Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Gujarati

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે,ઉર્જા $2E$ થાય છે: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\Phi = \frac{hc}{\lambda} - E$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2E = \frac{hc}{\lambda_1} - (\frac{hc}{\lambda} - E)$.
$2E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda} + E$.
$E = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda}$.
કારણ કે $E > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} > \frac{hc}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1 < \lambda$.
વધુમાં,$\frac{hc}{\lambda_1} = E + \frac{hc}{\lambda}$.
કારણ કે $E = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi + \frac{hc}{\lambda} = \frac{2hc}{\lambda} - \Phi$.
કારણ કે $\Phi > 0$,તેથી $\frac{hc}{\lambda_1} < \frac{2hc}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1 > \frac{\lambda}{2}$.
આમ,$\frac{\lambda}{2} < \lambda_1 < \lambda$.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ પર,રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે: $eV_s = \frac{1}{2}mv^2$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,આપણને $V_s = \frac{1}{2} \left(\frac{m}{e}\right) v^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$,તેથી $\frac{m}{e} = \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \ kg/C$.
કિંમતો મૂકતા: $V_s = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1.8 \times 10^{11}} \times (9 \times 10^5)^2$.
$V_s = \frac{1}{2} \times \frac{81 \times 10^{10}}{1.8 \times 10^{11}} = \frac{81}{3.6} = 22.5 \times 0.1 = 2.25 \ V$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $2.25 \ V$ છે.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
વર્ક ફંક્શન $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ તરીકે આપેલ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટેની શરત $E \geqslant \Phi$ છે.
પદોને મૂકતા,આપણને $\frac{hc}{\lambda} \geqslant \frac{hc}{\lambda_0}$ મળે છે.
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\lambda} \geqslant \frac{1}{\lambda_0}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $\lambda \leqslant \lambda_0$.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર માટે આપાત તરંગલંબાઈ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ,તેથી સાચો વિકલ્પ $\lambda < \lambda_0$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
શરૂઆતમાં: $0.4 = h\nu - \Phi$ --- $(1)$
જ્યારે આવૃત્તિમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 1.2\nu$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા: $0.7 = h(1.2\nu) - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$h\nu = 0.4 + \Phi$.
આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા: $0.7 = 1.2(0.4 + \Phi) - \Phi$.
$0.7 = 0.48 + 1.2\Phi - \Phi$.
$0.7 - 0.48 = 0.2\Phi$.
$0.22 = 0.2\Phi$.
$\Phi = \frac{0.22}{0.2} = 1.1 \ eV$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h v - \Phi_0$ છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $v$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi_0 = h v_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે ($v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે).
આવૃત્તિ $v_1$ માટે, $K_1 = h v_1 - h v_0 = h(v_1 - v_0)$.
આવૃત્તિ $v_2$ માટે, $K_2 = h v_2 - h v_0 = h(v_2 - v_0)$.
આપેલ ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = 1 : k$ હોવાથી, $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$ થાય.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{h(v_1 - v_0)}{h(v_2 - v_0)} = \frac{1}{k}$.
આથી $k(v_1 - v_0) = v_2 - v_0$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $k v_1 - k v_0 = v_2 - v_0$.
$v_0$ ને કર્તા બનાવતા: $k v_1 - v_2 = k v_0 - v_0 = v_0(k - 1)$.
તેથી, $v_0 = \frac{k v_1 - v_2}{k - 1}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ --- $(1)$
તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ માટે: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{2}mv'^2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = \frac{3}{4}mV^2 + \frac{1}{2}\phi$.
અહીં $\phi > 0$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv'^2 > \frac{3}{4}mV^2$.
તેથી $v'^2 > \frac{3}{2}V^2$,જેનો અર્થ છે કે $v' > \sqrt{\frac{3}{2}}V$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે આપાત ઉર્જા $E_1 = 2\Phi$ હોય,ત્યારે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_1 = 2\Phi - \Phi = \Phi$ થાય.
$K_1 = \frac{1}{2} m V_1^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m V_1^2 = \Phi$,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = \sqrt{\frac{2\Phi}{m}}$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે આપાત ઉર્જા $E_2 = 3\Phi$ હોય,ત્યારે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$ થાય.
$K_2 = \frac{1}{2} m V_2^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2} m V_2^2 = 2\Phi$,જેનો અર્થ છે કે $V_2 = \sqrt{\frac{4\Phi}{m}}$.
