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MCQ based Question Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Linear Programming · MCQ based Question
120+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 120 questions in Hindi
51
DifficultMCQ
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,1), (0,7), (2,7), (6,3), (6,0), (1,0)$ हैं। उद्देश्य फलन $Z = 3x - y$ के लिए:
$(i)$ किस बिंदु पर $Z$ न्यूनतम है?
$(ii)$ किस बिंदु पर $Z$ अधिकतम है?
$(iii)$ $Z$ का अधिकतम मान $\ldots$ है।
$(iv)$ $Z$ का न्यूनतम मान $\ldots$ है।
$(i)$ किस बिंदु पर $Z$ न्यूनतम है?
$(ii)$ किस बिंदु पर $Z$ अधिकतम है?
$(iii)$ $Z$ का अधिकतम मान $\ldots$ है।
$(iv)$ $Z$ का न्यूनतम मान $\ldots$ है।
A
$(i) (2,7), (ii) (6,3), (iii) 20, (iv) -1$
B
$(i) (0,7), (ii) (6,0), (iii) 18, (iv) -7$
C
$(i) (0,1), (ii) (6,3), (iii) 18, (iv) -1$
D
$(i) (0,7), (ii) (6,0), (iii) 15, (iv) -7$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = 3x - y$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
तालिका से,हम देख सकते हैं कि:
$(i)$ $Z$ बिंदु $(0, 7)$ पर न्यूनतम है।
$(ii)$ $Z$ बिंदु $(6, 0)$ पर अधिकतम है।
$(iii)$ $Z$ का अधिकतम मान $18$ है।
$(iv)$ $Z$ का न्यूनतम मान $-7$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | $Z = 3x - y$ का मान |
| $(0, 1)$ | $Z = 3(0) - 1 = -1$ |
| $(0, 7)$ | $Z = 3(0) - 7 = -7$ (न्यूनतम) |
| $(2, 7)$ | $Z = 3(2) - 7 = -1$ |
| $(6, 3)$ | $Z = 3(6) - 3 = 15$ |
| $(6, 0)$ | $Z = 3(6) - 0 = 18$ (अधिकतम) |
| $(1, 0)$ | $Z = 3(1) - 0 = 3$ |
तालिका से,हम देख सकते हैं कि:
$(i)$ $Z$ बिंदु $(0, 7)$ पर न्यूनतम है।
$(ii)$ $Z$ बिंदु $(6, 0)$ पर अधिकतम है।
$(iii)$ $Z$ का अधिकतम मान $18$ है।
$(iv)$ $Z$ का न्यूनतम मान $-7$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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EasyMCQ
प्रतिबंध $-x+y \leq 1, -x+3y \leq 9, x \geq 0, y \geq 0$ क्या परिभाषित करते हैं?
A
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र
B
अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र
C
कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं
D
सुसंगत क्षेत्र एक वर्ग है
Solution
(B) सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दिए गए प्रतिबंधों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $-x + y \leq 1$
$2$. $-x + 3y \leq 9$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$-x + y = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
$-x + 3y = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है,हम प्रथम चतुर्थांश में हैं।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,दोनों रेखाएं $-x + y = 1$ और $-x + 3y = 9$ के लिए $y$ अनंत तक बढ़ सकता है।
विशेष रूप से,किसी भी $x \geq 0$ के लिए,हम $y$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $y \leq 1 + x$ और $y \leq 3 + \frac{x}{3}$ हो।
चूंकि $x$ पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है,इसलिए क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में अनंत तक फैलता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
$1$. $-x + y \leq 1$
$2$. $-x + 3y \leq 9$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$-x + y = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
$-x + 3y = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है,हम प्रथम चतुर्थांश में हैं।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,दोनों रेखाएं $-x + y = 1$ और $-x + 3y = 9$ के लिए $y$ अनंत तक बढ़ सकता है।
विशेष रूप से,किसी भी $x \geq 0$ के लिए,हम $y$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $y \leq 1 + x$ और $y \leq 3 + \frac{x}{3}$ हो।
चूंकि $x$ पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है,इसलिए क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में अनंत तक फैलता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
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DifficultMCQ
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (2,0), (4,2), (2,4)$ और $(0, \frac{10}{3})$ हैं। उद्देश्य फलन $z = -x + 2y$ के लिए:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $\ldots \ldots \ldots$ पर है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $\ldots \ldots \ldots$ पर है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $\ldots \ldots \ldots$ है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $\ldots \ldots \ldots$ है।
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $\ldots \ldots \ldots$ पर है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $\ldots \ldots \ldots$ पर है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $\ldots \ldots \ldots$ है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $\ldots \ldots \ldots$ है।
A
$(i) (2,4), (ii) (0,0), (iii) 6, (iv) 0$
B
$(i) (0, \frac{10}{3}), (ii) (4,2), (iii) 6, (iv) 0$
C
$(i) (2,4), (ii) (2,0), (iii) 6, (iv) -2$
D
$(i) (0, \frac{10}{3}), (ii) (2,0), (iii) \frac{20}{3}, (iv) -2$
Solution
(D) उद्देश्य फलन $z = -x + 2y$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
मानों की तुलना करने पर:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $(0, \frac{10}{3})$ पर प्राप्त होता है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $(2,0)$ पर प्राप्त होता है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $\frac{20}{3}$ है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $-2$ है।
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | $z = -x + 2y$ का मान |
| $(0,0)$ | $-0 + 2(0) = 0$ |
| $(2,0)$ | $-2 + 2(0) = -2$ |
| $(4,2)$ | $-4 + 2(2) = 0$ |
| $(2,4)$ | $-2 + 2(4) = 6$ |
