$LCR$ श्रेणी $AC$ परिपथ के लिए तात्कालिक धारा और वोल्टेज के बीच कला संबंध के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करें।

(N/A) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए वोल्टेज समीकरण किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार है:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V$
$V = V_m \sin \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$ ... $(1)$
चूंकि $I = \frac{dq}{dt}$,इसलिए $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$। इसे $(1)$ में रखने पर:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$L$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = \frac{V_m}{L} \sin \omega t$ ... $(2)$
यह एक बलपूर्वक,अवमंदित दोलक के समीकरण के समान है। मान लीजिए समाधान $q = q_m \sin(\omega t + \theta)$ है ... $(3)$
तब $\frac{dq}{dt} = q_m \omega \cos(\omega t + \theta)$ ... $(4)$ और $\frac{d^2q}{dt^2} = -q_m \omega^2 \sin(\omega t + \theta)$ ... $(5)$
$(3), (4)$ और $(5)$ के मान $(2)$ में रखने पर:
$-q_m \omega^2 L \sin(\omega t + \theta) + R q_m \omega \cos(\omega t + \theta) + \frac{q_m}{C} \sin(\omega t + \theta) = V_m \sin \omega t$
$q_m \omega [R \cos(\omega t + \theta) + (\frac{1}{\omega C} - \omega L) \sin(\omega t + \theta)] = V_m \sin \omega t$
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ और $X_L = \omega L$ तथा प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ और $\sin \phi = \frac{X_L - X_C}{Z}$ परिभाषित करते हैं।
यह उस कला संबंध की ओर ले जाता है जहाँ धारा $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ वोल्टेज से $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_L - X_C}{R})$ कला कोण से आगे या पीछे होती है।