MCQ based Question Questions in Hindi

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $180$ है।

(B) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में,यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग शीर्षों पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह उन दो शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड पर प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करता है। यह $LPP$ में सुसंगत हलों के उत्तल समुच्चय का एक मूलभूत गुण है।

(D) दी गई बाधाएं $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
ये बाधाएं प्रथम चतुर्थांश में एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं जिसके कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(2,0)$,और $(0,2)$ हैं।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z = 3x+2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ पर: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ पर: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $6$ है,जो बिंदु $(2,0)$ पर प्राप्त होता है।

(A) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में कथन $(I)$ और कथन $(II)$ दोनों सही हैं:
कथन $(I)$:
$LPP$ में उद्देश्य फलन हमेशा रैखिक होता है,जिसका अर्थ है कि इसे $1$ की घात वाले चरों के साथ एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
कथन $(II)$:
$LPP$ में चरों को सीमित करने वाली रैखिक असमिकाओं को बाधाएं (constraints) कहा जाता है।
व्याख्या:
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में,आप कुछ बाधाओं (रैखिक असमिकाओं) का पालन करते हुए एक उद्देश्य फलन (एक रैखिक समीकरण) को अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) करने का प्रयास करते हैं,जो चरों के संभावित मानों को सीमित करते हैं।

(D) उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,2)$ पर: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ पर: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ पर: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ पर: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ पर: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूँकि $Z$ का न्यूनतम मान $12$ है,जो $(0,2)$ और $(3,0)$ दोनों कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए $Z$ का न्यूनतम मान इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।

(B) $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$(0,2)$ पर: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ पर: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ पर: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ पर: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ पर: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूंकि न्यूनतम मान $12$ दो कोणीय बिंदुओं $(0,2)$ और $(3,0)$ पर प्राप्त होता है,इसलिए $z$ का न्यूनतम मान इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
यदि $z$ का न्यूनतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होता है,तो इन बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(3, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) उद्देश्य फलन $z = 40x + 30y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ पर: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ पर: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ पर: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ पर: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
इन मानों की तुलना करने पर,उद्देश्य फलन का अधिकतम मान $3000$ है।

(D) उद्देश्य फलन $z = 3x + 9y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ पर: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ पर: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ पर: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
इन मानों $(90, 60, 180, 180)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $60$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
कोणीय बिंदु $(0, 10)$ पर,$z = p(0) + q(10) = 90$ है।
इसे सरल करने पर $10q = 90$ प्राप्त होता है,जिससे $q = 9$ मिलता है।
कोणीय बिंदु $(5, 5)$ पर,$z = p(5) + q(5) = 60$ है।
इसे सरल करने पर $5p + 5q = 60$ प्राप्त होता है,जो $p + q = 12$ में बदल जाता है।
समीकरण $p + q = 12$ में $q = 9$ का मान रखने पर,$p + 9 = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p = 3$ है।
अब,$p = 3$ और $q = 9$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $9 = 3 \times 3$,जिसका अर्थ है $q = 3p$।