$V_1: V_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{\frac{2\Phi}{m}}}{\sqrt{\frac{4\Phi}{m}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $V_1: V_2$ એ $1: \sqrt{2}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$,જ્યાં $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e \left( \frac{V_1}{6} \right) = \frac{hc}{3\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$6 \left( \frac{1}{3\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{6}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{5}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 5\lambda_1$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v$ હોવાથી,કાર્ય વિધેય $\Phi = hv$ થાય.
$4v$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(4v) = 4hv$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$K_{max} = 4hv - hv = 3hv$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 3hv$.
$v_{max}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{max}^2 = \frac{6hv}{m}$.
$v_{max} = \sqrt{\frac{6hv}{m}}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_s = h\nu - \phi$
$V_s = (h/e)\nu - (\phi/e)$
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m = h/e$ મળે છે.
અહીં,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
કારણ કે $h$ અને $e$ બંને સાર્વત્રિક અચળાંકો છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ વિરુદ્ધ આવૃત્તિના આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વર્ક ફંક્શન $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને પદાર્થો માટે ઢાળ સમાન છે,એટલે કે $h/e$.
આમ,ઢાળનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$eV_s = h\nu - \phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$V_s$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
આ એક સુરેખ રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બે બિંદુઓ $( \nu_1, V_1 )$ અને $( \nu_2, V_2 )$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનો ઢાળ શોધી શકાય છે:
ઢાળ $= \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
ઢાળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{e} = \frac{V_2 - V_1}{\nu_2 - \nu_1}$
તેથી,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ નું મૂલ્ય:
$h = \frac{e(V_2 - V_1)}{\nu_2 - \nu_1}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \Phi + K_{max}$,જ્યાં $\Phi$ એ કાર્ય વિધેય છે અને $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ અને વેગ $V$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_1} = \Phi + \frac{1}{2}mV^2$ --- $(1)$
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ અને વેગ $2V$ માટે: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{1}{2}m(2V)^2 = \Phi + 2mV^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$. તેને $4$ વડે ગુણતા,$2mV^2 = \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$ મળે.
આ કિંમતને $(2)$ માં મૂકતા: $\frac{hc}{\lambda_2} = \Phi + \frac{4hc}{\lambda_1} - 4\Phi$.
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{4hc}{\lambda_1} - 3\Phi$.
$3\Phi = \frac{4hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{4\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right)$.
$\Phi = \frac{hc}{3 \lambda_1 \lambda_2} (4 \lambda_2 - \lambda_1)$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_s$ છે,તેથી $eV_s = h\nu - \phi$ અથવા $V_s = \frac{h\nu}{e} - \frac{\phi}{e}$ મળે.
શરૂઆતમાં,ધારો કે આવૃત્તિ $\nu_1$ છે અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s1} = \frac{h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે,$\nu_2 = 2\nu_1$,ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s2} = \frac{h(2\nu_1)}{e} - \frac{\phi}{e} = \frac{2h\nu_1}{e} - \frac{\phi}{e}$ થાય.
$V_{s2}$ ની $V_{s1}$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_{s2} = 2V_{s1} + \frac{\phi}{e}$.
અહીં $\frac{\phi}{e} > 0$ હોવાથી,$V_{s2} > 2V_{s1}$ થાય.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ બમણા કરતા વધારે થશે.

(D) પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે. પ્રારંભિક આપાત આવૃત્તિ $\nu_1 = 3\nu_0$ છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ બદલીને $\nu_2 = \frac{1}{4} \nu_1 = \frac{1}{4} (3\nu_0) = 0.75 \nu_0$ કરવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે,આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી $(\nu \ge \nu_0)$ હોવી જોઈએ.
નવી આવૃત્તિ $\nu_2 = 0.75 \nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા ઓછી હોવાથી,આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય તો પણ કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $W$ એ કાર્ય વિધેય છે.
કિસ્સો $1$: $E_1 = 4W$.
$K_1 = 4W - W = 3W$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 3W$,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{6W}{m}}$.
કિસ્સો $2$: $E_2 = 6W$.
$K_2 = 6W - W = 5W$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5W$,તેથી $v_2 = \sqrt{\frac{10W}{m}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{6W/m}}{\sqrt{10W/m}} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}: \sqrt{5}$ થાય.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi$ છે, જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E_1 = 3\phi$. તેથી, $K_{max1} = 3\phi - \phi = 2\phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$, તેથી $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$ --- $(1)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $E_2 = 7\phi$. તેથી, $K_{max2} = 7\phi - \phi = 6\phi$.
તેથી, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 6\phi$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{6\phi}{2\phi} = 3$.
