Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(B) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 3.31 \times 10^{-19} \,J$ આપેલ છે।
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = W_0 + KE_{max}$ છે,જ્યાં $KE_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે।
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \,J$ થશે।
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.972 \times 10^{-19} \,J$.
હવે,$KE_{max} = E - W_0 = 3.972 \times 10^{-19} \,J - 3.31 \times 10^{-19} \,J = 0.662 \times 10^{-19} \,J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ વડે ભાગતા:
$KE_{max} = \frac{0.662 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,C} = 0.41375 \,eV \approx 0.41 \,eV$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $e V_0 = h \nu - h \nu_0$,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\nu_0 = \nu - \frac{e V_0}{h}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\nu = \frac{c}{\lambda}$,તેથી $\nu_0 = \frac{c}{\lambda} - \frac{e V_0}{h}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $c = 3 \times 10^8 \,m/s$,$\lambda = 2 \times 10^{-7} \,m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$,$V_0 = 2.5 \,V$,અને $h = 6.6 \times 10^{-34} \,J-s$.
$\nu_0 = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} - \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = 1.5 \times 10^{15} - 0.606 \times 10^{15} \approx 0.894 \times 10^{15} \,Hz$.
આમ,$\nu_0 \approx 9.0 \times 10^{14} \,Hz$ મળે છે.

(C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e V_0 = K_{\text{max}} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન $\phi = 5 \text{ eV} = 5 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 8 \times 10^{-19} \text{ J}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 2000 \text{ Å} = 2 \times 10^{-7} \text{ m}$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.67 \times 10^{-34} \text{ J-s}$.
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જાની ગણતરી:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.67 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2 \times 10^{-7}} = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
હવે,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$e V_0 = 10.005 \times 10^{-19} \text{ J} - 8 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.005 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$V_0 = \frac{2.005 \times 10^{-19} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \approx 1.25 \text{ V}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$h \nu = h \nu_0 + K_{max}$
અહીં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 3 \ V$ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = e V_0 = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \ J$ થશે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0 = 6 \times 10^{14} \ s^{-1}$ છે.
સંબંધ $h \nu = h \nu_0 + e V_0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\nu = \nu_0 + \frac{e V_0}{h}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + \frac{4.8 \times 10^{-19}}{6.4 \times 10^{-34}}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 0.75 \times 10^{15}$
$\nu = 6 \times 10^{14} + 7.5 \times 10^{14} = 13.5 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(D) ધારો કે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $W$ છે.
પ્રથમ ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = 2W$ છે.
બીજા ફોટોનની ઉર્જા $E_2 = 3W$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)_{\max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$.
બીજા ફોટોન માટે: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE)_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$(KE)_{\max} = h v - h v_0$,જ્યાં $v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આવૃત્તિ $v_1$ છે: $(KE_1)_{\max} = h(v_1 - v_0)$.
બીજા કિસ્સા માટે આવૃત્તિ $v_2$ છે: $(KE_2)_{\max} = h(v_2 - v_0)$.
આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:k$ છે,તેથી:
$\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{1}{k} = \frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$v_2 - v_0 = k(v_1 - v_0)$.
$v_2 - v_0 = k v_1 - k v_0$.
$v_0$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$k v_0 - v_0 = k v_1 - v_2$.
$v_0(k - 1) = k v_1 - v_2$.
$v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.

(C) આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન તેમના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત અને સામાન્ય સાપેક્ષતાના કાર્ય માટે ખૂબ જાણીતા છે. જોકે,તેમને $1921$ માં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર ખાસ કરીને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના નિયમની શોધ માટે આપવામાં આવ્યો હતો.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે: આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = 10.5 \ eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો મહત્તમ વેગ $v = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.
ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે.
$K.E._{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2 = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં ફેરવતા: $K.E._{\max} = \frac{11.52 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 7.2 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K.E._{\max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - K.E._{\max} = 10.5 \ eV - 7.2 \ eV = 3.3 \ eV$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા:
$E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = -3.4 + 13.6 = 10.2 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K_{max} = eV_s$ એ મહત્તમ ગતિ ઉર્જા છે.
