Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(C) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 400 \, V$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 400 \, V$ છે.
અહીં $V_L = V_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$Z = R = 50 \, \Omega$.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{Z} = \frac{100 \, V}{50 \, \Omega} = 2 \, A$.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = i \times R = 2 \, A \times 50 \, \Omega = 100 \, V$.
આમ,અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $100 \, V$ અને પ્રવાહ $2 \, A$ છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $(X_L = 5 \ \Omega)$ અને કેપેસિટર $(X_C = 5 \ \Omega)$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,અને આ સંયોજન વોલ્ટમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું છે.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરનું શ્રેણી સંયોજન શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે કારણ કે કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z_{LC} = |X_L - X_C| = 0 \ \Omega$ થાય છે.
તેથી,વોલ્ટમીટર પરનો વોલ્ટેજ $0 \ V$ થશે.
આમ,$110 \ V$ નો સંપૂર્ણ સોર્સ વોલ્ટેજ અવરોધ $R = 55 \ \Omega$ પર લાગુ પડે છે.
એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ:
$I = \frac{V}{R} = \frac{110 \ V}{55 \ \Omega} = 2 \ A$.

(A) અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$ અને $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 2500 \, rad/s$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 44 \, \Omega$ થાય છે.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{220}{44} = 5 \, A$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર (પીક પ્રવાહ) $I_0 = I_{rms} \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \, A$ થાય છે.

(D) ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ અને બેન્ડવિડ્થ $\Delta f$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી $f_1 = 100 \, MHz$ અને $f_2 = 120 \, MHz$ છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ એ હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સીનો ભૌમિતિક મધ્યક છે: $f_r = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{100 \times 120} = \sqrt{12000} \approx 109.54 \, MHz$.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta f = f_2 - f_1 = 120 - 100 = 20 \, MHz$ છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{109.54}{20} = 5.477$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$Q = 5.5$ મળે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ માટે,પાવરનો વપરાશ અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ પર મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 160 \, H$ અને $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{160 \times 40 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{6400 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{80 \times 10^{-3}}$
$\omega_0 = \frac{1000}{80} = 12.5 \, rad/s$.
તેથી,સર્કિટ $12.5 \, rad/s$ ની કોણીય આવૃત્તિ પર મહત્તમ પાવરનો વપરાશ કરે છે.

(C) રેઝોનન્સ સમયે,સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક હોય છે,તેથી $Z = R = 50 \, \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 10 \, V$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ છે.
રેઝોનન્સ સમયે રૂટ મીન સ્ક્વેર કરંટ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{10 / \sqrt{2}}{50} \, A$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,ફેઝ એંગલ $\phi = 0^{\circ}$ હોય છે,તેથી $\cos \phi = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left( \frac{10}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{10 / \sqrt{2}}{50} \right) \times 1$.
$P = \frac{100}{2 \times 50} = \frac{100}{100} = 1 \, W$.

(C) $L-C-R$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = 2C$ અને નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ છે. નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_2 = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{L'(2C)}}$ છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહેતી હોવાથી,$\omega_1 = \omega_2$,જેનો અર્થ છે:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2L'C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{LC} = \frac{1}{2L'C}$
બંને બાજુથી $C$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{L} = \frac{1}{2L'}$
$L'$ માટે ઉકેલતા:
$L' = \frac{L}{2}$.

(C) અનુનાદ સમયે,પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ શુદ્ધ અવરોધક હોય છે,તેથી $X_L = X_C$. પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{60}{120} = 0.5\,A$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I \omega_0 L$ છે. જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$40 = 0.5 \times (4 \times 10^5) \times L$
$L = \frac{40}{0.5 \times 4 \times 10^5} = \frac{40}{2 \times 10^5} = 2 \times 10^{-4}\,H = 0.2\,mH$.
અનુનાદ સમયે,$V_C = V_L = 40\,V$. કારણ કે $V_C = I X_C = \frac{I}{\omega_0 C}$,તેથી:
$C = \frac{I}{\omega_0 V_C} = \frac{0.5}{(4 \times 10^5) \times 40} = \frac{0.5}{160 \times 10^5} = 0.03125 \times 10^{-6}\,F = 0.03125\,\mu F$.

(B) $LCR$ પરિપથમાં $ac$ સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
પાવર મહત્તમ થાય તે માટે પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ મહત્તમ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos \phi = 1$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ હોય,જે સૂચવે છે કે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે.
તેથી,$\omega L = \frac{1}{\omega C}$.