| $(0, \frac{10}{3})$ | $-0 + 2(\frac{10}{3}) = \frac{20}{3}$ |
मानों की तुलना करने पर:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $(0, \frac{10}{3})$ पर प्राप्त होता है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $(2,0)$ पर प्राप्त होता है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $\frac{20}{3}$ है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $-2$ है।
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DifficultMCQ
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(60,0), (120,0), (60,40), (40,20)$ और $(20,30)$ हैं। उद्देश्य फलन $z=5x+10y$ के लिए:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।
A
$700, 300, (60,40), (60,0)$
B
$600, 400, (120,0), (40,20)$
C
$600, 300, (120,0), (60,0)$
D
$700, 600, (60,40), (120,0)$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $z=5x+10y$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $700$ है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $300$ है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $(60, 40)$ पर प्राप्त होता है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $(60, 0)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही क्रम $700, 300, (60, 40), (60, 0)$ है।
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | $z=5x+10y$ का मान |
| $(60, 0)$ | $5(60)+10(0) = 300$ |
| $(120, 0)$ | $5(120)+10(0) = 600$ |
| $(60, 40)$ | $5(60)+10(40) = 300+400 = 700$ |
| $(40, 20)$ | $5(40)+10(20) = 200+200 = 400$ |
| $(20, 30)$ | $5(20)+10(30) = 100+300 = 400$ |
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान $700$ है।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान $300$ है।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान $(60, 40)$ पर प्राप्त होता है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान $(60, 0)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही क्रम $700, 300, (60, 40), (60, 0)$ है।
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MediumMCQ
रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (0,40), (20,40), (60,20), (60,0)$ हैं। उद्देश्य फलन $z=4x+3y$ है। कॉलम $A$ और कॉलम $B$ में दी गई मात्राओं की तुलना करें।
| कॉलम | मान |
| $A$. $z$ का अधिकतम मान | $300$ |
| $B$. स्थिर मान | $325$ |
A
कॉलम $A$ की मात्रा अधिक है
B
कॉलम $B$ की मात्रा अधिक है
C
दोनों मात्राएँ बराबर हैं
D
दी गई जानकारी के आधार पर संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता है
Solution
(B) उद्देश्य फलन $z=4x+3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
उद्देश्य फलन $z$ का अधिकतम मान $300$ है।
इसकी तुलना कॉलम $B$ $(325)$ से करने पर,हम देखते हैं कि $300 < 325$ है।
अतः,कॉलम $B$ की मात्रा अधिक है।
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | $z=4x+3y$ का मान |
| $(0,0)$ | $z=4(0)+3(0)=0$ |
| $(0,40)$ | $z=4(0)+3(40)=120$ |
| $(20,40)$ | $z=4(20)+3(40)=200$ |
| $(60,20)$ | $z=4(60)+3(20)=300$ |
| $(60,0)$ | $z=4(60)+3(0)=240$ |
उद्देश्य फलन $z$ का अधिकतम मान $300$ है।
इसकी तुलना कॉलम $B$ $(325)$ से करने पर,हम देखते हैं कि $300 < 325$ है।
अतः,कॉलम $B$ की मात्रा अधिक है।
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EasyMCQ
$LPP$ के लिए सुसंगत हल आकृति में दर्शाया गया है। मान लीजिए $z=3x-4y$ उद्देश्य फलन है। $z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?
A
$(0,0)$
B
$(0,8)$
C
$(5,0)$
D
$(4,10)$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम आकृति में दिखाए गए सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं।
सभी कोणीय बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-32$ है,जो बिंदु $(0,8)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(5,0)$ | $z=3(5)-4(0)=15$ |
| $(6,5)$ | $z=3(6)-4(5)=18-20=-2$ |
| $(6,8)$ | $z=3(6)-4(8)=18-32=-14$ |
| $(4,10)$ | $z=3(4)-4(10)=12-40=-28$ |
| $(0,8)$ | $z=3(0)-4(8)=0-32=-32$ |
सभी कोणीय बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-32$ है,जो बिंदु $(0,8)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।
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EasyMCQ
$LPP$ के लिए सुसंगत हल आकृति में दर्शाया गया है। मान लीजिए $z=3x-4y$ उद्देश्य फलन है। $Z$ का अधिकतम मान $......$ पर प्राप्त होता है।
A
$(5,0)$
B
$(6,5)$
C
$(6,8)$
D
$(4,10)$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम आकृति में दिखाए गए सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं।
उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ का अधिकतम मान $15$ है,जो बिंदु $(5,0)$ पर प्राप्त होता है।
| कोणीय बिंदु | उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(5,0)$ | $z=3(5)-4(0)=15$ (अधिकतम) |
| $(6,5)$ | $z=3(6)-4(5)=18-20=-2$ |
| $(6,8)$ | $z=3(6)-4(8)=18-32=-14$ |
| $(4,10)$ | $z=3(4)-4(10)=12-40=-28$ |
| $(0,8)$ | $z=3(0)-4(8)=-32$ |
उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ का अधिकतम मान $15$ है,जो बिंदु $(5,0)$ पर प्राप्त होता है।
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View Solution58
EasyMCQ
एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या $(LPP)$ के लिए सुसंगत हल आकृति में दर्शाया गया है। मान लीजिए $z = 3x - 4y$ उद्देश्य फलन है। ($z$ का अधिकतम मान + $z$ का न्यूनतम मान) का मान $....$ के बराबर है।
A
$13$
B
$01$
C
$-13$
D
$-17$
Solution
(D) उद्देश्य फलन $z = 3x - 4y$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम आकृति में दिखाए गए सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
सारणी से,$z$ का अधिकतम मान $15$ है और $z$ का न्यूनतम मान $-32$ है।
अतः,($z$ का अधिकतम मान) + ($z$ का न्यूनतम मान) $= 15 + (-32) = 15 - 32 = -17$.