$10.2 \ eV = 4.2 \ eV + eV_s$.
$eV_s = 10.2 \ eV - 4.2 \ eV = 6.0 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 6 \ V$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,જેનું સૂત્ર છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 = \frac{2mK}{q^2 B^2}$
$B^2$ માટે ગોઠવતા:
$B^2 = \frac{2mK}{q^2 R^2}$
$K$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$B^2 = \frac{2m}{q^2 R^2} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
$B^2 = \left( \frac{2mhc}{q^2 R^2} \right) \frac{1}{\lambda} - \left( \frac{2m\phi}{q^2 R^2} \right)$
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં $y = B^2$,$x = \frac{1}{\lambda}$,ઢાળ $m = \frac{2mhc}{q^2 R^2}$ (ધન),અને અંતઃખંડ $c = -\frac{2m\phi}{q^2 R^2}$ (ઋણ) છે.
આમ,આલેખ ધન ઢાળ અને ઋણ y-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{12400}{4770} \ \text{eV} \approx 2.6 \ \text{eV}$ મળે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \ge \phi)$.
$E = 2.6 \ \text{eV}$ ની સરખામણી વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
ધાતુ $A$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 4.2 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $B$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 3.7 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $C$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 3.2 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $D$ માટે: $2.6 \ \text{eV} > 2.3 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે)
તેથી,માત્ર ધાતુ $D$ માંથી જ ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થશે.

(A, B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = a \cos \omega_{0} t + \frac{a}{2} [\sin(\omega + \omega_{0})t + \sin(\omega - \omega_{0})t]$ છે.
આ ત્રણ આવૃત્તિઓની હાજરી સૂચવે છે: $f_{0} = \frac{\omega_{0}}{2\pi}$,$f_{1} = \frac{\omega + \omega_{0}}{2\pi}$,અને $f_{2} = \frac{|\omega - \omega_{0}|}{2\pi}$.
મહત્તમ ઊર્જા સૌથી વધુ આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{6 \times 10^{15}}{2\pi} \text{ Hz}$ ને અનુરૂપ છે.
આ ફોટોનની ઊર્જા $E_{max} = h f_{1} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{15}}{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 3.95 \text{ eV}$ છે.
આપેલ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s} = 2 \text{ V}$ છે,તેથી $KE_{max} = 2 \text{ eV}$.
$KE_{max} = E_{max} - \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \text{ eV} = 3.95 \text{ eV} - \phi$,તેથી $\phi = 1.95 \text{ eV}$.
આવૃત્તિ $\omega = 10^{15} \text{ s}^{-1}$ માટે,ઊર્જા $E = h(\frac{\omega}{2\pi}) \approx 0.66 \text{ eV}$ છે.
કારણ કે $E < \phi$,તેથી $\omega$ આવૃત્તિ માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.
આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_{s} = hf - \phi$ એ $V_{s}$ અને $f$ વચ્ચેનો સીધી રેખાનો આલેખ દર્શાવે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $T$ એ $T = hv - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $v$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
વધુમાં,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $J$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો આવૃત્તિ $v$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_{0}$ કરતા વધારે હોય.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરનું એક પ્રમાણભૂત અવલોકન છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$h v = W + e V$,જ્યાં $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $V$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
આવૃત્તિ $v_{1}$ માટે: $h v_{1} = W + e V_{1}$ --- $(i)$
આવૃત્તિ $v_{2}$ માટે: $h v_{2} = W + e V_{2}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $h = \frac{W + e V_{1}}{v_{1}}$ મેળવીને તેને સમીકરણ (ii) માં મુકતા:
$(\frac{W + e V_{1}}{v_{1}}) v_{2} = W + e V_{2}$
$W v_{2} + e V_{1} v_{2} = W v_{1} + e V_{2} v_{1}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = W v_{1} - W v_{2}$
$e(V_{1} v_{2} - V_{2} v_{1}) = -W(v_{2} - v_{1})$
$e = \frac{W(v_{2} - v_{1})}{V_{2} v_{1} - V_{1} v_{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સીઝિયમનું કાર્ય વિધેય $\phi = 2.27 eV$ છે.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 600 nm = 600 \times 10^{-9} m$ છે.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા ($h = 6.63 \times 10^{-34} Js$,$c = 3 \times 10^8 m/s$):
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} J = 3.315 \times 10^{-19} J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવતા:
$E = \frac{3.315 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 2.07 eV$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(2.07 eV)$ એ સીઝિયમના કાર્ય વિધેય $(2.27 eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી,ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થશે નહીં.