(A) અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં $L = 8 \, mH = 8 \times 10^{-3} \, H$ અને $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$ આપેલ છે.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{8 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{160 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 2500 \, rad/s$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 44 \, \Omega$ થાય છે.
મહત્તમ વોલ્ટેજ $E_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} \, V$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{E_0}{R} = \frac{220\sqrt{2}}{44} = 5\sqrt{2} \, A$ થાય છે.

(C) અનુનાદ આવૃત્તિ $f_R$ એ $f_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $f > f_R$ હોય,ત્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ વધે છે અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ ઘટે છે.
કારણ કે $f > f_R$ માટે $X_L > X_C$ થાય છે,તેથી ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $(X_L - X_C)$ ધન મળે છે.
તેથી,પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(B) શ્રેણી $L-C-R$ રેઝોનન્ટ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q-$ફેક્ટર) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\omega_r$ એ રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આ સંબંધો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $Q-$ફેક્ટર એ અવરોધ $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(Q \propto \frac{1}{R})$.
તેથી,જો અવરોધ $R$ વધે,તો સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર ઘટે છે.

(C) આપેલ $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે,જેનો અર્થ છે કે સર્કિટ કેપેસિટીવ છે,એટલે કે $X_C > X_L$ અથવા $\frac{1}{\omega C} > \omega L$. આનો અર્થ એ છે કે $\omega^2 LC < 1$.
પાવર ફેક્ટરને એકમ બનાવવા માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ,જ્યાં $X_L = X_{eq}$,જ્યાં $X_{eq}$ એ સમતુલ્ય કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
કારણ કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે,આપણે રેઝોનન્સ સુધી પહોંચવા માટે કુલ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ ઘટાડવાની જરૂર છે. આ સર્કિટની કુલ કેપેસીટન્સ વધારીને પ્રાપ્ત થાય છે.
જ્યારે કેપેસિટર $C'$ ને $C$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + C'$ બને છે.
રેઝોનન્સ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે:
$\omega L = \frac{1}{\omega (C + C')}$
$\omega^2 L (C + C') = 1$
$C + C' = \frac{1}{\omega^2 L}$
$C' = \frac{1}{\omega^2 L} - C = \frac{1 - \omega^2 LC}{\omega^2 L}$
કારણ કે $\omega^2 LC < 1$,$C'$ નું મૂલ્ય ધન છે. તેથી,કેપેસિટર $C'$ ને $C$ સાથે સમાંતરમાં જોડવું આવશ્યક છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રવાહ $I$ મહત્તમ હોય ત્યારે વોલ્ટેજ $V_R$ મહત્તમ હોય છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,પ્રવાહ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ પર મહત્તમ હોય છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_L = X_C)$ જેટલું હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 24 \, H$,$C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$.
કિંમતો મૂકતા:
$f_r = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{24 \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{48 \times 10^{-6}}}$
$f_r = \frac{1}{6.28 \times 6.928 \times 10^{-3}}$
$f_r = \frac{1000}{6.28 \times 6.928} \approx \frac{1000}{43.5} \approx 22.98 \, Hz \approx 23 \, Hz$.

(D) આપેલ છે: $C = 10^{-11} \, F$,$L = 10^{-5} \, H$,$R = 100 \, \Omega$ અને $q_{DC} = 10^{-9} \, C$.
$1$. સૌ પ્રથમ,સ્ટેડી-સ્ટેટ સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને $D.C.$ વોલ્ટેજ $E$ શોધો જ્યાં કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે: $E = q_{DC} / C = 10^{-9} / 10^{-11} = 100 \, V$. કારણ કે $E_0 = E$,તેથી $A.C.$ સ્ત્રોતનો પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 100 \, V$ છે.
$2$. રેઝોનન્સ સમયે,$L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \, \Omega$ છે. પીક પ્રવાહ $I_0 = E_0 / Z = 100 / 100 = 1 \, A$ છે.
$3$. રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1 / \sqrt{LC} = 1 / \sqrt{10^{-5} \times 10^{-11}} = 1 / \sqrt{10^{-16}} = 10^8 \, rad/s$ છે.
$4$. $A.C.$ સર્કિટમાં કેપેસિટર પરનો પીક વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ પીક પ્રવાહ $I_0$ સાથે $Q_0 = I_0 / \omega$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $Q_0 = 1 / 10^8 = 10^{-8} \, C$.

