Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2 = E_p - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_p$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $\phi = 0.8 eV$.
$E_1 = 1.3 eV$ ઊર્જા ધરાવતા પ્રથમ ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 1.3 eV - 0.8 eV = 0.5 eV$ --- $(1)$
$E_2 = 2.8 eV$ ઊર્જા ધરાવતા બીજા ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.8 eV - 0.8 eV = 2.0 eV$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{0.5 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) ખ્યાલ: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ દ્વારા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ સાથે સંબંધિત છે:
$eV = K_{\max} = hv - hv_0$
તેથી,
$V = \left(\frac{h}{e}\right)v - \left(\frac{h}{e}\right)v_0$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ ધન છે,અને $V$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $-\left(\frac{h}{e}\right)v_0$ છે.
જ્યારે $v = v_0$ હોય,ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V = 0$ થાય છે.
આમ,આલેખ એ $v = v_0$ બિંદુથી શરૂ થતી અને આવૃત્તિ સાથે રેખીય રીતે વધતી સીધી રેખા છે.
આલેખ $(A)$ આ સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ છે:
$K.E._{max} = E - \phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે કટ-ઓફ આવૃત્તિ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) $v$ છે,તેથી વર્ક ફંક્શન $\phi = hv$ થાય.
$2v$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(2v) = 2hv$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2hv - hv$
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = hv$
$v_{max}^2 = \frac{2hv}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2hv}{m}}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ આ મુજબ છે: $e V = \frac{h c}{\lambda} - \phi$,જેને $\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V$ તરીકે લખી શકાય.
$\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_1$ છે:
$\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V_1$ --- $(1)$
$\frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_2$ છે:
$\frac{h c}{\lambda / 2} = \phi + e V_2 \Rightarrow \frac{2 h c}{\lambda} = \phi + e V_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{h c}{\lambda}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\phi + e V_1) = \phi + e V_2$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + e V_2$
$e V_2 = 2 e V_1 + \phi$
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_2 = 2 V_1 + \frac{\phi}{e}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોન્સની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h v - h v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = e V_s$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણને મળે છે $e V_s = h v - h v_0$ ... $(1)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$v/2$ આવૃત્તિ અને $V_s/4$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ સાથે,આપણને મળે છે $e(V_s/4) = h(v/2) - h v_0$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$e V_s = h v - h v_0$. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણીને મૂકતા:
$e V_s = 4(h v/2 - h v_0) = 2h v - 4h v_0$.
$e V_s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$h v - h v_0 = 2h v - 4h v_0$.
પદોને ગોઠવતા: $3h v_0 = h v$.
તેથી,$v_0 = v/3$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} J s$, $c = 3 \times 10^8 m/s$, અને $\lambda = 4100 \times 10^{-10} m$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10}} J = 4.85 \times 10^{-19} J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે $e = 1.6 \times 10^{-19} C$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{4.85 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 3.03 eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 1.92 eV < 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.0 eV < 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $\Phi_C = 5 eV > 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી, ધાતુ $A$ અને $B$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
જ્યાં $V$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$\lambda$ એ આપાત તરંગલંબાઈ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આપાત તરંગલંબાઈ બદલીને $2\lambda$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V'$ ધારો. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$eV' = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$eV - eV' = \left( \frac{hc}{\lambda} - \Phi \right) - \left( \frac{hc}{2\lambda} - \Phi \right)$
$e(V - V') = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$V - V' = \frac{hc}{2e\lambda}$
$V' = V - \frac{hc}{2e\lambda}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi$
જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu$ છે, તેથી વર્ક ફંક્શન $\phi = h\nu$ થશે.
જ્યારે $2\nu$ આવૃત્તિનું વિકિરણ ધાતુ પર આપાત થાય છે, ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જા:
$K_{max} = h(2\nu) - h\nu = h\nu$
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે।

(B) સૌથી ઝડપી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ આ સૌથી ઝડપી ઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ છે,જેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું થાય:
$e V = K_{max}$
$e V = \frac{1}{2} m v^2$
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{m v^2}{2 e}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આપેલ ધાતુ માટે $h$ અને $\Phi$ અચળ હોવાથી, ગતિઊર્જા $K_{max}$ સીધી રીતે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે, પરંતુ તેમની વ્યક્તિગત ગતિઊર્જાને નહીં.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi = 4.2 \text{ eV} - 2.4 \text{ eV} = 1.8 \text{ eV}$.