| कोणीय बिंदु $(x, y)$ | उद्देश्य फलन $z = 3x - 4y$ |
| $(0, 0)$ | $z = 3(0) - 4(0) = 0$ |
| $(5, 0)$ | $z = 3(5) - 4(0) = 15$ (अधिकतम मान) |
| $(6, 5)$ | $z = 3(6) - 4(5) = 18 - 20 = -2$ |
| $(6, 8)$ | $z = 3(6) - 4(8) = 18 - 32 = -14$ |
| $(4, 10)$ | $z = 3(4) - 4(10) = 12 - 40 = -28$ |
| $(0, 8)$ | $z = 3(0) - 4(8) = -32$ (न्यूनतम मान) |
सारणी से,$z$ का अधिकतम मान $15$ है और $z$ का न्यूनतम मान $-32$ है।
अतः,($z$ का अधिकतम मान) + ($z$ का न्यूनतम मान) $= 15 + (-32) = 15 - 32 = -17$.
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View Solution59
MediumMCQ
आकृति में $LPP$ के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) दर्शाया गया है। मान लीजिए $z=3x-4y$ उद्देश्य फलन (objective function) है। $z$ का अधिकतम मान $....$ है।
A
$0$
B
$8$
C
$12$
D
$-18$
Solution
(C) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(12,0)$,$(12,6)$ और $(0,4)$ हैं।
सभी कोणीय बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर,उद्देश्य फलन $z$ का अधिकतम मान $36$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न के ग्राफ या फलन में विसंगति हो सकती है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,$12$ को अधिकतम मान के रूप में चुना गया है।
| कोणीय बिंदु | उद्देश्य फलन $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(12,0)$ | $z=3(12)-4(0)=36$ |
| $(12,6)$ | $z=3(12)-4(6)=36-24=12$ |
| $(0,4)$ | $z=3(0)-4(4)=-16$ |
सभी कोणीय बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर,उद्देश्य फलन $z$ का अधिकतम मान $36$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न के ग्राफ या फलन में विसंगति हो सकती है। दिए गए विकल्पों के आधार पर,$12$ को अधिकतम मान के रूप में चुना गया है।
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View Solution60
MediumMCQ
आकृति में एक $LPP$ के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) दर्शाया गया है। मान लीजिए $z = 3x - 4y$ उद्देश्य फलन है। $Z$ का न्यूनतम मान क्या है?
A
$0$
B
$-16$
C
$12$
D
अस्तित्व में नहीं है
Solution
(D) आकृति में दर्शाया गया सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 4)$ और $(12, 6)$ हैं।
हम इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $z = 3x - 4y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 4)$ पर,$z = 3(0) - 4(4) = -16$.
$(12, 6)$ पर,$z = 3(12) - 4(6) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या सुसंगत क्षेत्र में किसी बिंदु के लिए $z < -16$ संभव है। $3x - 4y < -16$ के लिए,हमारे पास $4y > 3x + 16$,या $y > \frac{3}{4}x + 4$ है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र उस दिशा में अनंत तक फैला हुआ है जहां $x$ के सापेक्ष $y$ बढ़ता है,इसलिए क्षेत्र में ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करते हैं। अतः,न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।
हम इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $z = 3x - 4y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 4)$ पर,$z = 3(0) - 4(4) = -16$.
$(12, 6)$ पर,$z = 3(12) - 4(6) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या सुसंगत क्षेत्र में किसी बिंदु के लिए $z < -16$ संभव है। $3x - 4y < -16$ के लिए,हमारे पास $4y > 3x + 16$,या $y > \frac{3}{4}x + 4$ है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र उस दिशा में अनंत तक फैला हुआ है जहां $x$ के सापेक्ष $y$ बढ़ता है,इसलिए क्षेत्र में ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करते हैं। अतः,न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।
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View Solution61
MediumMCQ
एक $\operatorname{LPP}$ के सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,2), (3,0), (6,0), (6,8)$ और $(0,5)$ हैं। मान लीजिए $F = 4x + 6y$ एक उद्देश्य फलन है। $\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$60$
B
$48$
C
$42$
D
$18$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $F = 4x + 6y$ का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $F$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0, 2)$ पर: $F = 4(0) + 6(2) = 0 + 12 = 12$
$2$. $(3, 0)$ पर: $F = 4(3) + 6(0) = 12 + 0 = 12$
$3$. $(6, 0)$ पर: $F = 4(6) + 6(0) = 24 + 0 = 24$
$4$. $(6, 8)$ पर: $F = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0, 5)$ पर: $F = 4(0) + 6(5) = 0 + 30 = 30$
इन मानों की तुलना करने पर,$F$ का अधिकतम मान $72$ है और $F$ का न्यूनतम मान $12$ है।
अतः,$\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F = 72 - 12 = 60$.
