અ Gujarati
MCQ based Question Questions in Gujarati
Class 12 Mathematics · Linear Programming · MCQ based Question
120+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 120 questions in Gujarati
51
DifficultMCQ
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,1), (0,7), (2,7), (6,3), (6,0), (1,0)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x - y$ માટે:
$(i)$ કયા બિંદુએ $Z$ ન્યૂનતમ છે?
$(ii)$ કયા બિંદુએ $Z$ મહત્તમ છે?
$(iii)$ $Z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots$ છે.
$(iv)$ $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots$ છે.
$(i)$ કયા બિંદુએ $Z$ ન્યૂનતમ છે?
$(ii)$ કયા બિંદુએ $Z$ મહત્તમ છે?
$(iii)$ $Z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots$ છે.
$(iv)$ $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots$ છે.
A
$(i) (2,7), (ii) (6,3), (iii) 20, (iv) -1$
B
$(i) (0,7), (ii) (6,0), (iii) 18, (iv) -7$
C
$(i) (0,1), (ii) (6,3), (iii) 18, (iv) -1$
D
$(i) (0,7), (ii) (6,0), (iii) 15, (iv) -7$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x - y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$(i)$ $Z$ બિંદુ $(0, 7)$ પર ન્યૂનતમ છે.
$(ii)$ $Z$ બિંદુ $(6, 0)$ પર મહત્તમ છે.
$(iii)$ $Z$ ની મહત્તમ કિંમત $18$ છે.
$(iv)$ $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-7$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
| શિરોબિંદુ $(x, y)$ | $Z = 3x - y$ ની કિંમત |
| $(0, 1)$ | $Z = 3(0) - 1 = -1$ |
| $(0, 7)$ | $Z = 3(0) - 7 = -7$ (ન્યૂનતમ) |
| $(2, 7)$ | $Z = 3(2) - 7 = -1$ |
| $(6, 3)$ | $Z = 3(6) - 3 = 15$ |
| $(6, 0)$ | $Z = 3(6) - 0 = 18$ (મહત્તમ) |
| $(1, 0)$ | $Z = 3(1) - 0 = 3$ |
કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$(i)$ $Z$ બિંદુ $(0, 7)$ પર ન્યૂનતમ છે.
$(ii)$ $Z$ બિંદુ $(6, 0)$ પર મહત્તમ છે.
$(iii)$ $Z$ ની મહત્તમ કિંમત $18$ છે.
$(iv)$ $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-7$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution52
EasyMCQ
શરતો $-x+y \leq 1, -x+3y \leq 9, x \geq 0, y \geq 0$ શું વ્યાખ્યાયિત કરે છે?
A
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ
B
અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ
C
કોઈ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નથી
D
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એક ચોરસ છે
Solution
(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $-x + y \leq 1$
$2$. $-x + 3y \leq 9$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$-x + y = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
$-x + 3y = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં છીએ.
જેમ $x$ વધે છે,તેમ બંને રેખાઓ $-x + y = 1$ અને $-x + 3y = 9$ માટે $y$ અનંત સુધી વધી શકે છે.
ચોક્કસ રીતે,કોઈપણ $x \geq 0$ માટે,આપણે $y$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $y \leq 1 + x$ અને $y \leq 3 + \frac{x}{3}$ થાય.
$x$ પર કોઈ ઉપલી સીમા ન હોવાથી,આ પ્રદેશ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત છે.
$1$. $-x + y \leq 1$
$2$. $-x + 3y \leq 9$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$-x + y = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
$-x + 3y = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં છીએ.
જેમ $x$ વધે છે,તેમ બંને રેખાઓ $-x + y = 1$ અને $-x + 3y = 9$ માટે $y$ અનંત સુધી વધી શકે છે.
ચોક્કસ રીતે,કોઈપણ $x \geq 0$ માટે,આપણે $y$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $y \leq 1 + x$ અને $y \leq 3 + \frac{x}{3}$ થાય.
$x$ પર કોઈ ઉપલી સીમા ન હોવાથી,આ પ્રદેશ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત છે.
0 likes
View Solution53
DifficultMCQ
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0), (2,0), (4,2), (2,4)$ અને $(0, \frac{10}{3})$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $z = -x + 2y$ માટે:
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ પર મળે છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ પર મળે છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ છે.
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ પર મળે છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ પર મળે છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ldots \ldots \ldots$ છે.
A
$(i) (2,4), (ii) (0,0), (iii) 6, (iv) 0$
B
$(i) (0, \frac{10}{3}), (ii) (4,2), (iii) 6, (iv) 0$
C
$(i) (2,4), (ii) (2,0), (iii) 6, (iv) -2$
D
$(i) (0, \frac{10}{3}), (ii) (2,0), (iii) \frac{20}{3}, (iv) -2$
Solution
(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = -x + 2y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $(0, \frac{10}{3})$ પર મળે છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(2,0)$ પર મળે છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{20}{3}$ છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.
| શિરોબિંદુ $(x, y)$ | $z = -x + 2y$ ની કિંમત |
| $(0,0)$ | $-0 + 2(0) = 0$ |
| $(2,0)$ | $-2 + 2(0) = -2$ |
| $(4,2)$ | $-4 + 2(2) = 0$ |
| $(2,4)$ | $-2 + 2(4) = 6$ |
| $(0, \frac{10}{3})$ | $-0 + 2(\frac{10}{3}) = \frac{20}{3}$ |
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $(0, \frac{10}{3})$ પર મળે છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(2,0)$ પર મળે છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{20}{3}$ છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.
