$P(7, -5, 11)$ और $Q(-2, 8, 13)$ बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का,$\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ दिककोसाइन वाली रेखा $AB$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्-कोसाइन (direction cosines) समीकरणों $l+m+n=0$ और $2lm+2ln-mn=0$ द्वारा दी गई हैं।

यदि एक रेखा $L$,$Y$-अक्ष और $Z$-अक्ष के साथ क्रमशः $\pi / 3$ और $\pi / 4$ का कोण बनाती है,तो $L$ और $(1, 1, 1)$ दिक अनुपात वाली दूसरी रेखा के बीच का कोण है

यदि उन रेखाओं के बीच का कोण जिनके दिक अनुपात $2, -1, 2$ और $a, 3, 5$ हैं,$45^\circ$ है,तो $a =$

यदि $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ दो परस्पर लंबवत रेखाओं की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) हैं,तो दर्शाइए कि इन दोनों के लंबवत रेखा की दिक्कोज्याएँ $m_{1} n_{2}-m_{2} n_{1}, n_{1} l_{2}-n_{2} l_{1}, l_{1} m_{2}-l_{2} m_{1}$ हैं।

एक रेखा द्वारा $y$ और $z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाए गए कोण $\beta$ और $\gamma$ में से प्रत्येक,उस कोण का आधा है जो यह रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाती है। तो कोण $\beta$ के सभी संभावित मानों का योग है