मान लीजिए कि R समुच्चय N times N पर एक संबंध | vedclass

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Question

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in N 	imes N$ के लिए,हमारे पास $a + b = b + a$ है,जो दर्शाता है कि $(a, b)R(a, b)$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$.

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एक तुल्यता संबंध

Vedclass · Answer

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in N 	imes N$ के लिए,हमारे पास $a + b = b + a$ है,जो दर्शाता है कि $(a, b)R(a, b)$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b)R(c, d)$ है। तो $a + d = b + c$ है। इसे $c + b = d + a$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दर्शाता है कि $c + b = d + a$ है,इसलिए $(c, d)R(a, b)$ है। अतः,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b)R(c, d)$ और $(c, d)R(e, f)$ है। तो $a + d = b + c$ और $c + f = d + e$ है। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $a + d + c + f = b + c + d + e$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से $c + d$ को हटाने पर,हमें $a + f = b + e$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $(a, b)R(e, f)$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

मान लीजिए कि $R$ समुच्चय $N \times N$ पर एक संबंध है और यह $(a, b)R(c, d) \iff a + d = b + c$ द्वारा परिभाषित है। तो $R$ है

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समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर परिभाषित संबंध $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)\}$ . . . . . . है।

$R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ समुच्चय $A = \{x : x \in N, x < 4\}$ पर परिभाषित है। तो संबंध $R$ . . . . . . है।

यदि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है,तो $R^{-1}$ क्या नहीं है :-

समुच्चय $A$ पर रिक्त संबंध (empty relation) है

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