જ્યારે ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V$ એવા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે કે જેથી ઈલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા તેની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા જેટલી થાય,ત્યારે ઉત્સર્જન બંધ થઈ જાય છે:
$eV = (KE)_{\max} \implies V = 1.8 \text{ V}$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધાતુના ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1.8 = (9 \times 10^9) \times \frac{q}{0.1}$.
વીજભાર $q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{1.8 \times 0.1}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-11} \text{ C}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e} = \frac{2 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^8$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{max} = h v - h v_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ અને $v_2$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(K.E.)_1 = h v_1 - h v_0$ ....$(1)$
$(K.E.)_2 = h v_2 - h v_0$ ....$(2)$
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{1}{K}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{K} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$v_2 - v_0 = K(v_1 - v_0)$
$v_2 - v_0 = K v_1 - K v_0$
$K v_0 - v_0 = K v_1 - v_2$
$v_0(K - 1) = K v_1 - v_2$
$v_0 = \frac{K v_1 - v_2}{K - 1}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{max}$ નીચે મુજબ છે:
$(K.E.)_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$(K.E.)_1 = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ લેતા:
$(K.E.)_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{hc}{\lambda'} - W_0 = \frac{hc}{(2\lambda/3)} - W_0 = \frac{3}{2}\frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + W_0$. આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + W_0) - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{3}{2}W_0 - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{1}{2}W_0$
કારણ કે $W_0 > 0$,તેથી $(K.E.)_2 > \frac{3}{2}(K.E.)_1$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 > \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2)$
$v_2^2 > 1.5 V^2$
$v_2 > \sqrt{1.5} V = (1.5)^{1/2} V$.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 10 eV$ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = 2 \times 10^{15} Hz$ છે.
વર્ક ફંક્શન $W_0$ નું સૂત્ર $W_0 = h\nu_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W_0 = (6.63 \times 10^{-34} Js) \times (2 \times 10^{15} Hz) = 13.26 \times 10^{-19} J$.
આને $eV$ માં ફેરવવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} C)$ વડે ભાગતા:
$W_0 = \frac{13.26 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 8.2875 eV \approx 8.3 eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - W_0$ છે.
$K_{max} = 10 eV - 8.3 eV = 1.7 eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = E - \phi$
જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc - \phi \lambda}{\lambda}$
બંને બાજુ $\frac{2}{m}$ વડે ગુણતા:
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0$ છે.
આપેલ છે કે $K_2 = 3K_1$,તેથી:
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = 3\left(\frac{hc}{\lambda_1} - W_0\right)$.
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - 3W_0$.
$W_0$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$3W_0 - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2}$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.
તેથી,$W_0 = \frac{hc}{2}\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $\phi_0 = h\nu_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = (KE)_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -h\nu_0$ ($Y$-અંતઃખંડ).
$1$. $X$-અંતઃખંડ $(A)$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $(KE)_{\max} = 0$:
$0 = h\nu - h\nu_0 \implies \nu = \nu_0 = A$.
$2$. $Y$-અંતઃખંડ $(B)$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\nu = 0$:
$(KE)_{\max} = -h\nu_0 = B$. $B$ એ અંતઃખંડનું મૂલ્ય દર્શાવતું હોવાથી,આપણે $|B| = h\nu_0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$Y$-અંતઃખંડના મૂલ્ય અને $X$-અંતઃખંડનો ગુણોત્તર:
$\frac{|B|}{A} = \frac{h\nu_0}{\nu_0} = h$.
આમ,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ એ $\frac{B}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા).

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ એ $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે. આ દર્શાવે છે કે $E$ માત્ર આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,ખાસ કરીને $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે દરેક ફોટોન એક ઈલેક્ટ્રોન સાથે આંતરક્રિયા કરીને ઉત્સર્જન પ્રેરે છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $N$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(N \propto I)$.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ પર,રિટાર્ડિંગ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
તેથી,$eV_s = \frac{1}{2}mv^2$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માટે ઉકેલતા:
$V_s = \frac{mv^2}{2e}$.
આને $V_s = \frac{v^2}{2(e/m)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
શરૂઆતમાં, $K_{max1} = h\nu - \phi$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 2\nu$ થાય છે.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max2} = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$ છે.