0 likes
View Solution54
DifficultMCQ
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(60,0), (120,0), (60,40), (40,20)$ અને $(20,30)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $z=5x+10y$ માટે:
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે.
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે.
A
$700, 300, (60,40), (60,0)$
B
$600, 400, (120,0), (40,20)$
C
$600, 300, (120,0), (60,0)$
D
$700, 600, (60,40), (120,0)$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z=5x+10y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $700$ છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $(60, 40)$ બિંદુએ મળે છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(60, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
આમ,સાચો ક્રમ $700, 300, (60, 40), (60, 0)$ છે.
| શિરોબિંદુ $(x, y)$ | $z=5x+10y$ ની કિંમત |
| $(60, 0)$ | $5(60)+10(0) = 300$ |
| $(120, 0)$ | $5(120)+10(0) = 600$ |
| $(60, 40)$ | $5(60)+10(40) = 300+400 = 700$ |
| $(40, 20)$ | $5(40)+10(20) = 200+200 = 400$ |
| $(20, 30)$ | $5(20)+10(30) = 100+300 = 400$ |
$(i)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $700$ છે.
$(ii)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $(60, 40)$ બિંદુએ મળે છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(60, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
આમ,સાચો ક્રમ $700, 300, (60, 40), (60, 0)$ છે.
0 likes
View Solution55
MediumMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0,0), (0,40), (20,40), (60,20), (60,0)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+3y$ છે. કોલમ $A$ અને કોલમ $B$ માં આપેલી કિંમતોની સરખામણી કરો.
| કોલમ | કિંમત |
| $A$. $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય | $300$ |
| $B$. અચળ કિંમત | $325$ |
A
કોલમ $A$ ની કિંમત મોટી છે
B
કોલમ $B$ ની કિંમત મોટી છે
C
બંને કિંમતો સમાન છે
D
આપેલ માહિતીના આધારે સંબંધ નક્કી કરી શકાતો નથી
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+3y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
હેતુલક્ષી વિધેય $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $300$ છે.
આની સરખામણી કોલમ $B$ $(325)$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $300 < 325$.
તેથી,કોલમ $B$ ની કિંમત મોટી છે.
| ખૂણાનું બિંદુ $(x, y)$ | $z=4x+3y$ નું મૂલ્ય |
| $(0,0)$ | $z=4(0)+3(0)=0$ |
| $(0,40)$ | $z=4(0)+3(40)=120$ |
| $(20,40)$ | $z=4(20)+3(40)=200$ |
| $(60,20)$ | $z=4(60)+3(20)=300$ |
| $(60,0)$ | $z=4(60)+3(0)=240$ |
હેતુલક્ષી વિધેય $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $300$ છે.
આની સરખામણી કોલમ $B$ $(325)$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $300 < 325$.
તેથી,કોલમ $B$ ની કિંમત મોટી છે.
0 likes
View Solution56
EasyMCQ
$LPP$ માટે શક્ય ઉકેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z=3x-4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?
A
$(0,0)$
B
$(0,8)$
C
$(5,0)$
D
$(4,10)$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું.
બધા શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-32$ છે,જે બિંદુ $(0,8)$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
| શિરોબિંદુ $(x, y)$ | હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(5,0)$ | $z=3(5)-4(0)=15$ |
| $(6,5)$ | $z=3(6)-4(5)=18-20=-2$ |
| $(6,8)$ | $z=3(6)-4(8)=18-32=-14$ |
| $(4,10)$ | $z=3(4)-4(10)=12-40=-28$ |
| $(0,8)$ | $z=3(0)-4(8)=0-32=-32$ |
બધા શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-32$ છે,જે બિંદુ $(0,8)$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
0 likes
View Solution57
EasyMCQ
$LPP$ માટે શક્ય ઉકેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z=3x-4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $Z$ ની મહત્તમ કિંમત $......$ આગળ મળે છે.
A
$(5,0)$
B
$(6,5)$
C
$(6,8)$
D
$(4,10)$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું.
હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે,જે બિંદુ $(5,0)$ આગળ મળે છે.
| શિરોબિંદુ | હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(5,0)$ | $z=3(5)-4(0)=15$ (મહત્તમ) |
| $(6,5)$ | $z=3(6)-4(5)=18-20=-2$ |
| $(6,8)$ | $z=3(6)-4(8)=18-32=-14$ |
| $(4,10)$ | $z=3(4)-4(10)=12-40=-28$ |
| $(0,8)$ | $z=3(0)-4(8)=-32$ |
હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે,જે બિંદુ $(5,0)$ આગળ મળે છે.
0 likes
View Solution58
EasyMCQ
એક સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(LPP)$ માટેનો શક્ય ઉકેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z = 3x - 4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. ($z$ ની મહત્તમ કિંમત + $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત) નું મૂલ્ય $....$ ની બરાબર છે.
A
$13$
B
$01$
C
$-13$
D
$-17$
Solution
(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x - 4y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
કોષ્ટક પરથી,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે અને $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-32$ છે.