(B) $LRC$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(\omega_{0})$ અને બેન્ડવિડ્થ $(\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1})$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega_{0} = 5 \text{ kHz}$ છે.
હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી $\omega_{1} = 3.75 \text{ kHz}$ અને $\omega_{2} = 6.25 \text{ kHz}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1} = 6.25 \text{ kHz} - 3.75 \text{ kHz} = 2.5 \text{ kHz}$ છે.
તેથી,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_{0}}{\Delta\omega} = \frac{5}{2.5} = 2.0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે,તેથી $X_L - X_C = 0$.
તેથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે,જે સર્કિટ માટે લઘુત્તમ શક્ય મૂલ્ય છે.
$Z$ લઘુત્તમ હોવાથી,પ્રવાહ $I = V/Z$ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = (V/R) X_C$ છે. જો $R$ ઘટાડવામાં આવે,તો $I$ વધે છે,તેથી $V_C$ વધે છે.
આમ,ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાત્ર ખાલી હોય,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_0$ છે,તેથી $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_0}} = 10,000\, Hz$.
જ્યારે પાત્રને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા વાયુથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_g = K C_0$ થાય છે.
નવી રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f_g = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(K C_0)}} = \frac{f_0}{\sqrt{K}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે ફ્રીક્વન્સીમાં $50\, Hz$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી નવી ફ્રીક્વન્સી $f_g = 10,000 - 50 = 9,950\, Hz$ છે.
તેથી,$\frac{f_g}{f_0} = \frac{1}{\sqrt{K}} = \frac{9,950}{10,000} = 0.995$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{K} = (0.995)^2 \approx 0.990025$.
$K = \frac{1}{0.990025} \approx 1.010075 \approx 1.01$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં મહત્તમ હોય છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વોલ્ટેજ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે.
અનુનાદ સમયે,$I_{max} = \frac{V}{R}$ અને $V_C = I_{max} X_C = \frac{V}{R} \cdot \frac{1}{\omega C}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોવાથી,$V_C = \frac{V}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ મળે છે.
આ કિંમતો ઉર્જાના સૂત્રોમાં મૂકતા:
$U_L = \frac{1}{2} L (\frac{V}{R})^2$
$U_C = \frac{1}{2} C (\frac{V}{R} \sqrt{\frac{L}{C}})^2 = \frac{1}{2} L \frac{V^2}{R^2}$
આમ,$U_C = U_L$,તેથી ગુણોત્તર $U_C : U_L = 1 : 1$ થાય છે.

(C) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$ છે.
ઇન્ડક્ટર $L$ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I \omega L$ છે.
અનુનાદ સમયે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $V_L = \frac{I}{\omega C}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V_L = \frac{0.1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{400 \times 10^{-6}} = \frac{0.1}{4 \times 10^{-4}} = \frac{1000}{4} = 250 \, V$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I(\omega L)$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = I(\frac{1}{\omega C})$ છે.
વોલ્ટમીટર $V_2$ એ ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર જોડાયેલું છે.
વોલ્ટમીટર $V_2$ નું રીડિંગ $V_2 = |V_L - V_C| = |I X_L - I X_C| = I |X_L - X_C|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$ અથવા $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આ કિંમત $V_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $V_2 = I |X_L - X_L| = 0$ મળે છે.
તેથી,અનુનાદની સ્થિતિમાં વોલ્ટમીટર $V_2$ નું રીડિંગ $0$ થાય છે.

(D) આકૃતિ પરથી, સોર્સ વોલ્ટેજ $V_{source} = 75 \, V$ અને આવૃત્તિ $f = 500 \, Hz$ છે. વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ ને સમાંતર જોડાયેલ છે અને તેનું વાંચન $V_R = 75 \, V$ છે.
$V_R = V_{source}$ હોવાથી, ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ શૂન્ય હોવો જોઈએ, એટલે કે $V_L - V_C = 0$, જેનો અર્થ છે કે $V_L = V_C$.
આ સ્થિતિ $LCR$ સર્કિટમાં વિદ્યુત અનુનાદ (resonance) દર્શાવે છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
$C$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ મળે.
અહીં $L = 10 \, mH = 0.01 \, H$ અને $f = 500 \, Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times \pi^2 \times (500)^2 \times 0.01} = \frac{1}{4 \times 9.8696 \times 2500} \approx 10.13 \, \mu F$.
તેથી, નજીકનો વિકલ્પ $10 \, \mu F$ છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ નું સૂત્ર: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $Q^2 = \frac{1}{R^2} \cdot \frac{L}{C}$,જેનો અર્થ છે કે $L = Q^2 R^2 C$.
આપેલ કિંમતો: $Q = 0.4$,$R = 2 \, k\Omega = 2 \times 10^3 \, \Omega$,અને $C = 0.1 \, \mu F = 0.1 \times 10^{-6} \, F$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = (0.4)^2 \times (2 \times 10^3)^2 \times (0.1 \times 10^{-6})$
$L = 0.16 \times 4 \times 10^6 \times 0.1 \times 10^{-6}$
$L = 0.16 \times 4 \times 0.1$
$L = 0.064 \, H$.