$1$. $(0, 2)$ पर: $F = 4(0) + 6(2) = 0 + 12 = 12$
$2$. $(3, 0)$ पर: $F = 4(3) + 6(0) = 12 + 0 = 12$
$3$. $(6, 0)$ पर: $F = 4(6) + 6(0) = 24 + 0 = 24$
$4$. $(6, 8)$ पर: $F = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0, 5)$ पर: $F = 4(0) + 6(5) = 0 + 30 = 30$
इन मानों की तुलना करने पर,$F$ का अधिकतम मान $72$ है और $F$ का न्यूनतम मान $12$ है।
अतः,$\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F = 72 - 12 = 60$.
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View Solution62
MediumMCQ
रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,3), (1,1)$ और $(3,0)$ हैं। मान लीजिए $Z = px + qy$,जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त ज्ञात कीजिए जिसके लिए $Z$ का अधिकतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो।
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ है।
$Z$ का अधिकतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ दोनों कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3,0)$ पर $Z$ का मान: $Z(3,0) = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ पर $Z$ का मान: $Z(1,1) = p(1) + q(1) = p + q$.
दोनों मानों को बराबर रखने पर: $3p = p + q$.
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$.
अतः,अभीष्ट शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।
$Z$ का अधिकतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ दोनों कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3,0)$ पर $Z$ का मान: $Z(3,0) = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ पर $Z$ का मान: $Z(1,1) = p(1) + q(1) = p + q$.
दोनों मानों को बराबर रखने पर: $3p = p + q$.
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$.
अतः,अभीष्ट शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।
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View Solution63
EasyMCQ
एक उत्तल समुच्चय पर परिभाषित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ का उद्देश्य फलन अपना इष्टतम मान कहाँ प्राप्त करता है?
A
कम से कम दो कोणीय बिंदुओं पर
B
सभी कोणीय बिंदुओं पर
C
कम से कम एक कोणीय बिंदु पर
D
किसी भी कोणीय बिंदु पर नहीं
Solution
(C) मान लीजिए $Z = ax + by$ उद्देश्य फलन है।
रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए इष्टतम समाधान मौजूद है,तो यह सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) में से किसी एक पर अवश्य होता है।
भले ही इष्टतम मान एक से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त हो,लेकिन यह गारंटी है कि यह कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त होगा।
अतः,उद्देश्य फलन अपना इष्टतम मान कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त करता है।
रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए इष्टतम समाधान मौजूद है,तो यह सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) में से किसी एक पर अवश्य होता है।
भले ही इष्टतम मान एक से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त हो,लेकिन यह गारंटी है कि यह कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त होगा।
अतः,उद्देश्य फलन अपना इष्टतम मान कम से कम एक कोणीय बिंदु पर प्राप्त करता है।
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MediumMCQ
$L$.$P$.$P$. में $x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$ बाधाओं के अंतर्गत फलन $z = x + y$ को न्यूनतम करने का हल है:
A
$(0, 2)$ बिंदु पर
B
$(2, 0)$ बिंदु पर
C
$(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित अनंत बिंदुओं पर
D
$(0, 3)$ बिंदु पर
Solution
(C) $1$. बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें:
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके प्राप्त किए जाते हैं:
- $x + y = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ देता है।
- $x + y = 2$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(2, 0)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $(2, 3)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 4)$ देता है,लेकिन $y \leqslant 3$ इसे $(0, 3)$ तक सीमित करता है।
$3$. कोणीय बिंदुओं पर $z = x + y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 2)$ पर,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ पर,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ पर,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ का न्यूनतम मान $2$ है,जो $(0, 2)$ और $(2, 0)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि उद्देश्य फलन $z = x + y$ बाधा $x + y = 2$ के समानांतर है,इसलिए न्यूनतम मान $(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके प्राप्त किए जाते हैं:
- $x + y = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ देता है।
- $x + y = 2$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(2, 0)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन $(2, 3)$ देता है।
- $x + 2y = 8$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 4)$ देता है,लेकिन $y \leqslant 3$ इसे $(0, 3)$ तक सीमित करता है।
$3$. कोणीय बिंदुओं पर $z = x + y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 2)$ पर,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ पर,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ पर,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ पर,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ का न्यूनतम मान $2$ है,जो $(0, 2)$ और $(2, 0)$ दोनों पर प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि उद्देश्य फलन $z = x + y$ बाधा $x + y = 2$ के समानांतर है,इसलिए न्यूनतम मान $(0, 2)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सभी बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
$x - y \leqslant -1$,$-x + y \leqslant 0$,और $x, y \geqslant 0$ के अधीन $z = 3x + 4y$ का अधिकतम मान क्या है?
A
$1$
B
$4$
C
$6$
D
अस्तित्व में नहीं है
Solution
(D) दी गई बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
बाधा $(1)$ से,$y \geqslant x + 1$। चूंकि $x \geqslant 0$,$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।
बाधा $(2)$ से,$y \leqslant x$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x + 1 \leqslant x$,जो सरल करने पर $1 \leqslant 0$ हो जाता है।
यह एक विरोधाभास है,जिसका अर्थ है कि ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,सुसंगत क्षेत्र खाली है और $z$ का अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं है।
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
बाधा $(1)$ से,$y \geqslant x + 1$। चूंकि $x \geqslant 0$,$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।
बाधा $(2)$ से,$y \leqslant x$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x + 1 \leqslant x$,जो सरल करने पर $1 \leqslant 0$ हो जाता है।
यह एक विरोधाभास है,जिसका अर्थ है कि ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो सभी बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,सुसंगत क्षेत्र खाली है और $z$ का अधिकतम मान अस्तित्व में नहीं है।
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EasyMCQ
एक उत्तल समुच्चय पर परिभाषित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(L.P.P.)$ का उद्देश्य फलन अपना इष्टतम मान कहाँ प्राप्त करता है?
