Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(A) $n$-वीं कक्षा की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E_n \propto m$,इसलिए $\mu^{-}$-सिस्टम और हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{\mu}}{E_e} = \frac{m_{\mu}}{m_e} = 207$ है।
अतः,$E_{\mu} = 207 \times E_e = 207 \times (-13.6 \text{ eV}) = -13.6 \times 207 \text{ eV}$.
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $r_n \propto \frac{1}{m}$,इसलिए $\mu^{-}$-सिस्टम और हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_{\mu}}{r_H} = \frac{m_e}{m_{\mu}} = \frac{1}{207}$ है।
अतः,$r_{\mu} = \frac{r_H}{207}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U = -27.2 / n^2 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $U = -6.8 \text{ eV}$,इसलिए $-27.2 / n^2 = -6.8$,जिसका अर्थ है $n^2 = 27.2 / 6.8 = 4$,अर्थात $n = 2$ है।
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_0$ है। $n = 2$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$ है।
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
मान रखने पर,$2 \pi (4 r_0) = 2 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = (8 \pi r_0) / 2 = 4 \pi r_0$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन तरंग प्रकृति प्रदर्शित करता है।
एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए,जिसे इस शर्त द्वारा दिया जाता है:
$2 \pi r_n = n \lambda$
जहाँ $r_n$ $n$वीं कक्षा की त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ होता है।
समीकरण में $n = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \pi r_1 = 1 \cdot \lambda$
$\lambda = 2 \pi r_1$
अतः,हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य पहली कक्षा की परिधि के बराबर होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट में है,इसलिए $n_1 = 1$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi}$ है।
$\Delta E$ ऊर्जा अवशोषित करने के बाद,कोणीय संवेग में $\frac{h}{2 \pi}$ की वृद्धि होती है।
अतः,नया कोणीय संवेग $L_2 = L_1 + \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} + \frac{h}{2 \pi} = \frac{2h}{2 \pi}$ है।
इसे $L = \frac{nh}{2 \pi}$ के साथ तुलना करने पर,हमें नया मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = 2$ प्राप्त होता है।
$n$-वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है।
$n_2 = 2$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6 \ eV}{2^2} = -\frac{13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$ है।
अवशोषित ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $n_i = 2$ से $n_f = 1$ में जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
अतः,$\lambda = \frac{4}{3R}$.

(D) दी गई काल्पनिक दुनिया में,कोणीय संवेग $L = 2n' \frac{h}{2\pi} = n' \frac{h}{\pi}$ है,जहाँ $n' = 1, 2, 3, \dots$ है।
इसे मानक बोहर क्वांटाइजेशन $L = n \frac{h}{2\pi}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि अनुमत कक्षाएं $n = 2n'$ के अनुरूप हैं।
कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है। $n = 2n'$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_{n'} = -\frac{13.6}{(2n')^2} = -\frac{13.6}{4n'^2} = -\frac{3.4}{n'^2} \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
दृश्य सीमा के लिए,संक्रमण को इस प्रणाली की पहली उत्तेजित अवस्था पर समाप्त होना चाहिए। मूल अवस्था $n'=1$ $(n=2)$ है और पहली उत्तेजित अवस्था $n'=2$ $(n=4)$ है।
दृश्य सीमा में सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य (सबसे कम ऊर्जा) के लिए संक्रमण $n'=2$ से $n'=1$ तक है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{3.4}{2^2} - (-\frac{3.4}{1^2}) = -0.85 + 3.4 = 2.55 \text{ eV}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1242 \text{ eV-nm}}{2.55 \text{ eV}} \approx 487 \text{ nm}$ है।

