रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,10), (5,5), (15,15), (0,20)$ हैं। मान लीजिए $z = px + qy$,जहाँ $p, q > 0$ है। $p$ और $q$ पर वह शर्त ताकि $z$ का अधिकतम मान $(15,15)$ और $(0,20)$ दोनों बिंदुओं पर प्राप्त हो,$\ldots \ldots$ है।

प्रतिबंधों $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ के अंतर्गत $Z=3x+4y$ का अधिकतमीकरण कीजिए।

दर्शाइए कि $Z$ का न्यूनतम मान दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$Z = x + 2y$ का न्यूनतमीकरण और अधिकतमीकरण कीजिए।
प्रतिबंध: $x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200; x, y \geq 0$.

$LPP$ के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) को निम्नलिखित आकृति में दर्शाया गया है। इस क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 4x + y$ का मान ज्ञात कीजिए। यदि $Z$ का न्यूनतम मान मौजूद है,तो उसे ज्ञात कीजिए।

एक हवाई जहाज में अधिकतम $200$ यात्री यात्रा कर सकते हैं। प्रत्येक एग्जीक्यूटिव क्लास टिकट पर $Rs. 1000$ का लाभ और प्रत्येक इकोनॉमी क्लास टिकट पर $Rs. 600$ का लाभ होता है। एयरलाइन एग्जीक्यूटिव क्लास के लिए कम से कम $20$ सीटें आरक्षित करती है। हालाँकि,एग्जीक्यूटिव क्लास की तुलना में कम से कम $4$ गुना अधिक यात्री इकोनॉमी क्लास में यात्रा करना पसंद करते हैं। निर्धारित करें कि एयरलाइन के लिए लाभ को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक प्रकार की कितनी टिकटें बेची जानी चाहिए। अधिकतम लाभ क्या है?

एक रैखिक प्रोग्रामन $(LP)$ समस्या के लिए,उद्देश्य फलन $z = 3x + 2y$ है। परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक $A(3, 3)$,$B(20, 3)$,$C(20, 10)$,$D(18, 12)$ और $E(12, 12)$ हैं। $z$ का न्यूनतम मान . . . . . . है।