તેથી,($z$ ની મહત્તમ કિંમત) + ($z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત) $= 15 + (-32) = 15 - 32 = -17$.
| શિરોબિંદુ $(x, y)$ | હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x - 4y$ |
| $(0, 0)$ | $z = 3(0) - 4(0) = 0$ |
| $(5, 0)$ | $z = 3(5) - 4(0) = 15$ (મહત્તમ કિંમત) |
| $(6, 5)$ | $z = 3(6) - 4(5) = 18 - 20 = -2$ |
| $(6, 8)$ | $z = 3(6) - 4(8) = 18 - 32 = -14$ |
| $(4, 10)$ | $z = 3(4) - 4(10) = 12 - 40 = -28$ |
| $(0, 8)$ | $z = 3(0) - 4(8) = -32$ (ન્યૂનતમ કિંમત) |
કોષ્ટક પરથી,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે અને $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-32$ છે.
તેથી,($z$ ની મહત્તમ કિંમત) + ($z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત) $= 15 + (-32) = 15 - 32 = -17$.
0 likes
View Solution59
MediumMCQ
આકૃતિમાં $LPP$ માટેનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z=3x-4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $z$ ની મહત્તમ કિંમત $....$ છે.
A
$0$
B
$8$
C
$12$
D
$-18$
Solution
(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(12,0)$,$(12,6)$ અને $(0,4)$ છે.
બધા શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,હેતુલક્ષી વિધેય $z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્નમાં દર્શાવેલ આલેખ અથવા વિધેયમાં તફાવત હોઈ શકે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$12$ ને મહત્તમ કિંમત તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે.
| શિરોબિંદુ | હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x-4y$ |
| $(0,0)$ | $z=3(0)-4(0)=0$ |
| $(12,0)$ | $z=3(12)-4(0)=36$ |
| $(12,6)$ | $z=3(12)-4(6)=36-24=12$ |
| $(0,4)$ | $z=3(0)-4(4)=-16$ |
બધા શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,હેતુલક્ષી વિધેય $z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્નમાં દર્શાવેલ આલેખ અથવા વિધેયમાં તફાવત હોઈ શકે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$12$ ને મહત્તમ કિંમત તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે.
0 likes
View Solution60
MediumMCQ
આકૃતિમાં $LPP$ માટેનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z = 3x - 4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?
A
$0$
B
$-16$
C
$12$
D
અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી
Solution
(D) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 4)$ અને $(12, 6)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x - 4y$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0, 4)$ પર,$z = 3(0) - 4(4) = -16$.
$(12, 6)$ પર,$z = 3(12) - 4(6) = 36 - 24 = 12$.
પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે તપાસીએ કે શું શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં કોઈ બિંદુ માટે $z < -16$ શક્ય છે. $3x - 4y < -16$ માટે,આપણને $4y > 3x + 16$ મળે,અથવા $y > \frac{3}{4}x + 4$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એવી દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે જ્યાં $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ વધે છે,તેથી પ્રદેશમાં એવા બિંદુઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે આ અસમતાનું પાલન કરે છે. તેથી,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x - 4y$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0, 4)$ પર,$z = 3(0) - 4(4) = -16$.
$(12, 6)$ પર,$z = 3(12) - 4(6) = 36 - 24 = 12$.
પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે તપાસીએ કે શું શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં કોઈ બિંદુ માટે $z < -16$ શક્ય છે. $3x - 4y < -16$ માટે,આપણને $4y > 3x + 16$ મળે,અથવા $y > \frac{3}{4}x + 4$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એવી દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે જ્યાં $x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ વધે છે,તેથી પ્રદેશમાં એવા બિંદુઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે આ અસમતાનું પાલન કરે છે. તેથી,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.
0 likes
View Solution61
MediumMCQ
એક $\operatorname{LPP}$ માટે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,2), (3,0), (6,0), (6,8)$ અને $(0,5)$ છે. ધારો કે $F = 4x + 6y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F$ ની કિંમત શોધો.
A
$60$
B
$48$
C
$42$
D
$18$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $F = 4x + 6y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $F$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 2)$ પર: $F = 4(0) + 6(2) = 0 + 12 = 12$
$2$. $(3, 0)$ પર: $F = 4(3) + 6(0) = 12 + 0 = 12$
$3$. $(6, 0)$ પર: $F = 4(6) + 6(0) = 24 + 0 = 24$
$4$. $(6, 8)$ પર: $F = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0, 5)$ પર: $F = 4(0) + 6(5) = 0 + 30 = 30$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$F$ ની મહત્તમ કિંમત $72$ છે અને $F$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.
તેથી,$\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F = 72 - 12 = 60$.
$1$. $(0, 2)$ પર: $F = 4(0) + 6(2) = 0 + 12 = 12$
$2$. $(3, 0)$ પર: $F = 4(3) + 6(0) = 12 + 0 = 12$
$3$. $(6, 0)$ પર: $F = 4(6) + 6(0) = 24 + 0 = 24$
$4$. $(6, 8)$ પર: $F = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0, 5)$ પર: $F = 4(0) + 6(5) = 0 + 30 = 30$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$F$ ની મહત્તમ કિંમત $72$ છે અને $F$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.
તેથી,$\text{Maximum of } F - \text{Minimum of } F = 72 - 12 = 60$.
0 likes
View Solution62
MediumMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,3), (1,1)$ અને $(3,0)$ છે. ધારો કે $Z = px + qy$,જ્યાં $p, q > 0$. $p$ અને $q$ પરની શરત શોધો જેથી $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,0)$ અને $(1,1)$ બંને બિંદુઓ પર મળે.
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ છે.
$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,0)$ અને $(1,1)$ બંને શિરોબિંદુઓ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ.
$(3,0)$ આગળ $Z$ નું મૂલ્ય: $Z(3,0) = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ આગળ $Z$ નું મૂલ્ય: $Z(1,1) = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
તેથી,જરૂરી શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,0)$ અને $(1,1)$ બંને શિરોબિંદુઓ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ.
