Mix Examples-Co-ordinate Geometry of Three Dimensions Questions in Hindi

(C) चतुष्फलक के शीर्ष $A(3,2,4)$,$B(x_1, y_1, 0)$,$C(x_2, y_2, 0)$,और $D(x_3, y_3, 0)$ हैं।
त्रिभुज $BCD$ रेखाओं $y=x$,$x+y=6$,और $y=1$ के प्रतिच्छेदन से बनता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$1$) $y=x$ और $y=1 \Rightarrow x=1$. शीर्ष $B = (1,1,0)$.
$2$) $x+y=6$ और $y=1 \Rightarrow x=5$. शीर्ष $D = (5,1,0)$.
$3$) $y=x$ और $x+y=6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3, y=3$. शीर्ष $C = (3,3,0)$.
चतुष्फलक का केंद्रक $G = \left(\frac{\sum x_i}{4}, \frac{\sum y_i}{4}, \frac{\sum z_i}{4}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$G = \left(\frac{3+1+3+5}{4}, \frac{2+1+3+1}{4}, \frac{4+0+0+0}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{7}{4}, \frac{4}{4}\right) = \left(3, \frac{7}{4}, 1\right)$.

(C) माना $AD$,$\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक है जो $BC$ को $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,भुजा $BC$ को भुजाओं $AB:AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(2-4)^2 + (3-7)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(2-4)^2 + (5-7)^2 + (7-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{4+2}{3}, \frac{10+3}{3}, \frac{14+4}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
अब,$AD$ की लंबाई की गणना करें:
$AD = \sqrt{(2-4)^2 + (\frac{13}{3} - 7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\frac{8}{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{2\sqrt{34}}{3}$.

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन को एक निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखें कि उसके शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ हों।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक जाने वाले घन के विकर्ण पर विचार करें। इस विकर्ण को दर्शाने वाला सदिश $\vec{d_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
उसी मूल बिंदु $(0,0,0)$ से $(a,a,0)$ तक जाने वाले फलक के विकर्ण पर विचार करें। इस विकर्ण को दर्शाने वाला सदिश $\vec{d_2} = a\hat{i} + a\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(a) + (a)(a) + (a)(0) = 2a^2$.
परिमाण की गणना: $|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$ और $|\vec{d_2}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
इसलिए,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(C) माना शीर्ष $A(0,0,0)$,$B(3,4,0)$,और $C(0,12,5)$ हैं।
सबसे पहले,हम शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई क्रमशः $a, b, c$ ज्ञात करते हैं।
$a = BC = \sqrt{(0-3)^2 + (12-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 64 + 25} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (12-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अंतःकेंद्र $I(x, y, z)$ का $x$-निर्देशांक सूत्र $x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = \frac{(7\sqrt{2})(0) + (13)(3) + (5)(0)}{7\sqrt{2} + 13 + 5} = \frac{0 + 39 + 0}{18 + 7\sqrt{2}} = \frac{39}{18 + 7\sqrt{2}}$.

(A) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2 = 4 + 4 + 1 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (1-2)^2 + (-3+1)^2 + (1-3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \implies BC = 3$.
$AC^2 = (1-0)^2 + (-3-1)^2 + (1-2)^2 = 1 + 16 + 1 = 18 \implies AC = 3\sqrt{2}$.
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 9 + 9 = 18 = AC^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $B$ समकोण है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र $(H)$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,इसलिए $H = B(2,-1,3)$.
परिकेंद्र $(O)$ कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु होता है।
$O = \left( \frac{0+1}{2}, \frac{1-3}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{3}{2} \right)$.
दूरी $OH = \sqrt{(2 - 1/2)^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 3/2)^2}$.
$OH = \sqrt{(3/2)^2 + 0^2 + (3/2)^2} = \sqrt{9/4 + 9/4} = \sqrt{18/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(A) माना $xy$-समतल में बिंदु $P(x, y, 0)$ है।
चूंकि $P$,बिंदुओं $A(2, 0, 3)$,$B(0, 3, 2)$ और $C(0, 0, 1)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2 = PC^2$ होगा।
$PA^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (0-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 9 = x^2 + y^2 - 4x + 13$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 + (0-2)^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9 + 4 = x^2 + y^2 - 6y + 13$.
$PC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = x^2 + y^2 + 1$.
$PA^2 = PC^2$ को हल करने पर: $x^2 + y^2 - 4x + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -4x = -12 \implies x = 3$.
$PB^2 = PC^2$ को हल करने पर: $x^2 + y^2 - 6y + 13 = x^2 + y^2 + 1 \implies -6y = -12 \implies y = 2$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(3, 2, 0)$ हैं।

