System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Hindi

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) हम जानते हैं कि यदि $\alpha, \beta, \gamma$ एक रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं,तो उनके कोसाइन के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
यहाँ दिए गए कोण $\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha, \beta$ हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin \alpha$,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
अतः,$\beta = \frac{\pi}{2}$।

(B) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
समीकरण $(i)$ से,$l+m = -n$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$l^2+m^2+2lm = n^2$,इसलिए $l^2+m^2 = n^2-2lm$.
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(n^2-2lm) - n^2 = 0$,जिसका अर्थ है $-2lm = 0$,इसलिए $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $(i)$ से,$m+n=0 \implies m=-n$. $(iii)$ में रखने पर,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $(i)$ से,$l+n=0 \implies l=-n$. $(iii)$ में रखने पर,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ और $(-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ और $(l_2, m_2, n_2) = (1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2| = |0(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(0) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2})| = |1/2| = 1/2$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(A) माना मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ है और बिंदु $P(2, 3, -1)$ है।
रेखा $OP$ के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ हैं।
दूरी $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ प्राप्त होते हैं।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ से,$l = -(m+n)$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ से भाग देने पर,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ प्राप्त होता है। मान लें कि मूल $\frac{n_1}{m_1}$ और $\frac{n_2}{m_2}$ हैं।
अतः $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
इसी प्रकार,$(i)$ से,$m = -(l+n)$। $(ii)$ में रखने पर:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ से भाग देने पर,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ प्राप्त होता है। मान लें कि मूल $\frac{l_1}{n_1}$ और $\frac{l_2}{n_2}$ हैं।
अतः $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ से,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिक अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m-n=0$ $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ (ii)
समीकरण $(i)$ से,$l = n-m$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $m=0$ या $m=n$।
स्थिति $1$: यदि $m=0$ है,तो $l=n$। दिक अनुपात $(1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=n$ है,तो $l=0$। दिक अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 0, 1)$ और $\vec{b} = (0, 1, 1)$ हैं।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए न्यून कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) अभिकथन $(A)$ के लिए: दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों। $L_1$ और $L_2$ के लिए,हमारे पास $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,और $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ है। चूँकि अनुपात समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: शर्त $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्त है,समांतर होने की नहीं। अतः,$(R)$ असत्य है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ असत्य है।

(A) दिए गए संबंध $l+m+n=0$ और $2lm+2nl-mn=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-(m+n))m + 2n(-(m+n)) - mn = 0$
$-2m^2 - 2mn - 2mn - 2n^2 - mn = 0$
$-2m^2 - 5mn - 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$।
स्थिति $1$: $n = -2m$। तब $l = -(m - 2m) = m$। अतः $l=m$ और $n=-2m$। दिक्-अनुपात $(1, 1, -2)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। तब $l = -(-2n + n) = n$। अतः $l=n$ और $m=-2n$। दिक्-अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
मान लीजिए दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1) = 1 - 2 - 2 = -3$।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
$\cos \theta = \left| \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2, z_2)$ हैं। दूरी $d$ को $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,और $\Delta z = z_2 - z_1$ है। तब $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ होगा।
$XY$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_1 = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ है।
$YZ$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_2 = \sqrt{(\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ है।
$ZX$-समतल पर $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $d_3 = \sqrt{(\Delta z)^2 + (\Delta x)^2}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,और $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$ प्राप्त होता है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2)$।
चूँकि $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2d^2$।

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0 \Rightarrow l = -(m+n)$ हैं।
दूसरे समीकरण में $l$ का मान रखने पर: $2(-(m+n))m + 2mn - (-(m+n))n = 0$.
$-2m^2 - 2mn + 2mn + n^2 + mn = 0$.
$-2m^2 + mn + n^2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - mn - n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $2(\frac{m}{n})^2 - (\frac{m}{n}) - 1 = 0$.
माना $x = \frac{m}{n}$,तो $2x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-1) = 0$.
अतः,$\frac{m}{n} = 1$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: यदि $m=n$,तो $l = -2n$. दिक्-अनुपात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m = -\frac{1}{2}n$,तो $l = -\frac{1}{2}n$. दिक्-अनुपात $(-1, -1, 2)$ प्राप्त होते हैं।
माना $\vec{a} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$. विकल्पों के अनुसार,संपूरक कोण $\frac{2\pi}{3}$ है।

(D) दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$4l + m - n = 0 \implies n = 4l + m$ ... $(1)$
$2mn + 10nl + 3lm = 0$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ में $n = 4l + m$ रखने पर:
$2m(4l + m) + 10l(4l + m) + 3lm = 0$
$8lm + 2m^2 + 40l^2 + 10lm + 3lm = 0$
$40l^2 + 21lm + 2m^2 = 0$
$(8l + m)(5l + 2m) = 0$
स्थिति $1$: $m = -8l$. तब $n = 4l - 8l = -4l$. दिक्-अनुपात $(l, -8l, -4l)$ या $(1, -8, -4)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $m = -\frac{5}{2}l$. तब $n = 4l - \frac{5}{2}l = \frac{3}{2}l$. दिक्-अनुपात $(l, -\frac{5}{2}l, \frac{3}{2}l)$ या $(2, -5, 3)$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए दिक्-सदिश $\vec{a} = (1, -8, -4)$ और $\vec{b} = (2, -5, 3)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(2) + (-8)(-5) + (-4)(3)|}{\sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-4)^2} \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 40 - 12|}{\sqrt{1 + 64 + 16} \sqrt{4 + 25 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{81} \sqrt{38}} = \frac{30}{9 \sqrt{38}} = \frac{10}{3 \sqrt{38}}$.