Plane Questions in Hindi

(C) समतल का समीकरण $6x - 3y + 2z = 6$ है। $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है। अतः,अंतःखंड $a = 1, b = -2, c = 3$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है। इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ हैं।
मूल बिंदु से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है। यहाँ $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ है।
अब,$|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ की गणना करें।
चूँकि $p = \frac{6}{7}$,इसलिए $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ है।

(A) मान लीजिए कि निर्देशांक अक्षों पर समतल के अंतःखंड $a, b, c$ हैं। अतः,बिंदु $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, r, r^2)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(5, 5, -12)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ से गुणा करने पर,हमें $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2r^2 + 5r - 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2r - 3)(r + 4) = 0$।
अतः,$r = \frac{3}{2}$ या $r = -4$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है। बिंदु $(2, -1, -3)$ रखने पर,हमें $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ दिशा अनुपात वाली रेखाओं के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ इन दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$3a + 2b - 4c = 0$ और $2a - 3b + 2c = 0$।
अभिलंब सदिश ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर,$(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$।
अभिलंब सदिश $(8, 14, 13)$ लेने पर,समतल का समीकरण $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,जो सरल होकर $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया बिंदु $P(a, b, c)$ है।
$YZ$-समतल पर लंब $PA$ खींचा गया है। अतः $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ हैं।
$ZX$-समतल पर लंब $PB$ खींचा गया है। अतः $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
समतल $O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$ और $B(a, 0, c)$ से होकर गुजरता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
अतः,मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $bcx + acy - abz = 0$ है।

(A) माना घूर्णन के बाद समतल का समीकरण $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ है।
समतल $P_{1}: \ell x+my=0$ और $P_{2}: z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा वह रेखा है जहाँ $\ell x+my=0$ और $z=0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ और $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ हैं।
समतलों $P_{1}$ और $P_{3}$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ का मान $P_{3}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 5)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ है।
रेखाखंड $AB$ के दिक् अनुपात $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,इसलिए $AB$ समतल का अभिलंब है। अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है,जिसे $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इन मानों को रखने पर: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$,अर्थात $x + y + z = 9$।

(D) समतल $(1, 2, -3)$ और $(2, -2, 1)$ से गुजरता है। इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $X$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका अभिलंब इकाई सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}$ और $\hat{i}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और $(0, 1, 1)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $x+y+2z-6=0$ और $2x-y+z-9=0$ हैं।
इन्हें सामान्य रूप $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) समतल का समीकरण $2x - y + 2z - 1 = 0$ दिया गया है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ और $X$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ है।
अदिश गुणन करने पर: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{a}| = 1$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.