કારણ કે $K_{max2} = 2(h\nu - \phi/2)$, અને $\phi > 0$ હોવાથી, તે સાબિત થાય છે કે $K_{max2} > 2(h\nu - \phi) = 2K_{max1}$.
તેથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બમણા કરતા થોડી વધારે વધે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં:
$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
$\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અચળ આપાત આવૃત્તિ $\nu$ માટે,$(K.E.)_{\max}$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જો વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ વધે,તો મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ ઘટે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા '$K$' નીચે મુજબ છે: $K = E - W_{0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{P^{2}}{2m}$,તેથી ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન '$P$' એ $P = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m(E - W_{0})}$ થશે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે '$r = \frac{P}{eB}$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
'$P$' ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $r = \frac{\sqrt{2m(E - W_{0})}}{eB}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_k = h\nu - \Phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = E_k$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\Phi$ (y-અંતઃખંડ) છે.
યામ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ ઋણ $(-\Phi)$ હોવાથી,આલેખ એક સીધી રેખા છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. તે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થાય છે (જ્યાં $E_k = 0$,તેથી $h\nu_0 = \Phi$) અને તેનો ઢાળ $h$ ધન છે. આપેલી આકૃતિમાં ધન x-અંતઃખંડ સાથેની સીધી રેખા દર્શાવેલ છે,જે આ સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના કાર્ય વિધેય પર આધાર રાખે છે. તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતા $(I)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તીવ્રતા $(I)$ સાથે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E)$ ના ફેરફારને દર્શાવતો આલેખ તીવ્રતાની અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા હોવી જોઈએ. જો આલેખ $(D)$ આ અચળ વર્તણૂક દર્શાવે છે,તો સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_{s}$,જ્યાં $V_{s}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી $eV_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV_{0} = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે $2\lambda_{0}$ તરંગલંબાઈ સાથે: $eV_{s}' = \frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$eV_{0} - eV_{s}' = \left(\frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi\right) - \left(\frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi\right)$
$e(V_{0} - V_{s}') = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \frac{hc}{2\lambda_{0}} = \frac{hc}{2\lambda_{0}}$
$V_{0} - V_{s}' = \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
$V_{s}' = V_{0} - \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
નોંધ: જો $\frac{hc}{2\lambda_{0}} < \phi$ હોય,તો સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0$ થશે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.

(D) પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે. પ્રારંભિક આપાત આવૃત્તિ $\nu_1 = 2\nu_0$ છે. કારણ કે $\nu_1 > \nu_0$,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ બદલીને $\nu_2 = \frac{1}{3} \nu_1 = \frac{1}{3} (2\nu_0) = \frac{2}{3} \nu_0$ કરવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(\nu \ge \nu_0)$.
અહીં $\nu_2 = \frac{2}{3} \nu_0 < \nu_0$ હોવાથી,આપાત આવૃત્તિ હવે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે.
તેથી,તીવ્રતામાં વધારો કરવા છતાં કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ માટે,$E_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$ --- $(i)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_{2}$ માટે,$E_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$hc = \lambda_{1}(E_{1} + \phi)$.
સમીકરણ (ii) પરથી,$hc = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$.
$hc$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\lambda_{1}(E_{1} + \phi) = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$
$\lambda_{1}E_{1} + \lambda_{1}\phi = \lambda_{2}E_{2} + \lambda_{2}\phi$
$\phi(\lambda_{1} - \lambda_{2}) = \lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}$
$\phi = \frac{\lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}}{\lambda_{1} - \lambda_{2}}$
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,$\phi = \frac{\lambda_{1}E_{1} - \lambda_{2}E_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}$ મળે છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ પર,રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે,તેથી $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$.
$V_{s}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ મળે છે.
ચૂકી $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 3W$. તેથી,$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3W - W = 2W$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 5W$. તેથી,$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = 5W - W = 4W$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2W}{4W} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K.E._{max} = h\nu - \phi_0$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = K.E._{max}$ અને $x = \nu$ છે:
$1$. આલેખનો ઢાળ $(m)$ એ પ્લાન્કના અચળાંક $(h)$ જેટલો છે.
$2$. $X$-અક્ષ પરનો અંતઃછેદ ત્યારે મળે છે જ્યારે $K.E._{max} = 0$ હોય,જે $0 = h\nu_0 - \phi_0$ આપે છે,અથવા $\nu_0 = \phi_0 / h$. આ અંતઃછેદ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ દર્શાવે છે.