(A, B) $He^{+}$ में संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है। $He^{+}$ के लिए,$Z=2$,इसलिए $E = 13.6 \times 4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 54.4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$.
$n=2$ से $n=4$ के संक्रमण के लिए,$E = 54.4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 54.4 \left( \frac{3}{16} \right) = 10.2 eV$.
चूंकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $10.2 eV$ है,इसलिए $He^{+}$ इलेक्ट्रॉन $n=2$ से $n=4$ में उत्तेजित हो सकता है।
एक बार $n=4$ अवस्था में पहुँचने के बाद,उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = 6$ होती है।
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(A) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन की बोहर की अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इस समीकरण से,हम क्वांटम संख्या $n$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$n = \frac{2\pi m}{h} \cdot (vr)$
चूंकि $m$,$h$,और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$n \propto vr$
अतः,राशि $vr$ क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती है।

(D) बोहर के परमाणु मॉडल के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (i)$
चूंकि कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$,इसलिए $v = r\omega$ होता है।
समीकरण $(i)$ में $v = r\omega$ रखने पर:
$m(r\omega)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m\omega r^2 = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow \omega = \frac{nh}{2\pi mr^2} \dots (ii)$
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या इस प्रकार है:
$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ से $r$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right)^2$
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \cdot \frac{\pi^2 m^2 Z^2 e^4}{n^4 h^4 \epsilon_0^2}$
$\omega = \frac{\pi m Z^2 e^4}{2 h^3 \epsilon_0^2} \cdot \frac{1}{n^3}$
अतः,$\omega \propto \frac{1}{n^3}$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का रैखिक वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$
जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए परमाणु के लिए $n$ को छोड़कर सभी पद नियतांक हैं।
इसलिए,संबंध $v \propto \frac{1}{n}$ है।

(A-D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के मॉडल के अनुसार:
$v_{n} \propto \frac{1}{n}$
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
$r_{n} \propto n^{2}$
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{E_{n} r_{n}}{E_{1} r_{1}} \propto \frac{(1/n^{2}) \cdot n^{2}}{1} = 1$. यह एक स्थिरांक है,इसलिए ढाल $0$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{r_{n} v_{n}}{r_{1} v_{1}} \propto \frac{n^{2} \cdot (1/n)}{1} = n$. यह $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{r_{n}}{r_{1}} = n^{2}$. दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n}}{r_{1}}\right) = 2 \ln(n)$. यह $2$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{r_{n}}{E_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n^{2}} = n^{4}$. अतः,$\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}} = n^{4}$. प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}}\right) = 4 \ln(n)$. यह $4$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
बोहर के मॉडल के अनुसार सभी विकल्प $A, B, C$ और $D$ गणितीय रूप से सही हैं।

(B) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना से,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
क्वांटाइजेशन शर्त में $mv = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{h}{\lambda} r = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
यह $2\pi r = n\lambda$ में सरल हो जाता है,जहाँ $2\pi r$ $n^{th}$ कक्षा की परिधि है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
इसलिए,दूसरी कक्षा की परिधि $2\pi r = 2\lambda$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि दूसरी बोहर कक्षा में निहित डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की संख्या $2$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^{8} \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = \frac{12 \times 10^{-7}}{300 \times 10^{-9}} \ eV = \frac{1200}{300} \ eV = 4 \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था $(n=1)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ eV \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$ है।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $(4 \ eV)$ पहली उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $(10.2 \ eV)$ से कम है और आयनीकरण ऊर्जा $(13.6 \ eV)$ से भी कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च अवस्था में जाने के लिए इस ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर पाएगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में ही बना रहेगा।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{Z}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r \propto \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
इन दो संबंधों से,हम लिख सकते हैं कि $r \propto \frac{n}{v}$।
यह दिया गया है कि त्रिज्याएँ लगभग समान हैं $(r_1 \approx r_2)$,इसलिए $\frac{n_1}{v_1} = \frac{n_2}{v_2}$।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^5} = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5}$।
इस प्रकार,ऊर्जा अवस्थाओं ($n_1$ और $n_2$) का संभावित क्रम $6$ और $5$ है।