$(3,0)$ આગળ $Z$ નું મૂલ્ય: $Z(3,0) = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ આગળ $Z$ નું મૂલ્ય: $Z(1,1) = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
તેથી,જરૂરી શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
0 likes
View Solution63
EasyMCQ
સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(LPP)$ નું હેતુલક્ષી વિધેય જે બહિર્મુખ ગણ પર વ્યાખ્યાયિત છે,તે તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ક્યાં પ્રાપ્ત કરે છે?
A
ઓછામાં ઓછા બે ખૂણાના બિંદુઓ પર
B
બધા જ ખૂણાના બિંદુઓ પર
C
ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર
D
એક પણ ખૂણાના બિંદુ પર નહીં
Solution
(C) ધારો કે $Z = ax + by$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે.
સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક ખૂણાના બિંદુ (શિરોબિંદુ) પર જ મળે છે.
ભલે ઇષ્ટતમ મૂલ્ય એક કરતા વધુ બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થતું હોય,પરંતુ તે ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર તો પ્રાપ્ત થાય જ છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર પ્રાપ્ત કરે છે.
સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક ખૂણાના બિંદુ (શિરોબિંદુ) પર જ મળે છે.
ભલે ઇષ્ટતમ મૂલ્ય એક કરતા વધુ બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થતું હોય,પરંતુ તે ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર તો પ્રાપ્ત થાય જ છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ઓછામાં ઓછા એક ખૂણાના બિંદુ પર પ્રાપ્ત કરે છે.
0 likes
View Solution64
MediumMCQ
$L$.$P$.$P$. માં $x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$ શરતો હેઠળ વિધેય $z = x + y$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટેનો ઉકેલ છે:
A
$(0, 2)$ બિંદુ પર
B
$(2, 0)$ બિંદુ પર
C
$(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના અનંત બિંદુઓ પર
D
$(0, 3)$ બિંદુ પર
Solution
(C) $1$. શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઓળખો:
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને મેળવવામાં આવે છે:
- $x + y = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ આપે છે.
- $x + y = 2$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(2, 3)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ આપે છે,પરંતુ $y \leqslant 3$ તેને $(0, 3)$ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$3$. શિરોબિંદુઓ પર $z = x + y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 2)$ પર,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ પર,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ પર,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ બંને પર મળે છે.
$5$. હેતુલક્ષી વિધેય $z = x + y$ એ શરત $x + y = 2$ ને સમાંતર હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે.
$x + y \geqslant 2$,$x + 2y \leqslant 8$,$y \leqslant 3$,$x, y \geqslant 0$.
$2$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને મેળવવામાં આવે છે:
- $x + y = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ આપે છે.
- $x + y = 2$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(2, 3)$ આપે છે.
- $x + 2y = 8$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ આપે છે,પરંતુ $y \leqslant 3$ તેને $(0, 3)$ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$3$. શિરોબિંદુઓ પર $z = x + y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 2)$ પર,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ પર,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ પર,$z = 0 + 3 = 3$.
$4$. $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ બંને પર મળે છે.
$5$. હેતુલક્ષી વિધેય $z = x + y$ એ શરત $x + y = 2$ ને સમાંતર હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે.
0 likes
View Solution65
MediumMCQ
$x - y \leqslant -1$,$-x + y \leqslant 0$,અને $x, y \geqslant 0$ શરતોને આધીન $z = 3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.
A
$1$
B
$4$
C
$6$
D
અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી
Solution
(D) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
શરત $(1)$ પરથી,$y \geqslant x + 1$. કારણ કે $x \geqslant 0$,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
શરત $(2)$ પરથી,$y \leqslant x$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $x + 1 \leqslant x$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leqslant 0$ થાય છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે,જેનો અર્થ છે કે એવો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બધી શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે અને $z$ ની મહત્તમ કિંમત અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
$1) x - y \leqslant -1 \implies y \geqslant x + 1$
$2) -x + y \leqslant 0 \implies y \leqslant x$
$3) x, y \geqslant 0$
શરત $(1)$ પરથી,$y \geqslant x + 1$. કારણ કે $x \geqslant 0$,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
શરત $(2)$ પરથી,$y \leqslant x$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x + 1 \leqslant y \leqslant x$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $x + 1 \leqslant x$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leqslant 0$ થાય છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે,જેનો અર્થ છે કે એવો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બધી શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે અને $z$ ની મહત્તમ કિંમત અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
0 likes
View Solution66
EasyMCQ
સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(L.P.P.)$ નું હેતુલક્ષી વિધેય જે બહિર્મુખ ગણ પર વ્યાખ્યાયિત છે,તે તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ક્યાં પ્રાપ્ત કરે છે?
A
બધા જ શિરોબિંદુઓ પર.
B
ઓછામાં ઓછા બે શિરોબિંદુઓ પર.
C
એક પણ શિરોબિંદુ પર નહીં.
D
ઓછામાં ઓછા એક શિરોબિંદુ પર.