તેથી, $v_2 = v_1 \sqrt{3}$.
અહીં $v_1 = 4 \times 10^6 \,m/s$ આપેલ છે, તેથી $v_2 = 4 \sqrt{3} \times 10^6 \,m/s$ મળે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
ધાતુ $A$ માટે: $K_{A} = hf - \phi_A$
ધાતુ $B$ માટે: $K_{B} = h(2f) - \phi_B = 2hf - \phi_B$
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\phi_B = 2\phi_A$.
આ કિંમત $K_B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $K_B = 2hf - 2\phi_A = 2(hf - \phi_A)$.
હવે,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{hf - \phi_A}{2(hf - \phi_A)} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = eV$ $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = e\left(\frac{V}{6}\right)$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}} = \frac{eV}{eV/6} = 6$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 6 \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{6}{\lambda_0}$
$\frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda}$
$\frac{5}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda}$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(C) ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$(K.E.)_{\max} = e V_s$
અહીં આપેલ છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 10 \ V$ અને ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(K.E.)_{\max} = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10 \ V)$
$(K.E.)_{\max} = 1.6 \times 10^{-18} \ J$
આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $1.6 \times 10^{-18} \ J$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $k$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k = h\nu - E_0$
આના પરથી,વર્ક ફંક્શન $E_0$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$E_0 = h\nu - k$
જ્યારે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ બમણી $(2\nu)$ કરવામાં આવે,ત્યારે ધારો કે નવી મહત્તમ ગતિજ ઉર્જા $k'$ છે. નવું સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$k' = h(2\nu) - E_0$
$E_0$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$k' = 2h\nu - (h\nu - k)$
$k' = 2h\nu - h\nu + k$
$k' = h\nu + k$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = h\nu - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ પદાર્થનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
શરૂઆતમાં,$K_1 = h\nu - W$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $2\nu$ થાય છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2$ નીચે મુજબ છે:
$K_2 = h(2\nu) - W = 2h\nu - W$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$K_2 = 2(h\nu - W) + W = 2K_1 + W$.
કારણ કે કાર્ય વિધેય $W$ એ ધન અચળાંક છે,તેથી $K_2 > 2K_1$.
તેથી,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બે ગણા કરતા વધારે હશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ (જ્યાં $V_s = 0$ હોય) એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે,જે $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\phi = h \nu_0$.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ધાતુ $X$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ એ ધાતુ $Y$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0^{\prime})$ કરતા ઓછી છે,એટલે કે $\nu_0 < \nu_0^{\prime}$.
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $\phi_x < \phi_y$ થાય.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{max} = eV$
$K_{max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
$\lambda$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E._{\max} = hF - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi = hF_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે આપાત આવૃત્તિ $F = 2F_0$ હોય,
$\frac{1}{2}mV_1^2 = h(2F_0) - hF_0 = hF_0$
કિસ્સો $2$: જ્યારે આપાત આવૃત્તિ $F = 5F_0$ હોય,
$\frac{1}{2}mV_2^2 = h(5F_0) - hF_0 = 4hF_0$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{hF_0}{4hF_0} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 3\phi$,તેથી $K.E_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 9\phi$,તેથી $K.E_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K.E = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2\phi}{8\phi} = \frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 2v_1$.
અહીં $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v_2 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ થાય.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E. = h n - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ $(1)$
બીજા ફોટોકેથોડ માટે: $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $eV_0 = hf - \Phi$,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આલેખ પરથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મૂલ્ય $|V_0^1| < |V_0^2| < |V_0^3| < |V_0^4|$ છે.
આપેલ ધાતુ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ આવૃત્તિ $f$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલનું મોટું મૂલ્ય એ આપાત વિકિરણની ઊંચી આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ક્રમ $f_a > f_b > f_c > f_d$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $K_{max} = hv - \phi$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,આપણને $y = K_{max}$,$x = v$,ઢાળ $m = h$,અને અંતઃખંડ $c = -\phi$ મળે છે.