તેથી,ઢાળ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $X$-અક્ષ પરનો અંતઃછેદ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$, તેથી:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v = \left[\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}\right]^{1/2}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે।

(D) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0}$ સાથે $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{A} = 400 \ nm$ અને $\lambda_{B} = 800 \ nm$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{A} = \frac{hc}{\lambda_{A}}$ અને $\phi_{B} = \frac{hc}{\lambda_{B}}$ થશે.
ગુણોત્તર $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{hc/\lambda_{A}}{hc/\lambda_{B}} = \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{800 \ nm}{400 \ nm} = 2$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\phi_{A} : \phi_{B}$ એ $2$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_s = h\nu - \phi_o = h\nu - h\nu_o$
$V_s = \frac{h}{e}(\nu - \nu_o)$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\nu_o$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપાત આવૃત્તિ $\nu$ નિશ્ચિત હોય ત્યારે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_o$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિઓનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\nu_o(A) < \nu_o(B) < \nu_o(C) < \nu_o(D)$.
ધાતુ $A$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સૌથી ઓછી હોવાથી,કોઈપણ આપેલ આપાત આવૃત્તિ $\nu$ (જ્યાં $\nu > \nu_o(D)$) માટે તેનું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_{s} = h\nu - \phi$
$V_{s} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,x-અંતઃખંડ (જ્યાં $V_{s} = 0$) એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ છે,જ્યાં $\nu_{0} = \frac{\phi}{h}$ અથવા $\phi = h\nu_{0}$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી,ધાતુ '$P$' માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ છે અને ધાતુ '$Q$' માટે $\nu_{0}^{\prime}$ છે.
અહીં $\nu_{0} < \nu_{0}^{\prime}$ હોવાથી,$h\nu_{0} < h\nu_{0}^{\prime}$ થાય.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{P} < \phi_{Q}$ મળે.

(D) $1$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ વચ્ચેનો સંબંધ: $(K.E.)_{\max} = e V_s$.
આપેલ છે $(K.E.)_{\max} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2 \text{ V}$.
$2$. થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ અને વર્ક ફંક્શન $\Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$.
આપેલ છે $\Phi = 6.63 \times 10^{-19} \text{ J}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,અને $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 3000 \times 10^{-10} \text{ m} = 3000 \text{ Å}$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $2 \text{ V}$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $3000 \text{ Å}$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્યવિધેય છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના સ્વભાવ (કાર્યવિધેય) પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E)$ અને તીવ્રતા $(I)$ વચ્ચેનો આલેખ તીવ્રતાની અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા હોવી જોઈએ.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $P$ એ તીવ્રતા $I$ ને ધ્યાનમાં લીધા વિના $E$ નું અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,રેખા $P$ એ સાચું નિરૂપણ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3315 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = \phi_{0} + K_{\text{max}}$, જ્યાં $\phi_{0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\text{max}}$ એ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા છે.
$\phi_{0} = E - K_{\text{max}} = 6 \times 10^{-19} - 3 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0}$ એ $\lambda_{0} = \frac{hc}{\phi_{0}}$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{-19}} = 6.63 \times 10^{-7} \ \text{m} = 6630 \ \text{Å}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi_{0}$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ઉર્જા છે અને $\phi_{0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ વિકિરણ માટે,$E_{1} = 2\phi_{0}$,તેથી $K_{1} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = 2\phi_{0} - \phi_{0} = \phi_{0}$.
બીજા વિકિરણ માટે,$E_{2} = 10\phi_{0}$,તેથી $K_{2} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = 10\phi_{0} - \phi_{0} = 9\phi_{0}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \frac{\phi_{0}}{9\phi_{0}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) કોઈપણ પ્રકાશસંવેદનશીલ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી.
બંને કિસ્સામાં સમાન પ્રકાશસંવેદનશીલ સપાટીનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,વર્ક ફંક્શન સમાન રહેશે.
તેથી,વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\phi_{1} : \phi_{2} = 1 : 1$ થાય.