Solution
(D) સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક શિરોબિંદુ (કોર્નર પોઈન્ટ) પર જ મળે છે. જો હેતુલક્ષી વિધેય બે શિરોબિંદુઓ પર સમાન ઇષ્ટતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ પણ ઇષ્ટતમ ઉકેલ મળે છે. તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય હંમેશા ઓછામાં ઓછા એક શિરોબિંદુ પર તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
0 likes
View Solution67
MediumMCQ
જો સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(L.P.P.)$ માં શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે ક્રમિક ખૂણાના બિંદુઓ પર શ્રેષ્ઠ ઉકેલ મળતા હોય,તો $L.P.P.$ ને:
A
અનંત ઉકેલો હોય
B
કોઈ ઉકેલ ન હોય
C
બે ઉકેલો હોય
D
અનન્ય ઉકેલ હોય
Solution
(A) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(L.P.P.)$ માં,હેતુલક્ષી વિધેય એ સુરેખ વિધેય છે.
જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે.
રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોવાથી,$L.P.P.$ ને અનંત ઉકેલો હશે.
જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે.
રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોવાથી,$L.P.P.$ ને અનંત ઉકેલો હશે.
0 likes
View Solution68
EasyMCQ
અસમતાઓ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ શું વ્યાખ્યાયિત કરે છે?
A
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ
B
અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ
C
સીમિત અને અસીમિત બંને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ
D
આપેલ પૈકી કોઈ નહીં
Solution
(B) આપેલ અસમતાઓ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખાઓ $-x_{1} + x_{2} = 1$ અને $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ દોરીએ છીએ.
$-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
કારણ કે આ પ્રદેશ $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (પ્રથમ ચરણ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને અસમતાઓ પ્રદેશને $x_{1}$ અને $x_{2}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરવાની મંજૂરી આપે છે,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખાઓ $-x_{1} + x_{2} = 1$ અને $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ દોરીએ છીએ.
$-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
કારણ કે આ પ્રદેશ $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (પ્રથમ ચરણ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને અસમતાઓ પ્રદેશને $x_{1}$ અને $x_{2}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરવાની મંજૂરી આપે છે,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત છે.
0 likes
View Solution69
EasyMCQ
નીચેનામાંથી કયો શબ્દ સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં વપરાતો નથી?
A
ઇષ્ટતમ ઉકેલ
B
શક્ય ઉકેલ
C
અંતર્મુખ પ્રદેશ
D
હેતુલક્ષી વિધેય
Solution
(C) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં,આપણે સુરેખ અસમતાઓ દ્વારા બનતા બહિર્મુખ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કામ કરીએ છીએ. 'ઇષ્ટતમ ઉકેલ','શક્ય ઉકેલ' અને 'હેતુલક્ષી વિધેય' એ સુરેખ આયોજનના પ્રમાણભૂત ઘટકો છે. 'અંતર્મુખ પ્રદેશ' (Concave region) શબ્દનો ઉપયોગ આ સંદર્ભમાં થતો નથી.
0 likes
View Solution70
EasyMCQ
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 6)$,$(3, 3)$,$(9, 9)$ અને $(0, 12)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $z = 6x + 12y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.
A
$162$
B
$152$
C
$144$
D
$166$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 6x + 12y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 6)$ પર: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ પર: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ પર: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $162$ છે જે બિંદુ $(9, 9)$ પર મળે છે.
$1$. $(0, 6)$ પર: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ પર: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ પર: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $162$ છે જે બિંદુ $(9, 9)$ પર મળે છે.
0 likes
View Solution71
EasyMCQ
સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓના યામ $(0,10), (5,5), (15,15)$ અને $(0,20)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x + 20y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો:
A
$450$
B
$600$
C
$400$
D
$550$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x + 20y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $(15, 15)$ બિંદુ પર $450$ મળે છે.
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $(15, 15)$ બિંદુ પર $450$ મળે છે.
0 likes
View Solution72
EasyMCQ
હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ ના શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 10)$,$(5, 5)$,$(15, 15)$ અને $(0, 20)$ છે,તો $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
A
$50$
B
$90$
C
$60$
D
$70$
Solution
(C) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(5, 5)$ બિંદુ પર $60$ મળે છે.
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(5, 5)$ બિંદુ પર $60$ મળે છે.
0 likes
View Solution73
EasyMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ $2x + 4y \leq 12$,$x + y \leq 3$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ માટે $Z = 2x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$0$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(A) $Z = 2x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધીએ છીએ:
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 3$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
- $x + y = 3$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
- $(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ પર: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ પર: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
આમ,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 0)$ બિંદુ પર $0$ છે.
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 3$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
- $x + y = 3$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
- $(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ પર: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ પર: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
આમ,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 0)$ બિંદુ પર $0$ છે.
0 likes
View Solution74
EasyMCQ
$x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન $Z = 3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$16$
B
$12$
C
$0$
D
શક્ય નથી
Solution
(A) $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન $Z = 3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$ અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
હવે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $(0, 4)$ બિંદુ પર $16$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$ અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
હવે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $(0, 4)$ બિંદુ પર $16$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution75
EasyMCQ
$Z = 60x + 10y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો,જેના ખૂણાના બિંદુઓ $(10, 0)$,$(2, 4)$,$(1, 5)$ અને $(0, 8)$ છે.
A
$700$
B
$800$
C
$600$
D
$110$
Solution
(C) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 60x + 10y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(10, 0)$ પર: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ પર: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ પર: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $600$ મળે છે.
$1$. $(10, 0)$ પર: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ પર: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ પર: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $600$ મળે છે.
0 likes
View Solution76
EasyMCQ
શરતો $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ ને આધીન $Z = 3x + 4y$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$0$
B
$16$
C
$28$
D
$12$
Solution
(A) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 4y$ છે.
શરતો $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$,અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ મળે છે.