(B) રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_{L})$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_{C})$ સમાન હોય છે.
એટલે કે,$X_{L} = X_{C}$.
શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
સમીકરણમાં $X_{L} = X_{C}$ મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^{2} + (0)^{2}} = \sqrt{R^{2}} = R$
આ સર્કિટમાં $R$ એ ઈમ્પીડન્સનું સૌથી નાનું શક્ય મૂલ્ય હોવાથી,રેઝોનન્સ પર ઈમ્પીડન્સ ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) આ પરિપથ $AC$ ઉદગમ $E = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે જોડાયેલ શ્રેણી $LCR$ પરિપથ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2}R}$ છે.
વોલ્ટમીટર $V_2$ એ $LC$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,જે $V_2 = I(X_L - X_C)$ છે. અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી,$V_2 = 0$ થાય છે.
વોલ્ટમીટર $V_1$ એ અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,$V_1 = IR = \frac{E_0}{\sqrt{2}R} \cdot R = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$.
વોલ્ટમીટર $V_3$ સમગ્ર ઉદગમ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે ઉદગમના વોલ્ટેજનું $RMS$ મૂલ્ય માપે છે,$V_3 = E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$.
આમ,$V_1 = V_3 = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $V_2 = 0$ મળે છે.

(C) $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(f_0)$ અને બેન્ડવિડ્થ $(\Delta f = f_2 - f_1)$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે:
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(f_0)$ = $600 \ Hz$
હાફ-પાવર પોઈન્ટ્સ $f_2 = 650 \ Hz$ અને $f_1 = 550 \ Hz$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $(\Delta f)$ = $f_2 - f_1 = 650 \ Hz - 550 \ Hz = 100 \ Hz$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ = $\frac{f_0}{\Delta f} = \frac{600}{100} = 6$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_L = X_C)$ જેટલું થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
અનુનાદ સમયે,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક $(Z = R)$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) $\phi = 0^o$ છે.
વોટલેસ પ્રવાહ (અથવા આઈડલ પ્રવાહ) એ પ્રવાહનો તે ઘટક છે જે પાવર વપરાશમાં ફાળો આપતો નથી,જેનું સૂત્ર $I_w = I_0 \sin \phi$ છે.
અનુનાદ સમયે $\phi = 0^o$ હોવાથી,વોટલેસ પ્રવાહ $I_w = I_0 \sin(0^o) = I_0 \times 0 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $X_L = 4\,\Omega$ અને $X_C = 4\,\Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (Resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદમાં,સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે,તેથી $Z = R = 45\,\Omega$.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{source}}{Z} = \frac{90\,V}{45\,\Omega} = 2\,A$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{LC} = I \times |X_L - X_C|$ છે.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,$V_{LC} = 2\,A \times |4\,\Omega - 4\,\Omega| = 2\,A \times 0\,\Omega = 0\,V$ મળે છે.
તેથી,એમીટરનું રીડિંગ $2\,A$ અને વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ $0\,V$ છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \, \Omega$, વોલ્ટેજ $V = 100 \, V$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે કેપેસીટર દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $L-R$ શ્રેણી પરિપથ બને છે. પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 45^{\circ}$ પાછળ રહે છે.
$\tan \phi = \frac{X_L}{R} \implies \tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{100} \implies 1 = \frac{X_L}{100} \implies X_L = 100 \, \Omega$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ $C-R$ શ્રેણી પરિપથ બને છે. પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 45^{\circ}$ આગળ રહે છે.
$\tan \phi = \frac{X_C}{R} \implies \tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{100} \implies 1 = \frac{X_C}{100} \implies X_C = 100 \, \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે. અનુનાદમાં, ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
$Z = 100 \, \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{100} = 1 \, A$ છે.