(B) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है। दिए गए बिंदु $F_1(a, 0, 0)$ और $F_2(-a, 0, 0)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$PF_1 + PF_2 = 2k$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+a)^2 + y^2 + z^2} = 2k$.
माना $d^2 = y^2 + z^2$. तब $\sqrt{(x-a)^2 + d^2} = 2k - \sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-a)^2 + d^2 = 4k^2 + (x+a)^2 + d^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$x^2 - 2ax + a^2 = 4k^2 + x^2 + 2ax + a^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$-4ax - 4k^2 = -4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$ax + k^2 = k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
पुनः वर्ग करने पर: $a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2)$.
$a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2x^2 + 2axk^2 + k^2a^2 + k^2(y^2 + z^2)$.
$x^2(a^2 - k^2) + k^2(y^2 + z^2) = k^2a^2 - k^4 = -k^2(k^2 - a^2)$.
$-k^2(k^2 - a^2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2(a^2 - k^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} + \frac{k^2(y^2 + z^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} = 1$.
$\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2 + z^2}{k^2 - a^2} = 1$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में,परिकेंद्र $(S)$,केंद्रक $(G)$ और लंबकेंद्र $(O)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक,परिकेंद्र और लंबकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना परिकेंद्र $S(x, y, z)$ है। दिया गया है $O(-3, 5, 2)$ और $G(3, 3, 4)$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left(\frac{1 \cdot O + 2 \cdot S}{1+2}\right) = \left(\frac{-3+2x}{3}, \frac{5+2y}{3}, \frac{2+2z}{3}\right)$
इसे दिए गए केंद्रक $(3, 3, 4)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{-3+2x}{3} = 3 \Rightarrow -3+2x = 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
$\frac{5+2y}{3} = 3 \Rightarrow 5+2y = 9 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
$\frac{2+2z}{3} = 4 \Rightarrow 2+2z = 12 \Rightarrow 2z = 10 \Rightarrow z = 5$
अतः,परिकेंद्र $(6, 2, 5)$ है।

(A) एक चतुष्फलक जिसके शीर्ष $A, B, C, D$ हैं,उसका केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $A(3,2,-1), B(4,1,1), C(6,2,5), D(3,3,3)$ के लिए,केंद्रक $G$ है:
$G = \left(\frac{3+4+6+3}{4}, \frac{2+1+2+3}{4}, \frac{-1+1+5+3}{4}\right) = \left(\frac{16}{4}, \frac{8}{4}, \frac{8}{4}\right) = (4, 2, 2)$.
चतुष्फलक के एक शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्रक से जोड़ने वाली रेखाएं चतुष्फलक के केंद्रक पर संगामी होती हैं।
अतः,रेखाएं $AG_1, BG_2, CG_3$ और $DG_4$ बिंदु $(4, 2, 2)$ पर संगामी हैं।

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक $A(a_1-d, a_1, a_1+d)$,$B(a_2-d, a_2, a_2+d)$,$C(a_3-d, a_3, a_3+d)$,और $D(a_4-d, a_4, a_4+d)$ हैं।
केंद्रक $G$ शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होता है:
$G = \left(\frac{\sum a_i - 4d}{4}, \frac{\sum a_i}{4}, \frac{\sum a_i + 4d}{4}\right) = (2, 3, k)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1) \frac{\sum a_i - 4d}{4} = 2 \implies \sum a_i - 4d = 8$
$2) \frac{\sum a_i}{4} = 3 \implies \sum a_i = 12$
$3) \frac{\sum a_i + 4d}{4} = k \implies \sum a_i + 4d = 4k$
पहले समीकरण में $\sum a_i = 12$ रखने पर: $12 - 4d = 8 \implies 4d = 4 \implies d = 1$.
तीसरे समीकरण में $\sum a_i = 12$ और $d = 1$ रखने पर: $12 + 4(1) = 4k \implies 16 = 4k \implies k = 4$.
अतः,केंद्रक $G$ $(2, 3, 4)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $G$ की दूरी $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।