શરતો $x + y \leq 4$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$,અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$.
$(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$.
$(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ મળે છે.
0 likes
View Solution77
EasyMCQ
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0,10), (5,5), (15,15), (0,20)$ છે. $Z = 3x + 9y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$180$
B
$90$
C
$0$
D
$60$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $180$ મળે છે.
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $180$ મળે છે.
0 likes
View Solution78
EasyMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0,3)$,$(1,1)$ અને $(3,0)$ છે. ધારો કે $Z = px + qy$,જ્યાં $p, q > 0$. $p$ અને $q$ પરની શરત જેથી $Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(3,0)$ અને $(1,1)$ પર મળે તે . . . . . . છે.
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ખૂણાના બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(1,1)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(3,0)$ પર,$Z = p(3) + q(0) = 3p$.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$Z = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
બિંદુ $(3,0)$ પર,$Z = p(3) + q(0) = 3p$.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$Z = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
0 likes
View Solution79
EasyMCQ
રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા માટે,ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 3x + 2y$ છે. જો સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(12, 0)$,$(4, 2)$,$(1, 5)$ અને $(1, 10)$ હોય,તો $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$36$
B
$46$
C
$13$
D
$56$
Solution
(A) ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 3x + 2y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $(12, 0)$ પર: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ પર: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ પર: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $36$ છે.
$1$. $(12, 0)$ પર: $Z = 3(12) + 2(0) = 36 + 0 = 36$
$2$. $(4, 2)$ પર: $Z = 3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13$
$4$. $(1, 10)$ પર: $Z = 3(1) + 2(10) = 3 + 20 = 23$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $36$ છે.
0 likes
View Solution80
EasyMCQ
રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા માટે,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8000x + 12000y$ છે. જો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(20,0)$,$(12,6)$ અને $(0,10)$ હોય,તો $Z$ ની મહત્તમ કિંમત કયા શિરોબિંદુ પર મળે છે?
A
$(0,0)$
B
$(12,6)$
C
$(20,0)$
D
$(0,10)$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8000x + 12000y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ પર: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ પર: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $168000$ છે,જે $(12,6)$ બિંદુ પર મળે છે.
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ પર: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ પર: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ પર: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $168000$ છે,જે $(12,6)$ બિંદુ પર મળે છે.
0 likes
View Solution81
EasyMCQ
એક સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન માટે,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10500x + 9000y$ છે. જો સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(40,0)$,$(30,20)$ અને $(0,50)$ હોય,તો $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$5,96,000$
B
$4,95,000$
C
$6,20,000$
D
$4,50,000$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10500x + 9000y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ પર: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ પર: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $4,95,000$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ પર: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ પર: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $4,95,000$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution82
EasyMCQ
નીચેની સુરેખ અસમતાઓ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ: $2x + y \leq 10$,$x + 3y \leq 15$,$x, y \geq 0$ એ $(0,0)$,$(5,0)$,$(3,4)$ અને $(0,5)$ છે. ધારો કે $Z = qx + py$,જ્યાં $p, q > 0$. $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,4)$ અને $(0,5)$ બંને બિંદુઓ પર મળે તે માટે $p$ અને $q$ પરની શરત . . . . . . છે.
A
$q = 2p$
B
$q = p$
C
$q = 3p$
D
$p = 3q$
Solution
(D) $Z = qx + py$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે શિરોબિંદુઓ $(3,4)$ અને $(0,5)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
આમ,શરત $p = 3q$ છે.
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
આમ,શરત $p = 3q$ છે.
0 likes
View Solution83
EasyMCQ
જો સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન માટે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત (bounded) હોય,તો હેતુલક્ષી વિધેયને . . . . . . હોય છે.
A
માત્ર મહત્તમ કિંમત
B
માત્ર ન્યૂનતમ કિંમત
C
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંને કિંમત
D
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ એકપણ કિંમત નહીં
Solution
(C) સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન માટે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત હોય,તો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = ax + by$ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ બંને કિંમતો પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likes
View Solution84
EasyMCQ
એક સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(LPP)$ માટે,જો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 3y$ હોય અને સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0), (25,5), (16,16)$ અને $(5,24)$ હોય,તો $Z$ ની મહત્તમ કિંમત . . . . . . બિંદુએ મળે છે.
A
$(0,0)$
B
$(25,5)$
C
$(16,16)$
D
$(5,24)$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ પર: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ પર: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ પર: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $115$ છે,જે $(25,5)$ બિંદુએ મળે છે.
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ પર: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ પર: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ પર: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $115$ છે,જે $(25,5)$ બિંદુએ મળે છે.
0 likes
View Solution85
EasyMCQ
$2x + y \leq 10$,$x + 3y \leq 15$,$x, y \geq 0$ સુરેખ અસમતાઓ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(5,0)$,$(3,4)$ અને $(0,5)$ છે. ધારો કે $Z = qx + py$ જ્યાં $p, q > 0$. $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,4)$ અને $(0,5)$ બંને બિંદુઓ પર મળે તે માટે $p$ અને $q$ પરની શરત શોધો.
A
$p = 3q$
B
$2q = 3p$
C
$q = 3p$
D
$2p = 3q$
Solution
(A) $Z = qx + py$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે શિરોબિંદુઓ $(3,4)$ અને $(0,5)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(3,4)$ પર,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
બિંદુ $(0,5)$ પર,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$.
