प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में संबंध "से कम" है:

मान लीजिए $R$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{N}$ पर एक संबंध है जो $aRb \iff a, b^2$ को विभाजित करता है,द्वारा परिभाषित है। $R$ निम्नलिखित में से किन गुणों को संतुष्ट करता है?
$I.$ स्वतुल्यता
$II.$ सममितता
$III.$ संक्रामकता

मान लीजिए $R$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ पर परिभाषित एक संबंध है,जहाँ $R = \{(a, b) : a\}$ और $b$ दोनों या तो विषम हैं या सम हैं। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। इसके अलावा,सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय $\{1, 3, 5, 7\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय $\{2, 4, 6\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं,लेकिन उपसमुच्चय $\{1, 3, 5, 7\}$ का कोई भी अवयव उपसमुच्चय $\{2, 4, 6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

$4$ अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या किसके बराबर है?

$n \times n$ वास्तविक आव्यूहों $A$ और $B$ के वर्ग पर एक संबंध $R$ को $A R B$ के रूप में परिभाषित करें यदि और केवल यदि एक ऐसा व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह $P$ मौजूद है कि $P A P^{-1} = B$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है जिसमें $10$ अवयव हैं। $A$ से $A$ तक के उन अरिक्त संबंधों की संख्या जो स्वतुल्य हैं लेकिन सममित नहीं हैं,है