Composition of Functions Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ और $g(x) = x + 1$ है।
हमें $x$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(g(x)) = g(f(x))$ हो।
सबसे पहले,$f(g(x))$ की गणना करें:
$f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} + 2(x + 1) - 3 = (x^{2} + 2x + 1) + 2x + 2 - 3 = x^{2} + 4x$.
अब,$g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(x^{2} + 2x - 3) = (x^{2} + 2x - 3) + 1 = x^{2} + 2x - 2$.
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर:
$x^{2} + 4x = x^{2} + 2x - 2$.
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर:
$4x = 2x - 2$.
$4x - 2x = -2$.
$2x = -2$.
$x = -1$.

(A) दिए गए फलन $f(x) = 5 - x^2$ और $g(x) = 3x - 4$ हैं।
$(f \circ g)(-1)$ ज्ञात करने के लिए,हम फलनों के संयोजन की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$।
सबसे पहले,$g(-1)$ की गणना करें:
$g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7$।
अब,इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)$।
$f(x)$ की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f(-7) = 5 - (-7)^2 = 5 - 49 = -44$।
अतः,$(f \circ g)(-1)$ का मान $-44$ है।

(C) मान लीजिए $x_1, x_2 \in S$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$ है।
दोनों पक्षों पर $g$ लागू करने पर,हमें $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ प्राप्त होता है।
यह $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ के बराबर है।
चूंकि $g \circ f$ एक एकैकी प्रतिचित्रण दिया गया है,इसलिए $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ का अर्थ है $x_1 = x_2$ है।
चूंकि $f(x_1) = f(x_2)$ से $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है,इसलिए फलन $f$ अनिवार्य रूप से एकैकी होना चाहिए।
अतः,$f$ अनिवार्य रूप से एकैकी है।

(B) हमें दिया गया है कि $g \circ f: S \rightarrow U$ एक आच्छादक (onto) फलन है।
आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक अवयव $z \in U$ के लिए,कम से कम एक अवयव $x \in S$ ऐसा विद्यमान है कि $(g \circ f)(x) = z$ हो।
इसे $g(f(x)) = z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $y = f(x)$ है। चूंकि $x \in S$ और $f: S \rightarrow T$ है,इसलिए $y \in T$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $g(y) = z$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रत्येक $z \in U$ के लिए,हमें $T$ में एक ऐसा अवयव $y$ मिलता है जिसके लिए $g(y) = z$ है,अतः $g: T \rightarrow U$ एक आच्छादक फलन है।
हालाँकि,$f$ का आच्छादक होना आवश्यक नहीं है क्योंकि $T$ के वे अवयव जो $f$ के परिसर में नहीं हैं,वे $g \circ f$ की आच्छादकता को प्रभावित नहीं करते हैं,जब तक कि $f$ का परिसर $g$ के माध्यम से $U$ के सभी अवयवों को कवर करता हो।

(C) दिया गया है $f: R \rightarrow R$ जहाँ $f(x) = e^{x}$ और $g: R \rightarrow R$ जहाँ $g(x) = x^{2}$ है।
हम संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ की गणना करते हैं।
$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ के लिए,यदि $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ है,तो $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$,जिसका अर्थ है $2x_{1} = 2x_{2}$,इसलिए $x_{1} = x_{2}$। अतः,$g \circ f$ इंजेक्टिव है।
हालाँकि,$g \circ f$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए $g \circ f$ सर्जेक्टिव नहीं है।
$g(x) = x^{2}$ के लिए,$g(-1) = 1$ और $g(1) = 1$,इसलिए $g$ इंजेक्टिव नहीं है। इसके अलावा,$g$ का परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $g$ सर्जेक्टिव नहीं है।
इसलिए,$g \circ f$ इंजेक्टिव है लेकिन $g$ बाइजेक्टिव नहीं है।

(A) दिया है $f(x) = \frac{x}{x+1}$।
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$f_1(x) = \frac{x}{x+1}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{x}{2x+1}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{x}{3x+1}$
गणितीय आगमन द्वारा,$f_n(x) = \frac{x}{nx+1}$।
$x = -2$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f_n(-2) = \frac{-2}{n(-2)+1} = \frac{2}{2n-1}$।
गुणनफल $P = f_1(-2) \cdot f_2(-2) \cdot \ldots \cdot f_n(-2) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2}{2k-1} = \frac{2^n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}$।

(C) दिया गया है $g(x) = 3x^{2} + 2x - 3$. सबसे पहले,$g(2)$ की गणना करें:
$g(2) = 3(2)^{2} + 2(2) - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$.
हमें $f(g(2)) = f(13)$ ज्ञात करना है।
दिया गया है $4g(f(x)) = 3x^{2} - 32x + 72$,$g(f(x)) = 3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4[3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3] = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - 12 = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - (3x^{2} - 32x + 84) = 0$.
$f(x)$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(12)(-(3x^{2} - 32x + 84))}}{24} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48(3x^{2} - 32x + 84)}}{24}$
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{144x^{2} - 1536x + 4096}}{24} = \frac{-8 \pm (12x - 64)}{24}$.
चूंकि $f(0) = -3$ है,$x=0$ पर चिन्हों की जांच करने पर:
यदि हम धनात्मक चिन्ह लेते हैं: $f(0) = \frac{-8 + (-64)}{24} = -3$ (सही)।
अतः,$f(x) = \frac{-8 + 12x - 64}{24} = \frac{12x - 72}{24} = \frac{x - 6}{2}$.
अंत में,$f(13) = \frac{13 - 6}{2} = \frac{7}{2}$.