(D) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G = \frac{A+B+C+D}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A(1,1,1), B(1,-4,3), C(2,-2,0), D(8,1,4)$।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $G = \left(\frac{1+1+2+8}{4}, \frac{1-4-2+1}{4}, \frac{1+3+0+4}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{-4}{4}, \frac{8}{4}\right) = (3,-1,2)$ है।
यह एक ज्ञात गुण है कि चतुष्फलक के फलकों के केंद्रकों द्वारा निर्मित चतुष्फलक का केंद्रक मूल चतुष्फलक के केंद्रक के समान ही होता है।
इसलिए,$G_1, G_2, G_3, G_4$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $(3,-1,2)$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का केंद्रक,लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना लंबकेंद्र $O(5, 2, -6)$,केंद्रक $G(9, 6, -4)$ और परिकेंद्र $C(x, y, z)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$G = \left( \frac{2x + 5}{3}, \frac{2y + 2}{3}, \frac{2z - 6}{3} \right) = (9, 6, -4)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$9 = \frac{2x + 5}{3} \implies x = 11$.
$6 = \frac{2y + 2}{3} \implies y = 8$.
$-4 = \frac{2z - 6}{3} \implies z = -3$.
अतः,परिकेंद्र $(11, 8, -3)$ है।

(C) माना बिंदु $A(-4, 9, k)$,$B(-1, 6, k)$,और $C(0, 7, 10)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (-1 - (-4))^2 + (6 - 9)^2 + (k - k)^2 = 3^2 + (-3)^2 + 0^2 = 9 + 9 = 18$.
$BC^2 = (0 - (-1))^2 + (7 - 6)^2 + (10 - k)^2 = 1^2 + 1^2 + (10 - k)^2 = 2 + (10 - k)^2$.
$AC^2 = (0 - (-4))^2 + (7 - 9)^2 + (10 - k)^2 = 4^2 + (-2)^2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,दो भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और पाइथागोरस प्रमेय लागू होना चाहिए।
स्थिति $1$: $AB = BC$.
$18 = 2 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = 16 \implies 10 - k = \pm 4 \implies k = 6$ या $k = 14$.
यदि $k = 6$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. चूँकि $18 + 18 = 36$,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,इसलिए यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
यदि $k = 14$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. चूँकि $18 + 18 = 36$,यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
स्थिति $2$: $AB = AC$.
$18 = 20 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = -2$,जो असंभव है।
स्थिति $3$: $BC = AC$.
$2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2 \implies 2 = 20$,जो असंभव है।
अतः,$k$ के $2$ संभावित मान हैं।

(D) माना बिंदु $P(x, y, z)$ है।
$XY$-समतल से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $|z|$ है।
$Z$-अक्ष से बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$XY$-समतल से दूरी,$Z$-अक्ष से दूरी की दोगुनी है:
$|z| = 2 \sqrt{x^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$z^2 = 4(x^2 + y^2)$.
$z^2 = 4x^2 + 4y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 + 4y^2 - z^2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,और $D(x_4, y_4, z_4)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का केंद्रक $G$,$\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 6)$,$C(0, -6, 4)$,और $D(1, 1, 1)$ के लिए,केंद्रक $G = \left(\frac{1-1+0+1}{4}, \frac{2+4-6+1}{4}, \frac{3+6+4+1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{14}{4}\right)$ है।
फलक $BCD$ का केंद्रक $G_1 = \left(\frac{x_2+x_3+x_4}{3}, \frac{y_2+y_3+y_4}{3}, \frac{z_2+z_3+z_4}{3}\right) = \left(\frac{-1+0+1}{3}, \frac{4-6+1}{3}, \frac{6+4+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}, \frac{11}{3}\right)$ है।
एक चतुष्फलक में,केंद्रक $G$ एक शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्रक से जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विशेष रूप से,$G$ माध्यिका $AG_1$ पर स्थित है ताकि $AG : GG_1 = 3 : 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $AG = \frac{3}{4} AG_1$,या $\frac{AG_1}{AG} = \frac{4}{3}$।

