मान लीजिए कि $x$ और $y$ एक रैखिक प्रोग्रामिंग $(LP)$ समस्या के इष्टतम समाधान हैं। तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(60,0), (120,0), (60,40), (40,20)$ और $(20,30)$ हैं। उद्देश्य फलन $z=5x+10y$ के लिए:
$(i)$ $z$ का अधिकतम मान।
$(ii)$ $z$ का न्यूनतम मान।
$(iii)$ $z$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।
$(iv)$ $z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है।

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए:
न्यूनतमीकरण कीजिए $Z = -3x + 4y$
अवरोधों के अंतर्गत:
$x + 2y \leq 8$
$3x + 2y \leq 12$
$x \geq 0, y \geq 0$

रैखिक बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के कोणीय बिंदु $(2, 72)$,$(15, 20)$ और $(40, 15)$ हैं। मान लीजिए $Z = 6x + 3y$ उद्देश्य फलन है। $Z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?

एक तेल कंपनी के पास दो डिपो $A$ और $B$ हैं,जिनकी क्षमता क्रमशः $7000 \, L$ और $4000 \, L$ है। कंपनी को तीन पेट्रोल पंपों $D, E$ और $F$ को तेल की आपूर्ति करनी है,जिनकी आवश्यकता क्रमशः $4500 \, L, 3000 \, L$ और $3500 \, L$ है। डिपो और पेट्रोल पंपों के बीच की दूरी ($km$ में) निम्नलिखित तालिका में दी गई है:

From/To	$A$	$B$
$D$	$7$	$3$
$E$	$6$	$4$
$F$	$3$	$2$

यह मानते हुए कि $10 \, L$ तेल के परिवहन की लागत $Rs. \, 1$ प्रति $km$ है,परिवहन लागत को न्यूनतम करने के लिए डिलीवरी को कैसे निर्धारित किया जाना चाहिए? न्यूनतम लागत क्या है?

$L$.$P$.$P$. में $x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$ बाधाओं के अंतर्गत फलन $z = x + y$ को न्यूनतम करने का हल है: