System of co-ordinates, Direction cosines and direction ratios, Projection Questions in Gujarati

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા દ્વારા કોઓર્ડિનેટ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા હોય,તો તેમના કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
અહીં આપેલ ખૂણાઓ $\alpha, \frac{\pi}{2}-\alpha, \beta$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin \alpha$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
તેથી,$\beta = \frac{\pi}{2}$.

(B) દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l+m = -n$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$l^2+m^2+2lm = n^2$,તેથી $l^2+m^2 = n^2-2lm$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$(n^2-2lm) - n^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $-2lm = 0$,તેથી $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \implies m=-n$. $(iii)$ માં મૂકતા,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ અને $(0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \implies l=-n$. $(iii)$ માં મૂકતા,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ અને $(-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ અને $(l_2, m_2, n_2) = (1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2| = |0(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(0) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2})| = |1/2| = 1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને બિંદુ $P(2, 3, -1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિક્ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (2 - 0, 3 - 0, -1 - 0) = (2, 3, -1)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right)$ છે.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\left(\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \quad \dots(i)$
$mn-2ln+lm=0 \quad \dots(ii)$
$(i)$ પરથી,$l = -(m+n)$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$mn - 2n(-(m+n)) + m(-(m+n)) = 0$
$mn + 2mn + 2n^2 - m^2 - mn = 0$
$2n^2 + 2mn - m^2 = 0$
$m^2$ વડે ભાગતા,$2(\frac{n}{m})^2 + 2(\frac{n}{m}) - 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{n_1}{m_1}$ અને $\frac{n_2}{m_2}$ છે.
તેથી $\frac{n_1 n_2}{m_1 m_2} = -\frac{1}{2} \implies n_1 n_2 = -\frac{1}{2} m_1 m_2 \quad \dots(iii)$
તે જ રીતે,$(i)$ પરથી,$m = -(l+n)$. $(ii)$ માં મૂકતા:
$n(-(l+n)) - 2ln + l(-(l+n)) = 0$
$-ln - n^2 - 2ln - l^2 - ln = 0$
$l^2 + 4ln + n^2 = 0$
$n^2$ વડે ભાગતા,$(\frac{l}{n})^2 + 4(\frac{l}{n}) + 1 = 0$ મળે. ધારો કે બીજ $\frac{l_1}{n_1}$ અને $\frac{l_2}{n_2}$ છે.
તેથી $\frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = 1 \implies l_1 l_2 = n_1 n_2 \quad \dots(iv)$
$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ થાય છે. તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m-n=0$ $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l = n-m$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે: $m=0$ અથવા $m=n$.
કિસ્સો $1$: જો $m=0$ હોય,તો $l=n$. દિકગુણોત્તરો $(1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=n$ હોય,તો $l=0$. દિકગુણોત્તરો $(0, 1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 0, 1)$ અને $\vec{b} = (0, 1, 1)$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,લઘુકોણ $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) વિધાન $(A)$ માટે: બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોય. $L_1$ અને $L_2$ માટે,આપણી પાસે $\frac{2}{4/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,$\frac{5}{10/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$,અને $\frac{7}{14/\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ છે. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે: શરત $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ એ બે રેખાઓ લંબ હોવાની શરત છે,સમાંતર હોવાની નહીં. તેથી,$(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(A) આપેલ સંબંધો $l+m+n=0$ અને $2lm+2nl-mn=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-(m+n))m + 2n(-(m+n)) - mn = 0$
$-2m^2 - 2mn - 2mn - 2n^2 - mn = 0$
$-2m^2 - 5mn - 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $n = -2m$. તો $l = -(m - 2m) = m$. તેથી $l=m$ અને $n=-2m$. દિકગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. તો $l = -(-2n + n) = n$. તેથી $l=n$ અને $m=-2n$. દિકગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1) = 1 - 2 - 2 = -3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \left| \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2, z_2)$ છે. અંતર $d$ એ $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,અને $\Delta z = z_2 - z_1$. તો $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$.
$XY$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_1 = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ છે.
$YZ$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_2 = \sqrt{(\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ છે.
$ZX$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_3 = \sqrt{(\Delta z)^2 + (\Delta x)^2}$ છે.
આનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,અને $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2)$.
કારણ કે $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,તેથી આપણને મળે છે:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2d^2$.

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0 \Rightarrow l = -(m+n)$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-(m+n))m + 2mn - (-(m+n))n = 0$.
$-2m^2 - 2mn + 2mn + n^2 + mn = 0$.
$-2m^2 + mn + n^2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - mn - n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $2(\frac{m}{n})^2 - (\frac{m}{n}) - 1 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{m}{n}$,તો $2x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-1) = 0$.
તેથી,$\frac{m}{n} = 1$ અથવા $\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $m=n$,તો $l = -2n$. દિકગુણોત્તરો $(-2, 1, 1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $m = -\frac{1}{2}n$,તો $l = -\frac{1}{2}n$. દિકગુણોત્તરો $(-1, -1, 2)$ મળે.
ધારો કે $\vec{a} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$. વિકલ્પો મુજબ,પૂરક ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(D) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$4l + m - n = 0 \implies n = 4l + m$ ... $(1)$
$2mn + 10nl + 3lm = 0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માં $n = 4l + m$ મૂકતા:
$2m(4l + m) + 10l(4l + m) + 3lm = 0$
$8lm + 2m^2 + 40l^2 + 10lm + 3lm = 0$
$40l^2 + 21lm + 2m^2 = 0$
$(8l + m)(5l + 2m) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -8l$. તેથી $n = 4l - 8l = -4l$. દિકગુણોત્તર $(l, -8l, -4l)$ અથવા $(1, -8, -4)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{5}{2}l$. તેથી $n = 4l - \frac{5}{2}l = \frac{3}{2}l$. દિકગુણોત્તર $(l, -\frac{5}{2}l, \frac{3}{2}l)$ અથવા $(2, -5, 3)$ મળે.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{a} = (1, -8, -4)$ અને $\vec{b} = (2, -5, 3)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(2) + (-8)(-5) + (-4)(3)|}{\sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-4)^2} \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 + 40 - 12|}{\sqrt{1 + 64 + 16} \sqrt{4 + 25 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{81} \sqrt{38}} = \frac{30}{9 \sqrt{38}} = \frac{10}{3 \sqrt{38}}$.