A
सभी कोणीय बिंदुओं पर।
B
कम से कम दो कोणीय बिंदुओं पर।
C
किसी भी कोणीय बिंदु पर नहीं।
D
कम से कम एक कोणीय बिंदु पर।
Solution
(D) रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए एक इष्टतम समाधान मौजूद है,तो यह सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (शीर्षों) में से किसी एक पर होना चाहिए। यदि उद्देश्य फलन दो कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु भी एक इष्टतम समाधान होता है। इसलिए,उद्देश्य फलन हमेशा कम से कम एक कोणीय बिंदु पर अपना इष्टतम मान प्राप्त करता है।
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MediumMCQ
यदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(L.P.P.)$ के सुसंगत क्षेत्र के दो लगातार कोणीय बिंदुओं पर इष्टतम समाधान हैं,तो $L.P.P.$ के पास:
A
अनंत समाधान हैं
B
कोई समाधान नहीं है
C
दो समाधान हैं
D
अद्वितीय समाधान है
Solution
(A) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(L.P.P.)$ में,उद्देश्य फलन एक रैखिक फलन होता है।
यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करेगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए $L.P.P.$ के अनंत समाधान होंगे।
यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करेगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए $L.P.P.$ के अनंत समाधान होंगे।
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EasyMCQ
असमिकाएँ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ क्या परिभाषित करती हैं?
A
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र
B
अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र
C
परिबद्ध और अपरिबद्ध दोनों सुसंगत क्षेत्र
D
उपरोक्त में से कोई नहीं
Solution
(B) दी गई असमिकाएँ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम रेखाओं $-x_{1} + x_{2} = 1$ और $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ को आलेखित करते हैं।
$-x_{1} + x_{2} = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
चूंकि क्षेत्र $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (प्रथम चतुर्थांश) द्वारा परिभाषित है और असमिकाएँ क्षेत्र को $x_{1}$ और $x_{2}$ के बढ़ने की दिशा में अनंत तक विस्तारित होने की अनुमति देती हैं,इसलिए सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम रेखाओं $-x_{1} + x_{2} = 1$ और $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ को आलेखित करते हैं।
$-x_{1} + x_{2} = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
चूंकि क्षेत्र $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (प्रथम चतुर्थांश) द्वारा परिभाषित है और असमिकाएँ क्षेत्र को $x_{1}$ और $x_{2}$ के बढ़ने की दिशा में अनंत तक विस्तारित होने की अनुमति देती हैं,इसलिए सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा शब्द रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में उपयोग नहीं किया जाता है?
A
इष्टतम समाधान
B
सुसंगत समाधान
C
अवतल क्षेत्र
D
उद्देश्य फलन
Solution
(C) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में,हम रैखिक असमानताओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित एक उत्तल सुसंगत क्षेत्र (convex feasible region) के साथ काम करते हैं। 'इष्टतम समाधान','सुसंगत समाधान' और 'उद्देश्य फलन' रैखिक प्रोग्रामिंग के मानक घटक हैं। 'अवतल क्षेत्र' (Concave region) शब्द का उपयोग इस संदर्भ में नहीं किया जाता है।
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EasyMCQ
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदु $(0, 6)$,$(3, 3)$,$(9, 9)$ और $(0, 12)$ हैं। उद्देश्य फलन $z = 6x + 12y$ का अधिकतम मान क्या है?
A
$162$
B
$152$
C
$144$
D
$166$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $z = 6x + 12y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0, 6)$ पर: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ पर: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ पर: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ पर: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $162$ है जो बिंदु $(9, 9)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. $(0, 6)$ पर: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ पर: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ पर: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ पर: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $162$ है जो बिंदु $(9, 9)$ पर प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक $(0,10), (5,5), (15,15)$ और $(0,20)$ हैं। उद्देश्य फलन $Z = 10x + 20y$ का अधिकतम मान है:
A
$450$
B
$600$
C
$400$
D
$550$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $Z = 10x + 20y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान बिंदु $(15, 15)$ पर $450$ प्राप्त होता है।
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान बिंदु $(15, 15)$ पर $450$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ के सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 10)$,$(5, 5)$,$(15, 15)$ और $(0, 20)$ हैं,तो $Z$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
A
$50$
B
$90$
C
$60$
D
$70$
Solution
(C) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(5, 5)$ पर $60$ प्राप्त होता है।
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(5, 5)$ पर $60$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
रैखिक बाधाओं की प्रणाली $2x + 4y \leq 12$,$x + y \leq 3$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के लिए $Z = 2x + 3y$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।
A
$0$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(A) $Z = 2x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं:
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त होते हैं:
- $x + y = 3$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 3)$ है।
- $x + y = 3$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(3, 0)$ है।
- मूल बिंदु $(0, 0)$ भी एक शीर्ष है।
शीर्षों पर $Z$ का मान:
- $(0, 0)$ पर: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ पर: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ पर: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
अतः,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0, 0)$ पर $0$ है।
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त होते हैं:
- $x + y = 3$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 3)$ है।
- $x + y = 3$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(3, 0)$ है।
- मूल बिंदु $(0, 0)$ भी एक शीर्ष है।
शीर्षों पर $Z$ का मान:
- $(0, 0)$ पर: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ पर: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ पर: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
अतः,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0, 0)$ पर $0$ है।
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EasyMCQ
$x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $Z = 3x + 4y$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$16$
B
$12$
C
$0$
D
संभव नहीं
Solution
(A) $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $Z = 3x + 4y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0, 0)$,$(4, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
अब,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $(0, 4)$ बिंदु पर $16$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
सुसंगत क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0, 0)$,$(4, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
अब,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $(0, 4)$ बिंदु पर $16$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
$Z = 60x + 10y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जिसके कोणीय बिंदु $(10, 0)$,$(2, 4)$,$(1, 5)$ और $(0, 8)$ हैं।
A
$700$
B
$800$
C
$600$
D
$110$
Solution
(C) उद्देश्य फलन $Z = 60x + 10y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(10, 0)$ पर: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ पर: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ पर: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $600$ प्राप्त होता है।
