$A, B, P, Q, R$ एक समतल में स्थित पाँच बिंदु हैं। यदि बिंदु $A$ पर कार्य करने वाले बल $\overline{AP}, \overline{AQ}, \overline{AR}$ हैं और बिंदु $B$ पर कार्य करने वाले बल $\overline{PB}, \overline{QB}, \overline{RB}$ हैं,तो इन सभी बलों का परिणामी बल ज्ञात कीजिए।

बिंदु $B$ एक वृत्त के चतुर्थांश के चाप $AC$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि $O$ केंद्र है और $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ तथा $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ है,तो सदिश $\overrightarrow{OC}$ क्या है?

यदि बिंदु $D, E, F$ त्रिभुज $\triangle ABC$ की भुजाओं $BC, CA, AB$ को क्रमशः $1:4, 3:2, 3:7$ के अनुपात में विभाजित करते हैं और बिंदु $K, AB$ को किसी अनुपात में विभाजित करता है,तो $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$

मान लीजिए $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,और $r = 2a - 3b + 4c$ है। यदि $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ है,तो:

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ और $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ और यदि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

मान लीजिए कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तीन दिए गए सदिश हैं। मान लीजिए कि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश है जिसका $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है। यदि $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ है,तो $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।