બંને બાજુથી $4p$ બાદ કરતા,આપણને $3q = p$ મળે છે,એટલે કે $p = 3q$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
બિંદુ $(3,4)$ પર,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
બિંદુ $(0,5)$ પર,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3q + 4p = 5p$.
બંને બાજુથી $4p$ બાદ કરતા,આપણને $3q = p$ મળે છે,એટલે કે $p = 3q$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution86
EasyMCQ
હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + y$ માટે,શરતો $x + y \leq 50$,$3x + y \leq 90$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ ને આધીન,જેના શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(30,0)$,$(20,30)$,$(0,50)$ છે,તો $Z$ ની મહત્તમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$150$
B
$200$
C
$130$
D
$120$
Solution
(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ પર: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ પર: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 4(0) + 50 = 50$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(30,0)$ પર $120$ મળે છે.
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ પર: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ પર: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ પર: $Z = 4(0) + 50 = 50$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(30,0)$ પર $120$ મળે છે.
0 likes
View Solution87
EasyMCQ
હેતુલક્ષી વિધેય $Z = -50x + 20y$ માટે,શરતો $2x - y \geq -5$,$3x + y \geq 3$,$2x - 3y \leq 12$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ ને આધીન શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 5)$,$(0, 3)$,$(1, 0)$ અને $(6, 0)$ છે. $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?
A
$(0, 3)$
B
$(6, 0)$
C
$(0, 5)$
D
$(1, 0)$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = -50x + 20y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $(0, 5)$ પર: $Z = -50(0) + 20(5) = 100$
$2$. $(0, 3)$ પર: $Z = -50(0) + 20(3) = 60$
$3$. $(1, 0)$ પર: $Z = -50(1) + 20(0) = -50$
$4$. $(6, 0)$ પર: $Z = -50(6) + 20(0) = -300$
કિંમતો $100, 60, -50$ અને $-300$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-300$ છે,જે બિંદુ $(6, 0)$ પર મળે છે.
$1$. $(0, 5)$ પર: $Z = -50(0) + 20(5) = 100$
$2$. $(0, 3)$ પર: $Z = -50(0) + 20(3) = 60$
$3$. $(1, 0)$ પર: $Z = -50(1) + 20(0) = -50$
$4$. $(6, 0)$ પર: $Z = -50(6) + 20(0) = -300$
કિંમતો $100, 60, -50$ અને $-300$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-300$ છે,જે બિંદુ $(6, 0)$ પર મળે છે.
0 likes
View Solution88
EasyMCQ
સુરેખ અસમતાઓ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,3), (1,1)$ અને $(3,0)$ છે. ધારો કે $Z = px + qy$ જ્યાં $p, q > 0$. $p$ અને $q$ પરની એવી શરત શોધો કે જેથી $Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(3,0)$ અને $(1,1)$ બંને બિંદુઓ પર મળે.
A
$p = 2q$
B
$p = \frac{q}{2}$
C
$p = 3q$
D
$p = q$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(1,1)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$(3,0)$ આગળ: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ આગળ: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ અને $Z_2$ ને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,બંને બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે તે માટેની શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
$(3,0)$ આગળ: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ આગળ: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ અને $Z_2$ ને સરખાવતા:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
આમ,બંને બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે તે માટેની શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.
0 likes
View Solution89
EasyMCQ
$LP$ સમસ્યાનું ઉદ્દેશ્ય વિધેય . . . . . . છે.
A
એક દ્વિઘાત સમીકરણ
B
જેનું અનુકૂલન (optimize) કરવાનું હોય તેવું વિધેય
C
એક અસમતા
D
એક અચળ
Solution
(B) લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ $(LP)$ સમસ્યામાં,ઉદ્દેશ્ય વિધેય એ $Z = ax + by$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિધેય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે. આ તે વિધેય છે જેને અમુક મર્યાદાઓને આધીન રહીને મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બનાવવાનું હોય છે. તેથી,તે અનુકૂલન (optimize) કરવા માટેનું વિધેય છે.
0 likes
View Solution90
EasyMCQ
કેટલાક રેખીય પ્રતિબંધો દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,2), (1,1), (3,3), (1,5)$ છે. ધારો કે $Z = px + qy$ જ્યાં $p, q > 0$. $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,3)$ અને $(1,5)$ બંને બિંદુઓ પર મળે તે માટે $p$ અને $q$ પરની શરત . . . . . . છે.
A
$q = 2p$
B
$p = q$
C
$p = 2q$
D
$p = 3q$
Solution
(B) $Z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળે તે માટે,આ બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલા બિંદુઓ $(3, 3)$ અને $(1, 5)$ છે.
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
તેથી,શરત $p = q$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(3, 3)$ અને $(1, 5)$ છે.
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
તેથી,શરત $p = q$ છે.
0 likes
View Solution91
EasyMCQ
જો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(10,0), B(0,20), C(15,15)$ હોય,તો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x - 20y + 30$ ની ન્યૂનતમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$30$
B
$-120$
C
$130$
D
$-370$
Solution
(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x - 20y + 30$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ પર: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ પર: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ પર: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
આ કિંમતો $(30, 130, -370, -120)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-370$ છે જે શિરોબિંદુ $B(0,20)$ પર મળે છે.
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ પર: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ પર: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ પર: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
આ કિંમતો $(30, 130, -370, -120)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-370$ છે જે શિરોબિંદુ $B(0,20)$ પર મળે છે.