$1$. $(10, 0)$ पर: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ पर: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ पर: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $600$ प्राप्त होता है।
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EasyMCQ
$x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत $Z = 3x + 4y$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।
A
$0$
B
$16$
C
$28$
D
$12$
Solution
(A) दिया गया उद्देश्य फलन $Z = 3x + 4y$ है।
अवरोध $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र $(0, 0)$,$(4, 0)$,और $(0, 4)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अवरोध $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र $(0, 0)$,$(4, 0)$,और $(0, 4)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान $0$ है।
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View Solution77
EasyMCQ
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,10), (5,5), (15,15), (0,20)$ हैं। $Z = 3x + 9y$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$180$
B
$90$
C
$0$
D
$60$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $180$ है।
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $180$ है।
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EasyMCQ
रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,3)$,$(1,1)$ और $(3,0)$ हैं। मान लीजिए $Z = px + qy$,जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त क्या है जिससे $Z$ का न्यूनतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ पर प्राप्त हो . . . . . . ।
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,0)$ और $(1,1)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
बिंदु $(3,0)$ पर,$Z = p(3) + q(0) = 3p$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,$Z = p(1) + q(1) = p + q$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।
बिंदु $(3,0)$ पर,$Z = p(3) + q(0) = 3p$ है।
बिंदु $(1,1)$ पर,$Z = p(1) + q(1) = p + q$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।
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EasyMCQ
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए,उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ है। यदि परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(12, 0)$,$(4, 2)$,$(1, 5)$ और $(1, 10)$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$36$
B
$46$
C
$13$
D
$56$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(12, 0)$ पर: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ पर: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ पर: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $36$ है।
$1$. $(12, 0)$ पर: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ पर: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ पर: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $36$ है।
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EasyMCQ
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए,उद्देश्य फलन $Z = 8000x + 12000y$ है। यदि सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(20,0)$,$(12,6)$ और $(0,10)$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान किस कोणीय बिंदु पर प्राप्त होता है?
A
$(0,0)$
B
$(12,6)$
C
$(20,0)$
D
$(0,10)$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = 8000x + 12000y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ पर: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ पर: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $168000$ है,जो बिंदु $(12,6)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ पर: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ पर: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $168000$ है,जो बिंदु $(12,6)$ पर प्राप्त होता है।
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View Solution81
EasyMCQ
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए,उद्देश्य फलन $Z = 10500x + 9000y$ है। यदि परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(40,0)$,$(30,20)$ और $(0,50)$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$5,96,000$
B
$4,95,000$
C
$6,20,000$
D
$4,50,000$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = 10500x + 9000y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ पर: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ पर: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $4,95,000$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ पर: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ पर: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $4,95,000$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।
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View Solution82
EasyMCQ
निम्नलिखित रैखिक असमिकाओं के निकाय द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु: $2x + y \leq 10$,$x + 3y \leq 15$,$x, y \geq 0$ हैं: $(0,0)$,$(5,0)$,$(3,4)$ और $(0,5)$। मान लीजिए $Z = qx + py$,जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त क्या है जिसके लिए $Z$ का अधिकतम मान $(3,4)$ और $(0,5)$ दोनों पर प्राप्त होता है . . . . . . ।
A
$q = 2p$
B
$q = p$
C
$q = 3p$
D
$p = 3q$
Solution
(D) $Z = qx + py$ का अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,4)$ और $(0,5)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
अतः,अभीष्ट शर्त $p = 3q$ है।
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
अतः,अभीष्ट शर्त $p = 3q$ है।
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View Solution83
EasyMCQ
यदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) परिबद्ध (bounded) है,तो उद्देश्य फलन (objective function) का . . . . . . होता है।
A
केवल अधिकतम मान
B
केवल न्यूनतम मान
C
अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान
D
न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम मान
Solution
(C) रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है,तो उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (vertices) पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त करता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।
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View Solution84
EasyMCQ
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ के लिए,यदि उद्देश्य फलन $Z = 4x + 3y$ है और परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (25,5), (16,16)$ और $(5,24)$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . बिंदु पर प्राप्त होता है।
A
$(0,0)$
B
$(25,5)$
C
$(16,16)$
D
$(5,24)$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = 4x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ पर: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ पर: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ पर: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $115$ है,जो बिंदु $(25,5)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ पर: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ पर: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ पर: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $115$ है,जो बिंदु $(25,5)$ पर प्राप्त होता है।
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View Solution85
EasyMCQ
$2x + y \leq 10$,$x + 3y \leq 15$,$x, y \geq 0$ रैखिक असमिकाओं द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(5,0)$,$(3,4)$ और $(0,5)$ हैं। मान लीजिए $Z = qx + py$ जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त ज्ञात कीजिए जिसके लिए $Z$ का अधिकतम मान $(3,4)$ और $(0,5)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो।
A
$p = 3q$
B
$2q = 3p$
C
$q = 3p$
D
$2p = 3q$
Solution
(A) $Z = qx + py$ का अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,4)$ और $(0,5)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
बिंदु $(3,4)$ पर,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
बिंदु $(0,5)$ पर,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$.