તેથી,કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં અને કોઈ કટ-ઓફ વોલ્ટેજની જરૂર પડશે નહીં. આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ એ ધાતુના કાર્ય વિધેય $\phi$ કરતા વધારે અથવા સમાન હોય.
કાર્ય વિધેયની રેન્જ $2 eV \leq \phi \leq 5 eV$ આપેલ છે,તેથી થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda \leq \frac{hc}{\phi}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
$\phi = 2 eV$ માટે,$\lambda_{\max} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{2 eV} = 6 \times 10^{-7} m = 600 nm$.
$\phi = 5 eV$ માટે,$\lambda_{\min} = \frac{4 \times 10^{-15} eVs \times 3 \times 10^{8} m/s}{5 eV} = 2.4 \times 10^{-7} m = 240 nm$.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરી શકે તેવી તરંગલંબાઈની રેન્જ $240 nm \leq \lambda \leq 600 nm$ છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$650 nm$ એ $600 nm$ કરતા વધારે છે,તેથી તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પેદા કરી શકતી નથી.

(A, B, D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રાયોગિક અવલોકનો અનુસાર:
$1$. યોગ્ય વિકિરણના શોષણ અને ઈલેક્ટ્રોનના ઉત્સર્જન વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર સમય વિલંબ હોતો નથી,ખૂબ ઓછી તીવ્રતા પર પણ.
$2$. આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $K_{max} = h\nu - \phi_0$ છે,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે. ઈલેક્ટ્રોન ત્યારે જ ઉત્સર્જિત થાય છે જો $\nu > \nu_0$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) હોય. આમ,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિથી નીચે કોઈ ઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થતા નથી.
$3$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ એ આવૃત્તિ $\nu$ નું રેખીય વિધેય છે,પરંતુ તે તેના સીધા પ્રમાણમાં નથી (વર્ક ફંક્શન પદ $\phi_0$ ને કારણે).
$4$. મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે; તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિધાનો $(a)$,$(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h v - \phi_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi_{0}$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = e V_{s}$,જ્યાં $V_{s}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી $e V_{s} = h v - \phi_{0}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e V_{1} = h v_{1} - \phi_{0}$ ---$(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e V_{2} = h v_{2} - \phi_{0}$ ---(ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$e V_{2} - e V_{1} = (h v_{2} - \phi_{0}) - (h v_{1} - \phi_{0})$
$e(V_{2} - V_{1}) = h(v_{2} - v_{1})$
$v_{2} - v_{1} = \frac{e}{h}(V_{2} - V_{1})$
$v_{2} = v_{1} + \frac{e}{h}(V_{2} - V_{1})$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$,જ્યાં $\nu_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$h\nu = h\nu_{0} + eV_{0}$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$h(\frac{\nu}{2}) = h\nu_{0} + e(\frac{V_{0}}{4})$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને મળે છે $eV_{0} = h\nu - h\nu_{0}$.
આ કિંમતને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$\frac{h\nu}{2} = h\nu_{0} + \frac{1}{4}(h\nu - h\nu_{0})$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2h\nu = 4h\nu_{0} + h\nu - h\nu_{0}$
$2h\nu = 3h\nu_{0} + h\nu$
$h\nu = 3h\nu_{0}$
$\nu_{0} = \frac{\nu}{3}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,જ્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય ત્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા એ વર્ક ફંક્શન જેટલી હોય છે.
$ E = h\nu = \phi $
જ્યાં $ \phi = 110 \times 10^{-20} \ J $ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $ h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s $ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આવૃત્તિ $ \nu $ એ $ \nu = \frac{\phi}{h} $ દ્વારા મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $ \omega $ એ $ \omega = 2\pi\nu $ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ \omega = 2\pi \left( \frac{\phi}{h} \right) = \frac{2 \times 3.14 \times 110 \times 10^{-20}}{6.63 \times 10^{-34}} $
$ \omega \approx 1.04 \times 10^{16} \ rad/s $.