જેમ કે ઢાળ $h$ ધન છે અને અંતઃખંડ $-\phi$ ઋણ છે,તેથી આલેખ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $v_0$ (જ્યાં $K_{max} = 0$ થાય છે) થી શરૂ થતી એક સુરેખ રેખા છે જે આવૃત્તિ $v$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આ આલેખ $(1)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ છે,જ્યાં $W_0$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0 \implies E_1 \lambda_1 = hc - W_0 \lambda_1 \implies hc = E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1$ ... $(i)$
તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ માટે,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0 \implies E_2 \lambda_2 = hc - W_0 \lambda_2 \implies hc = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1 = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 \lambda_2 - W_0 \lambda_1$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 (\lambda_2 - \lambda_1)$
$W_0 = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે તરંગલંબાઈ $\frac{\lambda}{2}$ છે:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... (ii)
આપેલ છે કે $E_1 = \frac{1}{4} E_2$,એટલે કે $4E_1 = E_2$ ... (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને (iii) માં મૂકતા:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi\right) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 4\phi - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda} = 3\phi$
$\phi = \frac{2hc}{3\lambda}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $W_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_s = K_{max}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી $eV_s = hv - W_0$.
$V_s$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને $V_s = \frac{h}{e}v - \frac{W_0}{e}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,જો આવૃત્તિ $v$ વધારવામાં આવે,તો સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ પણ વધશે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda / 3$ છે:
$K_2 = \frac{hc}{\lambda / 3} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$
આપેલ છે કે $K_2 = 4K_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$
$\phi$ માટે ઉકેલતા:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ આ મુજબ છે: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$,જ્યાં $\Phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,આપણે લખી શકીએ: $eV_0 = h\nu - \Phi_0$.
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$,ઢાળ $(m) = \frac{h}{e}$ મળે છે.
ઢાળને ઈલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(e)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $m \times e = (\frac{h}{e}) \times e = h$.
આમ,આ ગુણાકાર પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ આપે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K.E_{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$,તેથી $K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 3\phi_0$,તેથી $K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0} = \frac{1}{2}$.
તેથી,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$e V_s = h \nu - \Phi_0$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\Phi_0}{e}$
જ્યાં $\Phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે, જેથી $\Phi_0 = h \nu_0$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી, આવૃત્તિ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ દર્શાવે છે.
સપાટી $A$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0,A}$ એ સપાટી $B$ માટેની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0,B}$ કરતા ઓછી હોવાથી ( $\nu_{0,A} < \nu_{0,B}$ ),
તેથી વર્ક ફંક્શન $\Phi_{0,A} = h \nu_{0,A}$ એ વર્ક ફંક્શન $\Phi_{0,B} = h \nu_{0,B}$ કરતા નાનું છે.
આમ, $A$ નું વર્ક ફંક્શન $B$ કરતા નાનું છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$h \nu = \phi_0 + KE_{\text{max}}$.
કારણ કે $KE_{\text{max}} = eV_s$,તેથી $\frac{hc}{\lambda} = \phi_0 + e(4V_0)$ ....$(i)$
તે જ રીતે,$3\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,$\frac{hc}{3\lambda} = \phi_0 + eV_0$ ....(ii)
સમીકરણ (ii) ને $4$ વડે ગુણતા:
$\frac{4hc}{3\lambda} = 4\phi_0 + 4eV_0$ ....(iii)
સમીકરણ (iii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$\frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (4\phi_0 + 4eV_0) - (\phi_0 + 4eV_0)$
$\frac{hc}{3\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{9\lambda}$
કાર્ય વિધેય $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ હોવાથી,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે,તેથી આપણને $\lambda_0 = 9\lambda$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = h\nu - \Phi$ મુજબ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે।
પ્રકાશના બિંદુવત ઉદગમને દૂર લઈ જવાથી ધાતુની સપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે, પરંતુ આપાત ફોટોનની આવૃત્તિ બદલાતી નથી।
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધારિત ન હોવાથી, તે અચળ રહેશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ માટે: $eV_0 = h\nu - h\nu_0$ ... $(i)$
આવૃત્તિ $\frac{\nu}{2}$ માટે: $e\frac{V_0}{4} = h\frac{\nu}{2} - h\nu_0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$4 = \frac{h\nu - h\nu_0}{\frac{h\nu}{2} - h\nu_0} = \frac{\nu - \nu_0}{\frac{\nu}{2} - \nu_0}$
$4(\frac{\nu}{2} - \nu_0) = \nu - \nu_0$
$2\nu - 4\nu_0 = \nu - \nu_0$
$2\nu - \nu = 4\nu_0 - \nu_0$
$\nu = 3\nu_0$
$\nu_0 = \frac{\nu}{3}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K.E_{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$. તેથી,$K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
$K.E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_1^2 = \phi_0$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 3\phi_0$. તેથી,$K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
$K.E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_2^2 = 2\phi_0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,ગુણોત્તર $v_1: v_2$ એ $1: \sqrt{2}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ... $(i)$
આપેલ છે કે જ્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{3}$ થાય છે,ત્યારે ગતિઊર્જા $E' = 4E$ થાય છે.