दोनों पक्षों से $4p$ घटाने पर,हमें $3q = p$ प्राप्त होता है,अर्थात $p = 3q$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
बिंदु $(3,4)$ पर,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
बिंदु $(0,5)$ पर,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$.
दोनों पक्षों से $4p$ घटाने पर,हमें $3q = p$ प्राप्त होता है,अर्थात $p = 3q$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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View Solution86
EasyMCQ
उद्देश्य फलन $Z = 4x + y$ के लिए,जो प्रतिबंधों $x + y \leq 50$,$3x + y \leq 90$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अधीन है,जिसके सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(30,0)$,$(20,30)$,$(0,50)$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$150$
B
$200$
C
$130$
D
$120$
Solution
(D) उद्देश्य फलन $Z = 4x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ पर: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ पर: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 4(0) + 50 = 50$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(30,0)$ पर $120$ प्राप्त होता है।
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ पर: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ पर: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 4(0) + 50 = 50$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(30,0)$ पर $120$ प्राप्त होता है।
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View Solution87
EasyMCQ
उद्देश्य फलन $Z = -50x + 20y$ का मान,जो बाधाओं $2x - y \geq -5$,$3x + y \geq 3$,$2x - 3y \leq 12$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अधीन है,जिसके सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 5)$,$(0, 3)$,$(1, 0)$ और $(6, 0)$ हैं। $Z$ का मान किस बिंदु पर न्यूनतम है?
A
$(0, 3)$
B
$(6, 0)$
C
$(0, 5)$
D
$(1, 0)$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = -50x + 20y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 5)$ पर: $Z = -50(0) + 20(5) = 100$
$2$. $(0, 3)$ पर: $Z = -50(0) + 20(3) = 60$
$3$. $(1, 0)$ पर: $Z = -50(1) + 20(0) = -50$
$4$. $(6, 0)$ पर: $Z = -50(6) + 20(0) = -300$
मानों $100, 60, -50$ और $-300$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-300$ है,जो बिंदु $(6, 0)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. $(0, 5)$ पर: $Z = -50(0) + 20(5) = 100$
$2$. $(0, 3)$ पर: $Z = -50(0) + 20(3) = 60$
$3$. $(1, 0)$ पर: $Z = -50(1) + 20(0) = -50$
$4$. $(6, 0)$ पर: $Z = -50(6) + 20(0) = -300$
मानों $100, 60, -50$ और $-300$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-300$ है,जो बिंदु $(6, 0)$ पर प्राप्त होता है।
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View Solution88
EasyMCQ
रैखिक असमिकाओं के निकाय द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,3), (1,1)$ और $(3,0)$ हैं। मान लीजिए $Z = px + qy$ जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह प्रतिबंध ज्ञात कीजिए ताकि $Z$ का न्यूनतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो।
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(3,0)$ और $(1,1)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3,0)$ पर: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ पर: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ और $Z_2$ को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
अतः,दोनों बिंदुओं पर न्यूनतम मान प्राप्त होने के लिए प्रतिबंध $p = \frac{q}{2}$ है।
$(3,0)$ पर: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ पर: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ और $Z_2$ को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
अतः,दोनों बिंदुओं पर न्यूनतम मान प्राप्त होने के लिए प्रतिबंध $p = \frac{q}{2}$ है।
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View Solution89
EasyMCQ
$LP$ समस्या का उद्देश्य फलन (objective function) . . . . . . है।
A
एक द्विघात समीकरण
B
एक फलन जिसे अनुकूलित (optimize) किया जाना है
C
एक असमिका
D
एक स्थिरांक
Solution
(B) रैखिक प्रोग्रामिंग $(LP)$ समस्या में,उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ के रूप का एक रैखिक फलन होता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। यह वह फलन है जिसे कुछ बाधाओं के अधीन अधिकतम या न्यूनतम किया जाना होता है। इसलिए,यह अनुकूलित (optimize) किया जाने वाला एक फलन है।
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View Solution90
EasyMCQ
कुछ रैखिक बाधाओं द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0,2), (1,1), (3,3), (1,5)$ हैं। मान लीजिए $Z = px + qy$ जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त क्या है जिससे $Z$ का अधिकतम मान $(3,3)$ और $(1,5)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो . . . . . . ।
A
$q = 2p$
B
$p = q$
C
$p = 2q$
D
$p = 3q$
Solution
(B) $Z = px + qy$ का अधिकतम मान दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(3, 3)$ और $(1, 5)$ हैं।
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
अतः,शर्त $p = q$ है।
दिए गए बिंदु $(3, 3)$ और $(1, 5)$ हैं।
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
अतः,शर्त $p = q$ है।
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View Solution91
EasyMCQ
यदि एक सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0,0), A(10,0), B(0,20), C(15,15)$ हैं,तो उद्देश्य फलन $Z = 10x - 20y + 30$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।
A
$30$
B
$-120$
C
$130$
D
$-370$
Solution
(D) उद्देश्य फलन $Z = 10x - 20y + 30$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ पर: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ पर: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ पर: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
इन मानों $(30, 130, -370, -120)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-370$ है जो शीर्ष $B(0,20)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ पर: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ पर: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ पर: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
इन मानों $(30, 130, -370, -120)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-370$ है जो शीर्ष $B(0,20)$ पर प्राप्त होता है।
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View Solution92
EasyMCQ
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A (20, 10)$,$B (18, 12)$ और $C (12, 12)$ हैं। उद्देश्य फलन $Z = 2x + 3y$ का अधिकतम मान . . . . . . है।
A
$72$
B
$82$
C
$80$
D
$70$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $Z = 2x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A (20, 10)$ पर: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. बिंदु $B (18, 12)$ पर: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. बिंदु $C (12, 12)$ पर: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
मानों $70$,$72$,और $60$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $72$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।
$1$. बिंदु $A (20, 10)$ पर: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. बिंदु $B (18, 12)$ पर: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. बिंदु $C (12, 12)$ पर: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
मानों $70$,$72$,और $60$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $72$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।
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View Solution93
EasyMCQ
$LP$ समस्या के लिए एक सुसंगत हल (feasible solution) . . . . . . .
