मान लीजिए vec{w}=hat{i}+hat{j}-2 hat{k},और ve | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} 	imes \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \ve

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$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (1), (R) \rightarrow (4), (S) \rightarrow (5)$

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(A) दिया गया है $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$। चूँकि $\vec{u} 	imes \vec{v} = \vec{w}$,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।साथ ही,$\vec{v} 	imes \vec{w} = \vec{u}$,जिसका अर्थ है $\vec{u} \perp \vec{w}$ और $\vec{v} \perp \vec{w}$।समीकरणों की प्रणाली $-t\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha - t\beta + \gamma = 0$,$\alpha + \beta - t\gamma = 0$ का एक गैर-तुच्छ हल तब होता है यदि सारणिक शून्य हो:$\begin{vmatrix} -t & 1 & 1 \ 1 & -t & 1 \ 1 & 1 & -t \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -(t^3 - 1) - 1(-t - 1) + 1(1 + t) = 0 \Rightarrow -t^3 + 1 + t + 1 + 1 + t = 0 \Rightarrow t^3 - 2t - 3 = 0$।गुणनखंड करने पर $(t+1)(t^2 - t - 3) = 0$ प्राप्त होता है। दी गई शर्तों के लिए,$t = -1$ या $t = 2$।यदि $t = 2$,तो $\alpha = \beta = \gamma$। चूँकि $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$,$\alpha + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\alpha - 2\alpha = 0$,जो सुसंगत है।$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{6}$ का उपयोग करते हुए,$3\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha^2 = 2$। अतः $\alpha = \pm \sqrt{2}$। $t=2$ के लिए,$t+3 = 5$।यदि $t = -1$,तो $\alpha + \beta + \gamma = 0$। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2\gamma = 0$।घटाने पर $3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ प्राप्त होता है। तब $\beta = -\alpha$।$\alpha = \sqrt{3}$ के लिए,$\gamma^2 = 0$ और $(\beta + \gamma)^2 = (-\sqrt{3} + 0)^2 = 3$।इस प्रकार,$(P) ightarrow (2), (Q) ightarrow (1), (R) ightarrow (4), (S) ightarrow (5)$।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $\|\vec{v}\|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

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