(C) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{2\pi L}{h} = n$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_0$ मूल अवस्था ऊर्जा का परिमाण है।
दिया गया है कि $E_n = -0.04 E_0$,इसलिए $-\frac{E_0}{n^2} = -0.04 E_0$ है।
दोनों पक्षों को $-E_0$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{n^2} = 0.04$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{1}{0.04} = \frac{100}{4} = 25$ है।
अतः,$n = 5$ है।
चूँकि $\frac{2\pi L}{h} = n$,इसलिए इसका मान $5$ है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = n \frac{h}{2\pi}$ है।
मूल अवस्था (ground state) $n = 1$ के अनुरूप होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi} = 2 \times \frac{h}{\pi}$।
दिया गया है $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और $\pi \approx 3.14$:
$L = 2 \times \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2 \times 2.111 \times 10^{-34} = 4.222 \times 10^{-34} \text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$।

(D) ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु के लिए,कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
यहाँ,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$,$v$ वेग,$r$ कक्षीय त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$,और $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})$ है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{h}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5.3 \times 10^{-11}}$.
इसकी गणना करने पर,$v \approx 2.18 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।
दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर,हमें $v \approx 2.2 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर मॉडल के अनुसार,मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(TE)$ $-13.6 \text{ eV}$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = -TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः,$KE = -(-13.6 \text{ eV}) = +13.6 \text{ eV}$।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = 2 \times TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः,$PE = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$।
इस प्रकार,स्थितिज ऊर्जा $-27.2 \text{ eV}$ है और गतिज ऊर्जा $+13.6 \text{ eV}$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में,इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के साथ निम्नलिखित संबंधों द्वारा जुड़ी होती है:
$E = -K$
$U = 2E$
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा $E = -13.6 \text{ eV}$ है,इसलिए हम $K$ और $U$ ज्ञात कर सकते हैं:
$K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$
$U = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{13.6 \text{ eV}}{-27.2 \text{ eV}} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ होता है,जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या (बोर त्रिज्या) है।
यहाँ $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ और $n = 3$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$
$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 47.7 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$.
अतः,$n = 3$ कक्षा की त्रिज्या $4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ का मान $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
दिया गया है कि $L = \frac{3h}{\pi}$,इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{\pi}$।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
सूत्र में $n = 6$ रखने पर: $E_6 = -\frac{13.6}{6^2} = -\frac{13.6}{36}$।
मान की गणना करने पर: $E_6 \approx -0.377 \text{ eV}$,जो लगभग $-0.38 \text{ eV}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $r_i / r_f = n_i^2 / n_f^2 = 16 / 4 = 4$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $n_i / n_f = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_i = 2n_f$।
सबसे सरल संक्रमण के लिए,हम $n_f = 2$ और $n_i = 4$ लेते हैं।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रीडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$
$1/\lambda = R(1/2^2 - 1/4^2) = R(1/4 - 1/16) = R(3/16)$।
$R = 1.0973 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ का मान रखने पर:
$1/\lambda = 1.0973 \times 10^7 \times (3/16) \approx 0.20574 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$।
$\lambda = 1 / (0.20574 \times 10^7) \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$।

(C) वृत्ताकार पथ में गति कर रहे इलेक्ट्रॉन के कारण कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है।
बोर के मॉडल के अनुसार,$v \propto \frac{1}{n}$ और $r \propto n^2$ होता है।
इन मानों को धारा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $I \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ प्राप्त होता है।
अब,$I$ और $r$ के मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2^{nd}$ और $4^{th}$ कक्षाओं के लिए चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_2}{B_4} = \left( \frac{4}{2} \right)^5 = 2^5 = 32$ है।
इस प्रकार,अनुपात $32:1$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times n^2$ है,जहाँ $a_0 = 0.529 \text{ Å}$ बोहर त्रिज्या है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर,हमें $r_2 = 0.529 \times (2)^2 \text{ Å}$ प्राप्त होता है।
$r_2 = 0.529 \times 4 \text{ Å} = 2.116 \text{ Å}$।
चूंकि $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$,इसलिए $r_2 = 2.116 \times 10^{-10} \text{ m}$ होगा।
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,त्रिज्यीय दूरी लगभग $2.1 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।