(A) त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G_1 = \left(\frac{1+2+0}{3}, \frac{2+0-2}{3}, \frac{0-1+3}{3}\right) = \left(1, 0, \frac{2}{3}\right)$ है।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $G_2 = \left(\frac{1+2+0-1}{4}, \frac{2+0-2+2}{4}, \frac{0-1+3-3}{4}\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, \frac{-1}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ है।
बिंदु $P$,$G_1G_2$ को $4:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}, \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m=4, n=3$:
$x = \frac{4(1/2) + 3(1)}{4+3} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$.
$y = \frac{4(1/2) + 3(0)}{4+3} = \frac{2+0}{7} = \frac{2}{7}$.
$z = \frac{4(-1/4) + 3(2/3)}{4+3} = \frac{-1+2}{7} = \frac{1}{7}$.
अतः,$P = \left(\frac{5}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}\right)$.

(D) एक चतुष्फलक का केंद्रक जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$ और $(x_4, y_4, z_4)$ हैं,का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ है।
दिए गए शीर्ष $(a, 2, 1), (1, b, 4), (4, 0, c)$ और $(1, 1, 7)$ हैं।
अतः,केंद्रक $\left(\frac{a+1+4+1}{4}, \frac{2+b+0+1}{4}, \frac{1+4+c+7}{4}\right) = \left(\frac{a+6}{4}, \frac{b+3}{4}, \frac{c+12}{4}\right)$ होगा।
इसे दिए गए केंद्रक $\left(\frac{9}{4}, \frac{5}{4}, \frac{15}{4}\right)$ के साथ तुलना करने पर:
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{a+6}{4} = \frac{9}{4} \Rightarrow a+6 = 9 \Rightarrow a = 3$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{b+3}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow b+3 = 5 \Rightarrow b = 2$.
$z$-निर्देशांक के लिए: $\frac{c+12}{4} = \frac{15}{4} \Rightarrow c+12 = 15 \Rightarrow c = 3$.
इस प्रकार,$a=3, b=2, c=3$ है। इन मानों की तुलना करने पर,हमें $a=c=b+1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $3=3=2+1$)।

(C) बिंदु $E$ फलक $ABC$ (जो एक त्रिभुज है) का केंद्रक है।
$\text{केंद्रक} = \left[\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right]$
$E = \left[\frac{2+(-3)+(-1)}{3}, \frac{3+3+4}{3}, \frac{-4+(-2)+2}{3}\right] = \left[\frac{-2}{3}, \frac{10}{3}, \frac{-4}{3}\right]$
बिंदु $F$ फलक $ACD$ का केंद्रक है।
$F = \left[\frac{2+(-1)+3}{3}, \frac{3+4+5}{3}, \frac{-4+2+1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-1}{3}\right] = \left[\frac{4}{3}, 4, \frac{-1}{3}\right]$
बिंदु $G$ फलक $ABD$ का केंद्रक है।
$G = \left[\frac{2+(-3)+3}{3}, \frac{3+3+5}{3}, \frac{-4+(-2)+1}{3}\right] = \left[\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, \frac{-5}{3}\right]$
अब,$E, F, G$ एक त्रिभुज बनाते हैं। $\triangle EFG$ का केंद्रक $E, F$ और $G$ के निर्देशांकों का औसत है।
$\triangle EFG \text{ का केंद्रक} = \left[\frac{\frac{-2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}{3}, \frac{\frac{10}{3}+4+\frac{11}{3}}{3}, \frac{\frac{-4}{3}+\left(\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{-5}{3}\right)}{3}\right]$
$= \left[\frac{\frac{4}{3}}{3}, \frac{\frac{10+12+11}{3}}{3}, \frac{\frac{-10}{3}}{3}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{33}{9}, \frac{-10}{9}\right] = \left[\frac{4}{9}, \frac{11}{3}, \frac{-10}{9}\right]$