(A) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ (resonance) પર,$X_{L} = X_{C}$,તેથી $Z = R$.
$(i)$ મહત્તમ પ્રવાહ $I_{m} = \frac{E}{R}$ છે. જો $R$ ઘટે,તો $I_{m}$ વધે છે.
$(ii)$ ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે. જો $R$ ઘટે,તો $Q$ વધે છે.
$(iii)$ ક્વોલિટી ફેક્ટરને $Q = \frac{f_{r}}{\Delta f}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta f$ એ બેન્ડવિડ્થ છે. જેમ $R$ ઘટે છે તેમ $Q$ વધે છે,તેથી બેન્ડવિડ્થ $\Delta f = \frac{f_{r}}{Q}$ ઘટવી જોઈએ.
$(iv)$ ઉચ્ચ $Q$ ફેક્ટરનો અર્થ એ છે કે અનુનાદ વક્ર વધુ તીક્ષ્ણ બને છે. આમ,આલેખની તીક્ષ્ણતા વધે છે.
તેથી,વિધાનો $(a)$,$(b)$,અને $(c)$ સાચા છે.

(C) આપેલ સમાંતર $LCR$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $LC$ શાખાનો ઇમ્પિડન્સ શૂન્ય થઈ જાય છે (આદર્શ ઘટકો ધારતા).
જોકે,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ અને અવરોધ $R$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $I = V/R$ છે.
ચૂકવણી કે $R$ એ $LC$ સંયોજન સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,$R$ પરનો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V$ જેટલો જ રહે છે.
તેથી,અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{max} = V/R$ છે,જે આ સર્કિટ માટે શક્ય મહત્તમ મૂલ્ય છે અને તે મર્યાદિત છે.

(C) $L$ ના પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે.
$C$ ના પરિમાણ $[M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$ છે.
$R$ ના પરિમાણ $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
સંયોજન $1/\sqrt{LC}$ માટે:
$\frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{[M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]}} = \frac{1}{\sqrt{T^2}} = T^{-1}$.
આવૃત્તિનું પરિમાણ $T^{-1}$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
નોંધ: $R/L$ પણ આવૃત્તિના પરિમાણ $(T^{-1})$ ધરાવે છે,પરંતુ $1/\sqrt{LC}$ એ પ્રમાણિત અનુનાદિત આવૃત્તિનું સંયોજન છે.

(D) ઇન્ડક્ટરનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કોઈલના અવરોધના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Q = \frac{X_L}{R}$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$Q = \frac{\omega L}{R}$
આમ,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega L}{R}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 10\,mH = 10^{-2}\,H$,આવૃત્તિ $f = 1\,MHz = 10^6\,Hz$,$\pi^2 = 10$.
$LCR$ સર્કિટ માટે રેઝોનન્સની શરત નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$f^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$
$C$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$C = \frac{1}{4\pi^2f^2L}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{4 \times 10 \times (10^6)^2 \times 10^{-2}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^{12} \times 10^{-2}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^{10}} = \frac{1}{4} \times 10^{-11} = 0.25 \times 10^{-11}\,F$
$pF$ માં ફેરવતા $(1\,pF = 10^{-12}\,F)$:
$C = 2.5 \times 10^{-12}\,F = 2.5\,pF$.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઇમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ સમાન અને વિરુદ્ધ હોય,જેથી $X_L - X_C = 0$ થાય.
આ સ્થિતિમાં,ઇમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ બને છે,અને પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ મહત્તમ બને છે.
કારણ કે અનુનાદ માટેની શરત ખરેખર $X_L = X_C$ છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(N/A) અનુનાદ જે આવૃત્તિ પર થાય છે તે સૂત્ર $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = 25.48 \times 10^{-3} \, H$ અને $C = 796 \times 10^{-6} \, F$ કિંમતો મૂકતા:
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{25.48 \times 10^{-3} \times 796 \times 10^{-6}}} = 222.1 \, rad/s$.
હર્ટ્ઝમાં અનુનાદ આવૃત્તિ $v_{r} = \frac{\omega_{0}}{2\pi} = \frac{222.1}{2 \times 3.14} \approx 35.4 \, Hz$ છે.
$(b)$ અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે $(X_{L} = X_{C})$,તેથી ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલું થાય છે:
$Z = R = 3 \, \Omega$.
અનુનાદ સમયે rms પ્રવાહ $I = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{peak} / \sqrt{2}}{R} = \frac{283 / 1.414}{3} \approx 66.7 \, A$ છે.
અનુનાદ સમયે વ્યય થતો પાવર $P = I^{2}R = (66.7)^{2} \times 3 \approx 13.35 \, kW$ છે.

