Mix Examples-Vector Algebra Questions in Hindi

(C) दिया गया है,$\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = x\vec{d}$.
साथ ही,$\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = y\vec{d}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = x\vec{d} - y\vec{d}$.
यह सरल होकर $\vec{a} - \vec{d} = (x - y)\vec{d}$ देता है,जिसका अर्थ है $\vec{a} = (x - y + 1)\vec{d}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,$\vec{d}$ को इन सदिशों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए.
दिए गए समीकरणों से,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ वह स्थिति है जो असमतलीय सदिशों के लिए संतुष्ट होती है.
अतः,$\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(B) दिया गया है: $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=2(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(i)$
साथ ही,$\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$
दोनों पक्षों में $(\vec{b}-\vec{c})$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times(\vec{b}-\vec{c}))+l^2(\vec{c} \times(\vec{b}-\vec{c}))=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{c})+l^2(\vec{c} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{c})=0$
चूंकि $\vec{b} \times \vec{b}=0$ और $\vec{c} \times \vec{c}=0$,इसलिए:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})-l(\vec{b} \times \vec{c})-l^2(\vec{b} \times \vec{c})=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=(l+l^2)(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$l^2+l=2$
$l^2+l-2=0$
$(l+2)(l-1)=0$
अतः,$l=-2$ या $l=1$ है।
$l$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (-1)(-1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$,जो $(C)$ के अनुरूप है।
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
अतः,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$,जो $(A)$ के अनुरूप है।
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - 1(-1-1) + 1(1+1) = 0 + 2 + 2 = 4$,जो $(F)$ के अनुरूप है।
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(1+1) = 2\hat{j} + 2\hat{k}$,जो $(E)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $i-C, ii-A, iii-F, iv-E$ है।

(A) दिया गया है कि $b$ और $c$ असंरेख सदिश हैं और $|c| \neq 0$ है।
$(c \cdot c) a=c$ से,दोनों पक्षों का $c$ के साथ अदिश गुणन करने पर,$(c \cdot c)(a \cdot c) = (c \cdot c)$ प्राप्त होता है। चूंकि $|c| \neq 0$,इसलिए $c \cdot c \neq 0$,अतः $a \cdot c = 1$ $(i)$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times(b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ का उपयोग करने पर,दिया गया समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c + (a \cdot b) b = (4-2 \beta-\sin \alpha) b + (\beta^2-1) c$।
दोनों पक्षों में $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$b$ का गुणांक: $a \cdot c + a \cdot b = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$।
$c$ का गुणांक: $-a \cdot b = \beta^2 - 1$ $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$।
$\sin \alpha = \beta^2 - 2 \beta + 2 = (\beta - 1)^2 + 1$।
चूंकि $\sin \alpha \leq 1$ और $(\beta - 1)^2 + 1 \geq 1$ है,इसलिए एकमात्र समाधान $(\beta - 1)^2 = 0$ और $\sin \alpha = 1$ है।
अतः,$\beta = 1$ और $\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}$ हो जाती है।
चूंकि $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{AC}+2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})-2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{DC}$.
चूंकि $Q$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{QC}$.
$P$,$DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$ और $\overrightarrow{PC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$,अर्थात $\overrightarrow{DC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3(2\overrightarrow{QC}) - 4(\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}) = 6\overrightarrow{QC} - 6\overrightarrow{PC} = 6(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CP}) = 6\overrightarrow{QP}$.
चूंकि $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$,हमें $6\overrightarrow{QP} = -6\overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।
$k\overrightarrow{PQ}$ के साथ तुलना करने पर,$k = -6$ प्राप्त होता है।

(D) यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं,तो $a \cdot b = 0$.
अब विचार करें,$|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{2} + |b|^{2}$.
अतः,विकल्प $(a)$ हमेशा सत्य है।
$(b)$ यदि $a$ और $b$ एक दूसरे के लंबवत हैं,तो $a \cdot b = 0$.
अब विचार करें,$|a+\lambda b|^{2} = (a+\lambda b) \cdot (a+\lambda b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2} + 2\lambda(a \cdot b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}$.
चूंकि $\lambda^{2}|b|^{2} \geq 0$,इसलिए $|a+\lambda b| = \sqrt{|a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}} \geq |a|$ सभी $\lambda \in R$ के लिए।
अतः,विकल्प $(b)$ हमेशा सत्य है।
$(c)$ विचार करें,$|a+b|^{2} + |a-b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) + (a-b) \cdot (a-b) = (|a|^{2} + |b|^{2} + 2a \cdot b) + (|a|^{2} + |b|^{2} - 2a \cdot b) = 2(|a|^{2} + |b|^{2})$.
अतः,विकल्प $(c)$ हमेशा सत्य है।
$(d)$ $a = -b$ और $b \neq 0$ पर विचार करें।
तब,$|a+\lambda b| = |-b + \lambda b| = |\lambda - 1||b|$.
शर्त $|a+\lambda b| \geq |a|$ के सत्य होने के लिए,हमें $|\lambda - 1||b| \geq |-b| = |b|$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $|\lambda - 1| \geq 1$.
यह सभी $\lambda \in R$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,यदि $\lambda = 0.5$,तो $|0.5 - 1| = 0.5$,जो $1$ से बड़ा या बराबर नहीं है)।
अतः,विकल्प $(d)$ हमेशा सत्य नहीं है।

(B) दिया गया है $\vec{a}_k = (\tan \theta_k)\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b}_k = \hat{i} - (\cot \theta_k)\hat{j}$।
वर्ग परिमाणों (squared magnitudes) की गणना करने पर:
$|\vec{a}_k|^2 = \tan^2 \theta_k + 1 = \sec^2 \theta_k = \frac{1}{\cos^2 \theta_k}$.
$|\vec{b}_k|^2 = 1 + \cot^2 \theta_k = \csc^2 \theta_k = \frac{1}{\sin^2 \theta_k}$.
अतः,अनुपात $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2} = \frac{\sum_{k=1}^n \sec^2 \theta_k}{\sum_{k=1}^n \csc^2 \theta_k} = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\cos^2 \theta_k}}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sin^2 \theta_k}}$ है।
इस अनुपात को सरल करने पर,दिए गए $\theta_n$ के लिए यह $2^{2n-2}$ प्राप्त होता है।