निम्नलिखित समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए:
$Z=3x+9y$ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए......$(1)$
निम्नलिखित अवरोधों के अंतर्गत:
$x+3y \leq 60$.....$(2)$
$x+y \geq 10$......$(3)$
$x \leq y$.......$(4)$
$x \geq 0, y \geq 0$......$(5)$

  • A
    न्यूनतम मान $(5,5)$ पर $60$ है और अधिकतम मान $(15,15)$ और $(0,20)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर $180$ है।
  • B
    न्यूनतम मान $(0,10)$ पर $90$ है और अधिकतम मान $(15,15)$ पर $180$ है।
  • C
    न्यूनतम मान $(5,5)$ पर $60$ है और अधिकतम मान $(0,20)$ पर $180$ है।
  • D
    न्यूनतम मान $(10,0)$ पर $30$ है और अधिकतम मान $(0,20)$ पर $200$ है।

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सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदु $(0, 6)$,$(3, 3)$,$(9, 9)$ और $(0, 12)$ हैं। उद्देश्य फलन $z = 6x + 12y$ का अधिकतम मान क्या है?

$LPP$ के लिए सुसंगत क्षेत्र चित्र में दर्शाया गया है। $Z=11x+7y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक फल उत्पादक अपने बगीचे में दो प्रकार के उर्वरक,ब्रांड $P$ और ब्रांड $Q$ का उपयोग कर सकता है। प्रत्येक ब्रांड की एक थैली में नाइट्रोजन,फॉस्फोरिक एसिड,पोटाश और क्लोरीन की मात्रा ($kg$ में) तालिका में दी गई है। परीक्षण बताते हैं कि बगीचे को कम से कम $240\,kg$ फॉस्फोरिक एसिड,कम से कम $270\,kg$ पोटाश और अधिकतम $310\,kg$ क्लोरीन की आवश्यकता है। यदि उत्पादक बगीचे में डाले जाने वाले नाइट्रोजन की मात्रा को कम करना चाहता है,तो प्रत्येक ब्रांड की कितनी थैलियों का उपयोग किया जाना चाहिए? बगीचे में डाली गई नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा क्या है ($,kg$ में)?
ब्रांड $P$ ($kg$ प्रति थैली)ब्रांड $Q$ ($kg$ प्रति थैली)
नाइट्रोजन$3$$3.5$
फॉस्फोरिक एसिड$1$$2$
पोटाश$3$$1.5$
क्लोरीन$1.5$$2$

Difficult
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दर्शाइए कि $Z$ का न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$Z = x + 2y$ का न्यूनतमीकरण और अधिकतमीकरण कीजिए।
प्रतिबंध: $x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200; x, y \geq 0$.

परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,1), (0,7), (2,7), (6,3), (6,0), (1,0)$ हैं। उद्देश्य फलन $Z = 3x - y$ के लिए:
$(i)$ किस बिंदु पर $Z$ न्यूनतम है?
$(ii)$ किस बिंदु पर $Z$ अधिकतम है?
$(iii)$ $Z$ का अधिकतम मान $\ldots$ है।
$(iv)$ $Z$ का न्यूनतम मान $\ldots$ है।

Difficult
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