$4$ अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या किसके बराबर है?

माना $A$ किसी परिवार के बच्चों का एक अरिक्त समुच्चय है। संबंध $R$,$A$ पर '$x, y$ का भाई है' के रूप में परिभाषित है। यह संबंध है:

समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ पर परिभाषित संबंध $R$ पर विचार करें,जहाँ $(a, b) \in R$ यदि और केवल यदि $1 + ab > 0$ है। तो,कथनों में से:
$I$. $R$ में अवयवों की संख्या $17$ है
$II$. $R$ एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है

मान लीजिए कि समुच्चय $\{a, b, c, d, e, f\}$ पर सभी संबंधों $R$ का समुच्चय $S$ है,जहाँ $R$ स्वतुल्य (reflexive) और सममित (symmetric) है,और $R$ में ठीक $10$ अवयव हैं। तो $S$ में अवयवों की संख्या $...$ है।

मान लीजिए $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $R$,$A$ पर एक संबंध है जो $x R y$ यदि और केवल यदि $0 \leq x^2 + 2y \leq 4$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए $l$,$R$ में तत्वों की संख्या है और $m$,$R$ को स्वतुल्य संबंध बनाने के लिए जोड़े जाने वाले तत्वों की न्यूनतम संख्या है। तो $l+m$ का मान ज्ञात कीजिए।

$3$ अवयवों वाले एक समुच्चय पर कितने स्वतुल्य संबंध (reflexive relations) होते हैं?