मान लीजिए कि S सभी वास्तविक संख्याओं का समुच् | vedclass

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Question

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in S$ के लिए,हमारे पास $1 + a \cdot a = 1 + a^2$ है। चूँकि $a^2 \ge 0$,इसलिए $1 + a^2 \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in S

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स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं

Vedclass · Answer

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in S$ के लिए,हमारे पास $1 + a \cdot a = 1 + a^2$ है। चूँकि $a^2 \ge 0$,इसलिए $1 + a^2 \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in S$ के लिए $(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $1 + ab > 0$ है। चूँकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: $a = 1$,$b = -1/2$,और $c = -1$ लें। $(a, b) = (1, -1/2)$ के लिए,$1 + (1)(-1/2) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$,इसलिए $(1, -1/2) \in R$ है।$(b, c) = (-1/2, -1)$ के लिए,$1 + (-1/2)(-1) = 1 + 0.5 = 1.5 > 0$,इसलिए $(-1/2, -1) \in R$ है।हालाँकि,$(a, c) = (1, -1)$ के लिए,$1 + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$,जो $> 0$ नहीं है। अतः,$(1, -1) 
otin R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

मान लीजिए कि $S$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। तो $S$ पर संबंध $R = \{(a, b) : 1 + ab > 0\}$ है

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