इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच बल के लिए व्युत्क्रम वर्ग नियम $|\vec F| = \frac{{{e^2}}}{{4\pi { \in _0}{r^2}}}$ है। $|\vec F|$ की $\frac{1}{r^2}$ पर निर्भरता को क्वांटम सिद्धांत में इस तथ्य के कारण समझा जा सकता है कि प्रकाश का कण (फोटॉन) द्रव्यमान रहित है। यदि फोटॉन का द्रव्यमान $m_p$ होता,तो बल $|\vec F| = \frac{{{e^2}}}{{4\pi { \in _0}}}\left( {\frac{1}{{{r^2}}} + \frac{\lambda }{r}} \right)\left( {{e^{ - \lambda r}}} \right)$ में संशोधित हो जाता,जहाँ $\lambda = \frac{{{m_p}c}}{\hbar }$ और $\hbar = \frac{h}{{2\pi }}$. यदि $m_p$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का $10^{-6}$ गुना हो,तो $H$-परमाणु की मूल अवस्था (ground state) ऊर्जा में परिवर्तन का अनुमान लगाइए।

(A) दिया गया है $\lambda = \frac{m_p c}{\hbar} = \frac{2 \pi m_p c}{h}$. $m_p = 10^{-6} m_e$ के साथ,$\lambda = \frac{2 \pi (10^{-6} \times 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}} \approx 2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$.
चूंकि बोहर त्रिज्या $r_B \approx 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ है,इसलिए $\lambda r_B \approx 1.37 \times 10^{-4} \ll 1$ है।
संशोधित विभव $U(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^{-\lambda r}}{r}$ का उपयोग करते हुए,छोटी $\lambda r$ के लिए घातांकीय पद का विस्तार करने पर: $U(r) \approx -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1-\lambda r}{r} = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} (\frac{1}{r} - \lambda)$।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_{modified} - U_{coulomb} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \lambda$ है।
$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} = k e^2 \approx 1.44 \text{ eV nm} = 1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}$ प्रतिस्थापित करने पर,ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E \approx \Delta U = (1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}) (2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}) \approx 3.7 \times 10^{-3} \text{ eV}$ प्राप्त होता है।