(B) મેટલ ડિટેક્ટર $AC$ સર્કિટમાં $LC$ અનુનાદના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ મેટલ ડિટેક્ટરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે એક મોટા ગૂંચળા (કોઇલ) માંથી પસાર થાય છે જે ઇન્ડક્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગૂંચળું એક $LC$ સર્કિટનો ભાગ છે જે ચોક્કસ અનુનાદિત આવૃત્તિ પર ટ્યુન કરેલું હોય છે.
ધાતુની વસ્તુની હાજરી ગૂંચળાના અસરકારક ઇન્ડક્ટન્સને બદલે છે,જે સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિમાં ફેરફાર કરે છે.
આ ફેરફારને કારણે સર્કિટ અનુનાદની સ્થિતિમાંથી બહાર નીકળી જાય છે,જેના પરિણામે સર્કિટમાં વહેતા પ્રવાહમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થાય છે.
આ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારને ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટ દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે,જે એલાર્મનો અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) આપેલ કિંમતો: $L = 2.0 \; H$,$C = 32 \times 10^{-6} \; F$,અને $R = 10 \; \Omega$.
અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_{r}$ નું સૂત્ર $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega_{r} = \frac{1}{\sqrt{2.0 \times 32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = 125 \; rad/s$.
શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ પરિપથ માટે $Q$-ફેક્ટર (Quality factor) નું સૂત્ર $Q = \frac{\omega_{r} L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{125 \times 2.0}{10} = \frac{250}{10} = 25$.
વૈકલ્પિક રીતે,$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2.0}{32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{40} = 25$.
આમ,$Q$-ફેક્ટર $25$ છે.

(D) આપેલ છે:
$R = 20\; \Omega$
$L = 1.5\; H$
$C = 35\; \mu F = 35 \times 10^{-6}\; F$
$V = 200\; V$
અનુનાદની સ્થિતિમાં,સપ્લાયની આવૃત્તિ એ પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી,ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 20\; \Omega$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{20} = 10\; A$ છે.
પરિપથને મળતો સરેરાશ પાવર $P = I^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (10)^2 \times 20 = 100 \times 20 = 2000\; W$.

(N/A) આપેલ છે: $V_{rms} = 230 \; V$,$L = 5.0 \; H$,$C = 80 \; \mu F = 80 \times 10^{-6} \; F$,$R = 40 \; \Omega$.
$(a)$ અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{20 \times 10^{-3}} = 50 \; rad/s$.
$(b)$ અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 40 \; \Omega$.
$rms$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{230}{40} = 5.75 \; A$.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms} = 1.414 \times 5.75 \approx 8.13 \; A$.
$(c)$ $rms$ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ નીચે મુજબ છે:
$V_R = I_{rms} R = 5.75 \times 40 = 230 \; V$.
$X_L = \omega_0 L = 50 \times 5 = 250 \; \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega_0 C} = \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4000 \times 10^{-6}} = 250 \; \Omega$.
$V_L = I_{rms} X_L = 5.75 \times 250 = 1437.5 \; V$.
$V_C = I_{rms} X_C = 5.75 \times 250 = 1437.5 \; V$.
$LC$ સંયોજન માટે,$V_{LC} = I_{rms} |X_L - X_C| = 5.75 \times |250 - 250| = 0 \; V$. આમ,અનુનાદ સમયે $LC$ સંયોજન પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ શૂન્ય છે.

