Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Hindi

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
प्रारंभ में,$f_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
अंत में,संधारित्र को $C$ से $C^{\prime}$ में बदलने पर अनुनाद आवृत्ति $f_2 = 2f_1$ हो जाती है।
अतः,$f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}}$.
समीकरण में $f_2 = 2f_1$ रखने पर:
$\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $2 \pi$ और $\sqrt{L}$ को हटाने पर:
$\frac{1}{\sqrt{C^{\prime}}} = \frac{2}{\sqrt{C}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{4}{C}$.
इसलिए,अनुपात $\frac{C}{C^{\prime}} = 4$ है।
नोट: प्रतिरोध $R$ में परिवर्तन $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति को प्रभावित नहीं करता है।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि यदि धारिता $C$ स्थिर रहती है,तो अनुनाद आवृत्ति $f$,प्रेरकत्व $L$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक अनुनाद आवृत्ति $f_0$ है और प्रेरकत्व $L$ है। अतः,$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
जब प्रेरकत्व को $\sqrt{3}$ गुना बढ़ाया जाता है,तो नया प्रेरकत्व $L' = \sqrt{3}L$ हो जाता है। प्रतिरोध $R$ में परिवर्तन का अनुनाद आवृत्ति पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
नई अनुनाद आवृत्ति $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(\sqrt{3}L)C}}$.
$f'$ को $f_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{f'}{f_0} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{\sqrt{3}LC}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} = \left(\frac{1}{3^{1/2}}\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4}$.
अतः,नई अनुनाद आवृत्ति $f' = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4} f_0$ होगी।

(D) $R-L-C$ श्रेणी परिपथ का गुणवत्ता कारक $Q$,अनुनाद पर प्रेरक (या संधारित्र) के सिरों पर वोल्टेज और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I X_L}{I R} = \frac{\omega_0 L}{R}$.
अनुनाद पर,अनुनादी आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
$\sqrt{LC} = \frac{1}{\omega_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हम $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ भी लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,गुणवत्ता कारक के लिए व्यंजक $\frac{\omega_0 L}{R}$ है।

(C) श्रेणी $R-L-C$ परिपथ में,अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $R = 100 \Omega$,$L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$,$f_0 = \frac{1250}{\pi} \text{ Hz}$.
अनुनाद सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1250}{\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times C}}$
$1250 = \frac{1}{2\sqrt{0.02 \times C}}$
$2500 = \frac{1}{\sqrt{0.02 \times C}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$6.25 \times 10^6 = \frac{1}{0.02 \times C}$
$C = \frac{1}{0.02 \times 6.25 \times 10^6} = \frac{1}{0.125 \times 10^6} = 8 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \mu\text{F}$.
जब $V = 25 \text{ V}$ के $DC$ स्रोत द्वारा आवेशित किया जाता है,तो संचित आवेश $Q$ है:
$Q = C \times V = 8 \times 10^{-6} \text{ F} \times 25 \text{ V} = 200 \times 10^{-6} \text{ C} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ C} = 0.2 \text{ mC}$.

(D) एक श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,यदि धारा दो अलग-अलग आवृत्तियों $f_1$ और $f_2$ पर समान है,तो ये आवृत्तियाँ अनुनाद आवृत्ति $f_0$ से ज्यामितीय रूप से समान दूरी पर होती हैं।
अनुनाद आवृत्ति $f_0$ उन दो आवृत्तियों के ज्यामितीय माध्य द्वारा दी जाती है जिन पर धारा समान होती है:
$f_0 = \sqrt{f_1 \times f_2}$
दिया गया है:
$f_1 = 200 \ Hz$
$f_2 = 800 \ Hz$
मान रखने पर:
$f_0 = \sqrt{200 \times 800}$
$f_0 = \sqrt{160000}$
$f_0 = 400 \ Hz$
अतः,परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $400 \ Hz$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
बहुत कम आवृत्तियों $(\omega \to 0)$ पर,धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C}$ बहुत अधिक होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बहुत अधिक हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\omega$ बढ़ती है,पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ घटता जाता है जब तक कि यह अनुनाद आवृत्ति (resonance frequency) $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ पर शून्य न हो जाए। इस बिंदु पर,$Z = R$ होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\omega_0$ से आगे बढ़ती है,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ प्रभावी हो जाता है,और पद $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ फिर से बढ़ने लगता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ बढ़ती है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है और फिर बढ़ती है।

(B) $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में धारा अधिकतम होती है।
अनुनाद पर,कोणीय आवृत्ति $\omega$ का मान $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वोल्टेज समीकरण $V = 5 \sin(100t)$ से,हमें $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $L = 2 \text{ H}$,हम इन मानों को अनुनाद के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$100 = \frac{1}{\sqrt{2 \times C}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$10000 = \frac{1}{2C}$
$C = \frac{1}{2 \times 10000} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu\text{F}$.

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,अनुनाद तब होता है जब प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है $(X_L = X_C)$।
इस स्थिति में,कुल प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधी व्यवहार करता है।
शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद पर,$Z = R$,इसलिए $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ होता है।

(D) अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
अनुनाद कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद पर प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega_0 L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ होता है।
दिया गया है: $L = 1.6 \ \text{H}$ और $C = 40 \ \mu\text{F} = 40 \times 10^{-6} \ \text{F}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_L = \sqrt{\frac{1.6}{40 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^6}{40}} = \sqrt{0.04 \times 10^6} = \sqrt{40000} = 200 \ \Omega$।
अतः,अनुनाद आवृत्ति पर प्रेरणिक प्रतिघात $200 \ \Omega$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f_r$ का सूत्र है: $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
दिए गए मान हैं: $L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 0.1 \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-7} \text{ F}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-10}} = 10^{-5}$.
अब,$f_r = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2 \times 3.14159} \approx \frac{100000}{6.283} \approx 15915.5 \text{ Hz}$.
kHz में बदलने पर,$f_r \approx 15.9 \text{ kHz}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।