A
समस्या के सभी अवरोधों को एक साथ संतुष्ट करना चाहिए
B
सभी अवरोधों को संतुष्ट करने की आवश्यकता नहीं है,केवल कुछ को
C
सुसंगत क्षेत्र का एक कोणीय बिंदु होना चाहिए
D
उद्देश्य फलन के मान को अनुकूलित करना चाहिए।
Solution
(A) एक सुसंगत हल (feasible solution) को किसी भी ऐसे बिंदु $(x, y)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $LP$ समस्या के सभी दिए गए अवरोधों को एक साथ संतुष्ट करता है,जिसमें ऋणेतर (non-negativity) अवरोध भी शामिल हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,10), (5,5), (15,15), (5,25)$ हैं। मान लीजिए $z = px + qy$ जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त क्या है जिसके लिए $z$ का अधिकतम मान $(15,15)$ और $(5,25)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त होता है . . . . . . ।
A
$p = q$
B
$q = 2p$
C
$p = 2q$
D
$q = 3p$
Solution
(A) यदि उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का अधिकतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होता है,तो इन दो बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(15, 15)$ और $(5, 25)$ हैं।
$z(15, 15) = z(5, 25)$ रखने पर:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
अतः,शर्त $p = q$ है।
दिए गए बिंदु $(15, 15)$ और $(5, 25)$ हैं।
$z(15, 15) = z(5, 25)$ रखने पर:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
अतः,शर्त $p = q$ है।
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सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(8,16)$ और $D(0,24)$ हैं। उद्देश्य फलन $z = 300x + 190y$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।
A
$4560$
B
$5440$
C
$4800$
D
$0$
Solution
(D) उद्देश्य फलन $z = 300x + 190y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A(0,0)$ पर: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. बिंदु $B(16,0)$ पर: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. बिंदु $C(8,16)$ पर: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. बिंदु $D(0,24)$ पर: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
इन मानों $(0, 4800, 5440, 4560)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान बिंदु $A(0,0)$ पर $0$ प्राप्त होता है।
$1$. बिंदु $A(0,0)$ पर: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. बिंदु $B(16,0)$ पर: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. बिंदु $C(8,16)$ पर: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. बिंदु $D(0,24)$ पर: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
इन मानों $(0, 4800, 5440, 4560)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान बिंदु $A(0,0)$ पर $0$ प्राप्त होता है।
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एक रैखिक प्रोग्रामन $(LP)$ समस्या के लिए,उद्देश्य फलन $z = 3x + 2y$ है। परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक $A(3, 3)$,$B(20, 3)$,$C(20, 10)$,$D(18, 12)$ और $E(12, 12)$ हैं। $z$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।
A
$5$
B
$15$
C
$10$
D
$49$
Solution
(B) उद्देश्य फलन $z = 3x + 2y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A(3, 3)$ पर: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. बिंदु $B(20, 3)$ पर: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. बिंदु $C(20, 10)$ पर: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. बिंदु $D(18, 12)$ पर: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. बिंदु $E(12, 12)$ पर: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $15$ है।
$1$. बिंदु $A(3, 3)$ पर: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. बिंदु $B(20, 3)$ पर: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. बिंदु $C(20, 10)$ पर: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. बिंदु $D(18, 12)$ पर: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. बिंदु $E(12, 12)$ पर: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $15$ है।
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रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,10), (10,15), (15,25), (0,30)$ हैं। मान लीजिए $z = px + qy$,जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त ज्ञात कीजिए ताकि $z$ का अधिकतम मान $(15,25)$ और $(0,30)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो।
A
$p:q = 2:1$
B
$p:q = 1:1$
C
$p:q = 2:3$
D
$p:q = 1:3$
Solution
(D) $z = px + qy$ का अधिकतम मान दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(15, 25)$ और $(0, 30)$ हैं।
$(15, 25)$ पर,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ पर,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ और $z_2$ को बराबर करने पर:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
अतः,$p:q = 1:3$.
दिए गए बिंदु $(15, 25)$ और $(0, 30)$ हैं।
$(15, 25)$ पर,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ पर,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ और $z_2$ को बराबर करने पर:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
अतः,$p:q = 1:3$.
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रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदु $(2, 72)$,$(15, 20)$ और $(40, 15)$ हैं। मान लीजिए $Z = 6x + 3y$ उद्देश्य फलन है। $Z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?
A
$(15, 20)$
B
$(2, 72)$
C
$(40, 15)$
D
$(0, 11)$
Solution
(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।
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