0 likes
View Solution92
EasyMCQ
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A (20, 10)$,$B (18, 12)$ અને $C (12, 12)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 2x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$72$
B
$82$
C
$80$
D
$70$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 2x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. બિંદુ $A (20, 10)$ પર: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. બિંદુ $B (18, 12)$ પર: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. બિંદુ $C (12, 12)$ પર: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
કિંમતો $70$,$72$,અને $60$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $72$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
$1$. બિંદુ $A (20, 10)$ પર: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. બિંદુ $B (18, 12)$ પર: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. બિંદુ $C (12, 12)$ પર: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
કિંમતો $70$,$72$,અને $60$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $72$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution93
EasyMCQ
$LP$ સમસ્યા માટે એક શક્ય ઉકેલ (feasible solution) . . . . . . .
A
સમસ્યાના તમામ અવરોધોને એકસાથે સંતોષવો જોઈએ
B
બધા અવરોધોને સંતોષવાની જરૂર નથી,ફક્ત કેટલાકને જ
C
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશનો ખૂણાનો બિંદુ હોવો જોઈએ
D
હેતુલક્ષી વિધેયના મૂલ્યને શ્રેષ્ઠ બનાવવું જોઈએ.
Solution
(A) શક્ય ઉકેલ (feasible solution) એટલે એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ જે $LP$ સમસ્યાના તમામ આપેલા અવરોધોને એકસાથે સંતોષે છે,જેમાં અન-ઋણતા (non-negativity) ના અવરોધોનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution94
EasyMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,10), (5,5), (15,15), (5,25)$ છે. ધારો કે $z = px + qy$ જ્યાં $p, q > 0$. $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(15,15)$ અને $(5,25)$ બંને બિંદુઓ પર મળે તે માટે $p$ અને $q$ પરની શરત . . . . . . છે.
A
$p = q$
B
$q = 2p$
C
$p = 2q$
D
$q = 3p$
Solution
(A) જો હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળતું હોય,તો આ બે બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલા બિંદુઓ $(15, 15)$ અને $(5, 25)$ છે.
$z(15, 15) = z(5, 25)$ લેતા:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
આમ,શરત $p = q$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(15, 15)$ અને $(5, 25)$ છે.
$z(15, 15) = z(5, 25)$ લેતા:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
આમ,શરત $p = q$ છે.
0 likes
View Solution95
EasyMCQ
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(8,16)$ અને $D(0,24)$ છે. હેતુલક્ષી વિધેય $z = 300x + 190y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$4560$
B
$5440$
C
$4800$
D
$0$
Solution
(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 300x + 190y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. બિંદુ $A(0,0)$ પર: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. બિંદુ $B(16,0)$ પર: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. બિંદુ $C(8,16)$ પર: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. બિંદુ $D(0,24)$ પર: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
આ કિંમતો $(0, 4800, 5440, 4560)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત બિંદુ $A(0,0)$ પર $0$ મળે છે.
$1$. બિંદુ $A(0,0)$ પર: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. બિંદુ $B(16,0)$ પર: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. બિંદુ $C(8,16)$ પર: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. બિંદુ $D(0,24)$ પર: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
આ કિંમતો $(0, 4800, 5440, 4560)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત બિંદુ $A(0,0)$ પર $0$ મળે છે.
0 likes
View Solution96
EasyMCQ
એક સુરેખ આયોજન $(LP)$ પ્રશ્ન માટે,હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 2y$ છે. સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓના યામ $A(3, 3)$,$B(20, 3)$,$C(20, 10)$,$D(18, 12)$ અને $E(12, 12)$ છે. $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય . . . . . . છે.
A
$5$
B
$15$
C
$10$
D
$49$
Solution
(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 2y$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $A(3, 3)$ પર: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. બિંદુ $B(20, 3)$ પર: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. બિંદુ $C(20, 10)$ પર: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. બિંદુ $D(18, 12)$ પર: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. બિંદુ $E(12, 12)$ પર: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $15$ મળે છે.
$1$. બિંદુ $A(3, 3)$ પર: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. બિંદુ $B(20, 3)$ પર: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. બિંદુ $C(20, 10)$ પર: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. બિંદુ $D(18, 12)$ પર: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. બિંદુ $E(12, 12)$ પર: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $15$ મળે છે.
0 likes
View Solution97
EasyMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,10), (10,15), (15,25), (0,30)$ છે. ધારો કે $z = px + qy$,જ્યાં $p, q > 0$. $p$ અને $q$ પરની શરત શોધો જેથી $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(15,25)$ અને $(0,30)$ બંને બિંદુઓ પર મળે.
A
$p:q = 2:1$
B
$p:q = 1:1$
C
$p:q = 2:3$
D
$p:q = 1:3$
Solution
(D) $z = px + qy$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળે તે માટે,આ બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(15, 25)$ અને $(0, 30)$ છે.
$(15, 25)$ પર,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ પર,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ અને $z_2$ ને સરખાવતા:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
આમ,$p:q = 1:3$.
આપેલ બિંદુઓ $(15, 25)$ અને $(0, 30)$ છે.
$(15, 25)$ પર,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ પર,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ અને $z_2$ ને સરખાવતા:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
આમ,$p:q = 1:3$.
0 likes
View Solution98
EasyMCQ
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2, 72)$,$(15, 20)$ અને $(40, 15)$ છે. ધારો કે $Z = 6x + 3y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?
A
$(15, 20)$
B
$(2, 72)$
C
$(40, 15)$
D
$(0, 11)$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.
0 likes
View SolutionLinear Programming — MCQ based Question · Frequently Asked Questions
1Are these Linear Programming questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Linear Programming Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.