मान लीजिए hat{i}, hat{j} और hat{k} तीन धनात्म | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat

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$B, C, D$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$।मैट्रिक्स समीकरण से,हमें प्राप्त होता है:$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$ये समीकरण क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ को दर्शाते हैं।दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$। चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$। अतः,$(B)$ सत्य है।दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $\vec{c} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$। अतः $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 
eq 0$। अतः,$(A)$ असत्य है।$\vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ से,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{b} 	imes \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$।चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,हमारे पास $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ है।$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (चूँकि $|\vec{b}|^2 \geq 1$),इसलिए $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$। अतः,$(D)$ सत्य है।चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$। वर्ग करने पर: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$। चूँकि $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$। इसलिए $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,इसलिए $|\vec{b}| > \sqrt{10}$। अतः,$(C)$ सत्य है।इसलिए,$(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

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