(A) આપેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું સમીકરણ $E = 60 \sin(3 \times 10^{15} t) + \sin(12 \times 10^{15} t)$ છે.
આ બે પ્રકાશ તરંગો દર્શાવે છે જેની કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 3 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ છે.
ફોટોનની ઊર્જા $E_{ph} = \hbar \omega = \frac{h \omega}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉચ્ચ આવૃત્તિ ઘટક $\omega_2 = 12 \times 10^{15} \text{ rad/s}$ માટે:
$E_{ph} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 12 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \text{ J}$.
$E_{ph} \approx 1.265 \times 10^{-18} \text{ J}$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(\text{eV})$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $E_{ph} = \frac{1.265 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 7.9 \text{ eV}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = E_{ph} - \phi_0$.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.8 \text{ eV}$.
$K_{max} = 7.9 \text{ eV} - 2.8 \text{ eV} = 5.1 \text{ eV}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = h\nu - \Phi$ છે,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,આપણને $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi}{e}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$ છે,તેથી ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_0$ છે.
અહીં કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) $V_0 = 1.5 \text{ V}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $K_{max} = e \times 1.5 \text{ V} = 1.5 \text{ eV}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $1.5 \text{ eV}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \phi = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $\frac{hc}{\lambda}$ અચળ રહે છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ તે ધાતુ માટે વધુ હોય છે જેનું કાર્યવિધેય (work function) $\phi$ ઓછું હોય.
કાર્યવિધેય $\phi = h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે (આલેખનો $x$-અંતઃખંડ).
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે,$X_1$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સૌથી ઓછી $(\nu_0 = 1.0 \times 10^{14} \text{ Hz})$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું કાર્યવિધેય સૌથી ઓછું છે.
તેથી,નિશ્ચિત આપાત તરંગલંબાઈ માટે,ધાતુ $X_1$ સૌથી વધુ મહત્તમ ગતિઊર્જા ધરાવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરશે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{331 \times 10^{-9}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{331 \times 10^{-9}} = 0.06 \times 10^{-17} \text{ J} = 6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K_{max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max}$ એ મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા છે.
મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $K_{max} = eV_s = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 = 0.32 \times 10^{-19} \text{ J}$ છે.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi = E - K_{max} = 6 \times 10^{-19} - 0.32 \times 10^{-19} = 5.68 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આને $\alpha \times 10^{-19} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5.68$ મળે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ --- $(1)$
$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ --- $(2)$
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 2\lambda_2$,આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{2\lambda_2} - \phi$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2K_1 = \frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi$ --- $(3)$
હવે,સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$K_2 - 2K_1 = (\frac{hc}{\lambda_2} - \phi) - (\frac{hc}{\lambda_2} - 2\phi)$
$K_2 - 2K_1 = \phi$
તેથી,કાર્ય વિધેય $\phi = K_2 - 2K_1$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(3V_0) = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e(V_0) = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$3eV_0 - eV_0 = (\frac{hc}{\lambda} - \Phi) - (\frac{hc}{2\lambda} - \Phi)$
$2eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$eV_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
$eV_0$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$
$\Phi = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ એ $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Phi = \frac{hc}{4\lambda}$ મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.
તેને $\alpha\lambda$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.

(A) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ નું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ છે.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi = 6.6 \text{eV} = 6.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{J}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{m}$.
$\lambda_0 = \frac{3 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{m} = 1.875 \times 10^{-7} \text{m} = 187.5 \text{nm}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda \le \lambda_0$ હોય.
જો $\lambda > \lambda_0$ હોય, તો આપાત ફોટોનની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા ઓછી હોય છે, અને ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા: $200 \text{nm} > 187.5 \text{nm}$, $100 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, $50 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, અને $150 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$.
તેથી, $200 \text{nm}$ ની તરંગલંબાઇ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ઉત્પન્ન કરશે નહીં.