यदि $\theta$ सदिशों $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण है,तो:

वह अचर मान $(\lambda + \mu)$ जिसके लिए रेखाएँ $\vec{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + \mu(\hat{j} + 2\hat{k})$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,बराबर है (जहाँ $\lambda$ और $\mu$ प्राचल हैं)।

यदि $\hat{a}, \hat{b}$ और $\hat{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$,तो $\hat{a} \cdot \hat{b}+\hat{b} \cdot \hat{c}+\hat{c} \cdot \hat{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = -4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{b} = \sqrt{2} \hat{i} - \sqrt{2} \hat{j}$ दो सदिश हैं,तो सदिशों $2 \vec{a}$ और $\frac{\vec{b}}{2}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

निम्नलिखित रेखाओं के युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और
$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$

दो सदिशों $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$ पर विचार करें,जहाँ $\lambda > 0$ है। उनके बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$ है। मान लीजिए $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,जहाँ $\vec{v}_1$,$\overrightarrow{u}$ के समांतर है और $\vec{v}_2$,$\overrightarrow{u}$ के लंबवत है। तो $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ का मान क्या होगा?