આ કિંમતોને ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $4E = \frac{hc}{\lambda/3} - \phi_0$
$4E = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $E$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi_0\right) = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi_0 = \frac{3hc}{\lambda} - \phi_0$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda} = 4\phi_0 - \phi_0$
$\frac{hc}{\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{3\lambda}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \Phi_0$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે, અને $\Phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K_{max}$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ સાથે સુરેખ રીતે બદલાય છે।
વધુમાં, મહત્તમ ગતિઊર્જા એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે, કારણ કે તીવ્રતા માત્ર એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે।

(B) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ માટે,$K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ $(i)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ માટે,$K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$ (ii)
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 3 \lambda_2$,આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{hc}{3 \lambda_2} - \phi$ (iii)
સમીકરણ (ii) પરથી,$\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \phi$. આ કિંમત સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$K_1 = \frac{1}{3} (K_2 + \phi) - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} + \frac{\phi}{3} - \phi$
$K_1 = \frac{K_2}{3} - \frac{2\phi}{3}$
કારણ કે વર્ક ફંક્શન $\phi > 0$ છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $K_1 < \frac{K_2}{3}$.

(B) આપાત પ્રકાશની ઉર્જા $(E)$:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 eV \cdot nm}{310 nm} = 4 eV$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{max} = E - \phi_0$
જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{max} = 4 eV - 1.13 eV = 2.87 eV$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ $K_{max} = eV_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $V_0 = 2.87 V$.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $e \left( \frac{V}{6} \right) = hc \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$6 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0}} = \frac{3(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 3\lambda}$
$6(\lambda_0 - 3\lambda) = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$6\lambda_0 - 18\lambda = 3\lambda_0 - 3\lambda$
$3\lambda_0 = 15\lambda$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E._{\max})$ એ $K.E._{\max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 2\phi_0$,તેથી $K.E._{\max 1} = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 5\phi_0$,તેથી $K.E._{\max 2} = 5\phi_0 - \phi_0 = 4\phi_0$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}} = \frac{\phi_0}{4\phi_0} = \frac{1}{4}$ છે.
કારણ કે $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{K.E._{\max 1}}{K.E._{\max 2}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થશે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જકનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ એ સૂત્ર $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\phi_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
પ્રથમ ઉત્સર્જક માટે,આપાત તરંગલંબાઈ $300 \ nm$ છે. ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0_1}$ ઓછામાં ઓછી $300 \ nm$ હોવી જોઈએ.
બીજા ઉત્સર્જક માટે,થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0_2}$ એ $600 \ nm$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ધારી લઈએ કે પ્રથમ ઉત્સર્જક $300 \ nm$ માટે થ્રેશોલ્ડ પર છે,તો આપણી પાસે $\lambda_{0_1} = 300 \ nm$ અને $\lambda_{0_2} = 600 \ nm$ છે.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{0_1}}{\phi_{0_2}} = \frac{\lambda_{0_2}}{\lambda_{0_1}} = \frac{600 \ nm}{300 \ nm} = \frac{2}{1}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં તરંગલંબાઈ $2\lambda$ છે: $1.6 = \frac{hc}{e(2\lambda)} - \frac{\phi}{e} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$4.8 - 1.6 = \left(\frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right) - \left(\frac{hc}{2e\lambda} - \frac{\phi}{e}\right)$
$3.2 = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{hc}{2e\lambda} = \frac{hc}{2e\lambda}$
તેથી,$\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4.8 = 6.4 - \frac{\phi}{e} \Rightarrow \frac{\phi}{e} = 6.4 - 4.8 = 1.6$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{\phi}{e} = \frac{hc}{e\lambda_0} = 1.6$.
કારણ કે $\frac{hc}{e\lambda} = 6.4$,તેથી $\frac{hc}{e\lambda_0} = \frac{1}{4} \left(\frac{hc}{e\lambda}\right)$.
તેથી,$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) ખ્યાલ: ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ દિશામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારની ગતિ.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = E - W_0$
$K = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}}$
જ્યારે $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઈલેક્ટ્રોન $v$ વેગથી $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે વર્તે છે,જેનાથી તે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r = \frac{m v}{e B}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2(E - W_0)}{m}}}{e B} = \frac{\sqrt{2m(E - W_0)}}{e B}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($\lambda$ તરંગલંબાઈ): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે ($\frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ): $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $K_1 = \frac{1}{3} K_2$,તેથી $3K_1 = K_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$.
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
તેથી,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.