ધારો કે $S=(0,1) \cup(1,2) \cup(3,4)$ અને $T=\{0,1,2,3\}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $S$ થી $T$ પરના અસંખ્ય વિધેયો છે.
$(B)$ $S$ થી $T$ પરના અસંખ્ય ચુસ્ત રીતે વધતા વિધેયો છે.
$(C)$ $S$ થી $T$ પરના સતત વિધેયોની સંખ્યા વધુમાં વધુ $120$ છે.
$(D)$ $S$ થી $T$ પરનું દરેક સતત વિધેય વિકલનીય છે.

જો $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ એ $f(x) = x + \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $(f(x))^2$ ની કિંમત =

વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$0 \leq x \leq 1$ નો આલેખ નીચે દર્શાવેલ છે. $f_1(x) = f(x)$,$f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$,$n \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો.
નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0$
$II.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \frac{1}{2}$
$III.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1$
$IV.$ એવા અનંત $x \in [0, 1]$ છે જેના માટે $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.

ધારો કે $f(x) = x^{2}$ અને $g(x) = 2x + 1$ બે વાસ્તવિક વિધેયો છે. $(f+g)(x)$,$(f-g)(x)$,$(fg)(x)$,અને $(\frac{f}{g})(x)$ શોધો.

ધારો કે $f_1: R \rightarrow R$,$f_2:[0, \infty) \rightarrow R$,$f_3: R \rightarrow R$ અને $f_4: R \rightarrow [0, \infty)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f_1(x) = \begin{cases} |x| & \text{જો } x < 0 \\ e^x & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$
$f_2(x) = x^2$
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & \text{જો } x < 0 \\ x & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$ અને
$f_4(x) = \begin{cases} f_2(f_1(x)) & \text{જો } x < 0 \\ f_2(f_1(x)) - 1 & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$

યાદી $I$	યાદી $II$
$P. f_4$ એ	$1. \text{વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી}$
$Q. f_3$ એ	$2. \text{ન તો સતત છે ન તો એક-એક}$
$R. f_2 \circ f_1$ એ	$3. \text{વિકલનીય છે પણ એક-એક નથી}$
$S. f_2$ એ	$4. \text{સતત અને એક-એક છે}$

કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x, x \in \mathbb{R}$ અને $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એવા છે કે જેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(f(x)) = x$ થાય. જો $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેમનો મધ્યક શૂન્ય હોય,તો $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ ની કિંમત કેટલી થાય?