(C) किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना लंबकेंद्र $O(-1, 3, 2)$ है और परिकेंद्र $C(5, 3, 2)$ है।
केंद्रक $G$,रेखाखंड $OC$ को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G$ के निर्देशांक हैं:
$G = \left( \frac{2(5) + 1(-1)}{2+1}, \frac{2(3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(2) + 1(2)}{2+1} \right)$
$G = \left( \frac{10-1}{3}, \frac{6+3}{3}, \frac{4+2}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right) = (3, 3, 2)$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ कहता है कि अनुपात $1: 2$ है,जो गलत है क्योंकि सही अनुपात $2: 1$ है।
इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ असत्य है।

(C) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ हैं।
घन के दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,सदिश $\vec{d_1} = (a,a,a)$ और $\vec{d_2} = (-a,a,a)$।
उनके बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया गया है: $\cos \alpha = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-a^2+a^2+a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$।
अब,घन के एक विकर्ण $\vec{d_1} = (a,a,a)$ और उसे काटने वाले फलक के एक विकर्ण $\vec{f} = (a,a,0)$ पर विचार करें।
उनके बीच का कोण $\beta$ इस प्रकार दिया गया है: $\cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{f}}{|\vec{d_1}| |\vec{f}|} = \frac{a^2+a^2+0}{\sqrt{3a^2} \sqrt{2a^2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
अतः,$\cos^2 \beta = \frac{2}{3}$।
अंत में,$\cos \alpha + \cos^2 \beta = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$।

(A) बिंदु $P(x, y, z)$ की $X$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $YZ$-समतल से लंबवत दूरी $d_2 = |x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का अनुपात $d_1 : d_2 = 2 : 3$ है।
अतः,$\frac{\sqrt{y^2 + z^2}}{|x|} = \frac{2}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{y^2 + z^2}{x^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$9(y^2 + z^2) = 4x^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (27, -243, 81)$ हैं।
$XY$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है। अतः,$B = (27, -243, -81)$ है।
$YZ$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(-x, y, z)$ होता है। अतः,$C = (-27, -243, 81)$ है।
$ZX$-समतल के सापेक्ष बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, -y, z)$ होता है। अतः,$D = (27, 243, 81)$ है।
त्रिभुज $BCD$ का केंद्रक $(\alpha, \beta, \gamma)$ इसके शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होता है:
$\alpha = \frac{27 - 27 + 27}{3} = \frac{27}{3} = 9$
$\beta = \frac{-243 - 243 + 243}{3} = \frac{-243}{3} = -81$
$\gamma = \frac{-81 + 81 + 81}{3} = \frac{81}{3} = 27$
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 9 - 81 + 27 = -45$.

(A) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है। आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(a, 0, 0)$,$E(0, b, 0)$,$D(0, 0, c)$ आदि हैं।
$d_1$ $XY$-समतल के उस फलक का विकर्ण है जो मूल बिंदु से होकर नहीं गुजरता है। इस फलक के शीर्ष $(0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, b, 0), (a, b, 0)$ हैं। मूल बिंदु से न गुजरने वाला विकर्ण $(a, 0, 0)$ और $(0, b, 0)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है,अर्थात $AE$।
$d_1$ की दिशा का सदिश $\vec{v_1} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
$d_2$ समतल $\Pi_2$ (जो $b$ दूरी पर $ZX$ समतल के समानांतर है) का विकर्ण है जो $d_1$ के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। समतल $\Pi_2$ में बिंदु $(0, b, 0), (a, b, 0), (0, b, c), (a, b, c)$ शामिल हैं। $d_1$ (जो $A(a, 0, 0)$ से शुरू होता है) के साथ उभयनिष्ठ बिंदु वाला विकर्ण $AD$ है,जहाँ $D$ बिंदु $(0, 0, c)$ है।
दी गई आकृति के अनुसार,$d_1$ $AE$ है और $d_2$ $AD$ है।
सदिश $\vec{AE} = (0-a)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -a\hat{i} + b\hat{j}$।
सदिश $\vec{AD} = (0-a)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (c-0)\hat{k} = -a\hat{i} + c\hat{k}$।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| |\vec{AD}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (-a)(-a) + (b)(0) + (0)(c) = a^2$।
$|\vec{AE}| = \sqrt{(-a)^2 + b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$।
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-a)^2 + c^2} = \sqrt{a^2+c^2}$।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$।
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}\right)$।