જો કે,જો પ્રશ્ન આપાત ફોટોનના ઉર્જાના ગુણોત્તર વિશે પૂછતો હોય,તો તે $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{hc/\lambda_{1}}{hc/\lambda_{2}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{600}{360} = \frac{5}{3}$ થશે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનના પાઠ્યપુસ્તકોમાં આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,સમાન પદાર્થ માટે વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર હંમેશા $1:1$ હોય છે. વિકલ્પોમાં $1:1$ ન હોવાથી,આ પ્રશ્ન આપાત ફોટોનની ઉર્જાનો ગુણોત્તર પૂછે છે,જે $5:3$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(\frac{V}{3}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{eV}{eV/3} = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3(\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ એનોડ પર લાગુ પાડવામાં આવતું લઘુત્તમ ઋણ પોટેન્શિયલ છે જે સૌથી વધુ ગતિઊર્જા ધરાવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનને પણ કલેક્ટર સુધી પહોંચતા અટકાવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$, જ્યાં $K_{max} = eV_0$.
આમ, $eV_0 = h\nu - \Phi_0$, જે દર્શાવે છે કે $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ ($\nu$) નું સુરેખ વિધેય છે.
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં હોય છે (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે).

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $KE_{\text{max}} = h(v - v_0)$ ... $(i)$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{\text{max}})$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો તીવ્રતા ઘટાડીને તેના મૂળ મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ કરવામાં આવે,તો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = hv - W_0$ --- $(1)$
જ્યારે વિકિરણની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $2v$ થાય છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'$ છે:
$K' = h(2v) - W_0$
$K' = 2hv - W_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $hv = K + W_0$ છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$K' = 2(K + W_0) - W_0$
$K' = 2K + 2W_0 - W_0$
$K' = 2K + W_0$
વૈકલ્પિક રીતે,તફાવતની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$K' - K = (2hv - W_0) - (hv - W_0) = hv$
$K' = K + hv$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = hf - \phi$
જેમ કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_s$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$eV_s = hf - \phi$
$V_s = (h/e)f - (\phi/e)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,ઢાળ $(h/e)$ (ધન અચળાંક) છે અને $V_s$-અક્ષ પરનો આંતરછેદ $(-\phi/e)$ છે.
જ્યારે $V_s = 0$ હોય,ત્યારે $hf = \phi$ થાય,જે $f = \phi/h = f_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) આપે છે.
આમ,$V_s$ વિરુદ્ધ $f$ નો આલેખ એ આવૃત્તિ અક્ષ પર $f = f_0$ થી શરૂ થતી એક સીધી રેખા છે.
આલેખ $(1)$ આ રેખીય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $e V_0 = h f - \Phi$, જ્યાં $\Phi = h f_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{h f_0}{e}$.
અહીં $h$, $e$, અને $f_0$ અચળ હોવાથી, $V_0$ એ આપાત આવૃત્તિ $f$ નું સુરેખ વિધેય છે.
જેમ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $\frac{h}{e} f$ પદનું મૂલ્ય વધે છે.
તેથી, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ વધે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - W_0$,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
શરૂઆતમાં: $0.4 = h\nu - W_0 \implies h\nu = 0.4 + W_0$ ... $(i)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $30 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 1.3\nu$ થાય છે. નવી ગતિ ઊર્જા $0.9 \ eV$ છે.
તેથી,$0.9 = 1.3h\nu - W_0$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $0.9 = 1.3(0.4 + W_0) - W_0$
$0.9 = 0.52 + 1.3W_0 - W_0$
$0.9 - 0.52 = 0.3W_0$
$0.38 = 0.3W_0$
$W_0 = \frac{0.38}{0.3} = 1.267 \ eV$.

(C) $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા આ બે સ્થિતિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$h\nu = \phi_0 + eV_s$,જ્યાં $h\nu$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે,$\phi_0$ એ વર્ક-ફંક્શન છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આપેલ છે કે $\phi_0 = 4.2 \ eV$ અને $h\nu = 10.2 \ eV$,તેથી $10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$.
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 6 \ V$ મળે છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$.
અહીં,$V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ અચળ રાખવામાં આવે,તો ગતિઊર્જા $K_{max}$ અચળ રહે છે.
જો કે,જેમ આપાત તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેમ આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ વધે છે.
કારણ કે $E = \phi + K_{max}$,અને $K_{max}$ અચળ છે જ્યારે $E$ વધે છે,તેથી સમીકરણને સંતુલિત કરવા માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માં વધારો થવો જોઈએ.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{\max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{\max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે,જે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તેમની વ્યક્તિગત મહત્તમ ગતિઊર્જાને અસર કરતી નથી.
તેથી,જો પ્રકાશની તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.