(A) આપેલ છે: $L = 0.12\, H$,$C = 480\, nF = 480 \times 10^{-9}\, F$,$R = 23\, \Omega$,$V_{rms} = 230\, V$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = \sqrt{2} \times 230 = 325.27\, V$.
$(a)$ અનુનાદ વખતે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે. અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.12 \times 480 \times 10^{-9}}} = 4166.67\, rad/s$.
આવૃત્તિ $f_R = \frac{\omega_R}{2\pi} = \frac{4166.67}{6.28} \approx 663.48\, Hz$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_0}{R} = \frac{325.27}{23} \approx 14.14\, A$.
$(b)$ અનુનાદ વખતે સરેરાશ પાવર મહત્તમ હોય છે. $f = 663.48\, Hz$.
$P_{max} = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_{max}^2 R = \frac{1}{2} \times (14.14)^2 \times 23 \approx 2299.3\, W$.
$(c)$ હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ $f = f_R \pm \Delta f$ પર પાવર અડધો હોય છે.
બેન્ડવિડ્થ $2\Delta\omega = \frac{R}{L} = \frac{23}{0.12} = 191.67\, rad/s$.
$\Delta f = \frac{\Delta\omega}{2\pi} = \frac{191.67}{2 \times 2 \times 3.14} \approx 15.26\, Hz$.
આવૃત્તિઓ $663.48 + 15.26 = 678.74\, Hz$ અને $663.48 - 15.26 = 648.22\, Hz$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I' = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10\, A$.
$(d)$ $Q$-ફેક્ટર $= \frac{\omega_R L}{R} = \frac{4166.67 \times 0.12}{23} \approx 21.74$.

(A) ઇન્ડક્ટન્સ,$L = 3.0\; H$
કેપેસિટન્સ,$C = 27\; \mu F = 27 \times 10^{-6}\; F$
અવરોધ,$R = 7.4\; \Omega$
અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{3.0 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = 111.11\; rad/s$.
$Q$-ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = \frac{111.11 \times 3.0}{7.4} \approx 45.04$.
'ફુલ વિડ્થ એટ હાફ મેક્સિમમ' (બેન્ડવિડ્થ) $\Delta \omega = \frac{R}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_r$ ને અચળ રાખીને બેન્ડવિડ્થને $2$ ના અવયવથી ઘટાડવા માટે,આપણે અવરોધ $R$ ને $2$ ના અવયવથી ઘટાડવો જોઈએ.
નવો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{7.4}{2} = 3.7\; \Omega$.

(N/A) $V_{m}$ કંપનવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતા વોલ્ટેજ સ્ત્રોત દ્વારા સંચાલિત $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથ માટે,પ્રવાહનો કંપનવિસ્તાર $I_{m}$ નીચે મુજબ છે:
$I_{m} = \frac{V_{m}}{Z} = \frac{V_{m}}{\sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}}$
જ્યાં $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે અને $X_{L} = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે પ્રવાહનો કંપનવિસ્તાર $I_{m}$ મહત્તમ હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ હોય. $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}$ હોવાથી,$Z$ ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે $X_{C} - X_{L} = 0$,એટલે કે $X_{C} = X_{L}$.
આ સ્થિતિમાં:
$X_{C} = X_{L} \implies \frac{1}{\omega_{0} C} = \omega_{0} L \implies \omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC} \implies \omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
જ્યાં $\omega_{0}$ એ અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે અને પ્રવાહનો કંપનવિસ્તાર $I_{m} = \frac{V_{m}}{R}$ થાય છે.
ઉપયોગો: $L-C-R$ પરિપથમાં અનુનાદનો મુખ્ય ઉપયોગ રેડિયો અને ટેલિવિઝન રીસીવરોમાં ટ્યુનિંગ સર્કિટ તરીકે થાય છે,જેથી સિગ્નલોની શ્રેણીમાંથી ચોક્કસ આવૃત્તિ પસંદ કરી શકાય.
તે ફક્ત એવા $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં શક્ય છે જેમાં ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંને હાજર હોય.

(N/A) $1$. અનુનાદની તીવ્રતા: અનુનાદની તીવ્રતા એ અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0$ અને બેન્ડવિડ્થ $2\Delta\omega$ ના ગુણોત્તર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તે $\frac{\omega_0}{2\Delta\omega} = \frac{\omega_0 L}{R}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઊંચું મૂલ્ય વધુ તીવ્ર અનુનાદ સૂચવે છે.
$2$. ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$: ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ને અનુનાદ આવૃત્તિ અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે અનુનાદ વક્રની તીવ્રતા માપે છે. $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
$3$. બેન્ડવિડ્થ: બેન્ડવિડ્થને એવા આવૃત્તિ ગાળા $\Delta\omega_1 + \Delta\omega_2 = 2\Delta\omega$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં સર્કિટમાં પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્યના ઓછામાં ઓછા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો હોય છે. આ આવૃત્તિઓને હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_m = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}$ છે.
અનુનાદ સમયે,$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$,તેથી $I_{max} = V_m/R$.
હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ $\omega_1$ અને $\omega_2$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $I_m = I_{max}/\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $Z = \sqrt{2}R$.
આમ,$R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2 = 2R^2$,જે $\omega L - 1/\omega C = \pm R$ તરફ દોરી જાય છે.
$\omega_2 = \omega_0 + \Delta\omega$ માટે,આપણી પાસે $\omega_2 L - 1/(\omega_2 C) = R$ છે.
$\omega_2 = \omega_0 + \Delta\omega$ મૂકતા અને $\omega_0 L = 1/(\omega_0 C)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L(2\Delta\omega) = R$ મળે છે,તેથી બેન્ડવિડ્થ $2\Delta\omega = R/L$ છે.
$Q$ ફેક્ટરને $Q = \omega_0 / (2\Delta\omega) = \omega_0 L / R = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) રેઝોનન્સ આવૃત્તિ અવરોધ $R$ થી સ્વતંત્ર છે,પરંતુ રેઝોનન્સની તીક્ષ્ણતા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
રેઝોનન્સની તીક્ષ્ણતા $= \frac{\omega_{0}}{2 \Delta \omega}$
$= \frac{\omega_{0} L}{R}$
અહીં,$\frac{\omega_{0} L}{R}$ ને સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ કહેવામાં આવે છે.
$\therefore$ ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$
$\therefore Q = \frac{\text{રેઝોનન્સ આવૃત્તિ}}{\text{બેન્ડવિડ્થ}} = \frac{\omega_{0}}{\omega_{2} - \omega_{1}}$
$\therefore 2 \Delta \omega = \frac{\omega_{0}}{Q}$,જ્યાં $\omega_{2}$ અને $\omega_{1}$ એ એવી આવૃત્તિઓ છે જ્યાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $(I_{\text{rms}})_{\max}$ ના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો હોય છે.
આમ,$Q$ નું મૂલ્ય જેટલું મોટું,તેટલી બેન્ડવિડ્થ $(2 \Delta \omega)$ નાની અને રેઝોનન્સ તેટલું જ તીક્ષ્ણ હોય છે.
$\omega_{0}^{2} = \frac{1}{LC}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \frac{\omega_{0} L}{R} = \frac{\omega_{0}}{R} \times \frac{1}{\omega_{0}^{2} C} = \frac{1}{\omega_{0} R C}$
જો રેઝોનન્સ ઓછું તીક્ષ્ણ હોય,તો મહત્તમ પ્રવાહ ઓછો હોય છે અને સર્કિટ આવૃત્તિઓની મોટી રેન્જ $\Delta \omega$ માટે રેઝોનન્સની નજીક રહે છે,જેના પરિણામે ટ્યુનિંગ સારું હોતું નથી. તેથી,ઓછી તીક્ષ્ણતા એટલે ઓછી પસંદગીક્ષમતા (selectivity),અને ઉચ્ચ $Q$ ફેક્ટર એટલે ઉચ્ચ પસંદગીક્ષમતા.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C = 1/(\omega C))$ ની સમાન હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આ સ્થિતિ સૂચવે છે કે $X_L = X_C$,જે $\omega L = 1/(\omega C)$ અથવા $\omega^2 = 1/(LC)$ તરફ દોરી જાય છે.
આ આવૃત્તિ પર,પરિપથનો કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય $(X = X_L - X_C = 0)$ થાય છે.
પરિણામે,પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અવરોધ $(Z = R)$ જેટલો થાય છે,જે શક્ય લઘુત્તમ ઇમ્પિડન્સ છે.
જેમ કે $Z$ લઘુત્તમ છે,પરિપથમાં પ્રવાહ $(I = V/Z)$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવાથી,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(N/A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
$X_L = X_C$ આપેલ હોવાથી,આપણી પાસે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
કારણ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નું સૂત્ર $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, ઈમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમતને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = \sqrt{R^2} = R$ મળે છે.
તેથી, અનુનાદ સમયે પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ એ પરિપથના અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે, જે ઈમ્પિડન્સનું લઘુત્તમ મૂલ્ય છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો $Q$-ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને સર્કિટની બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
તે રેઝોનન્સ પીકની તીવ્રતા દર્શાવે છે.
વધારે $Q$-ફેક્ટર વધુ તીવ્ર રેઝોનન્સ અને સર્કિટની સારી પસંદગીક્ષમતા (selectivity) સૂચવે છે.
તે સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$,કેપેસિટન્સ $(C)$ અને રેઝિસ્ટન્સ $(R)$ ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.