MCQ based Question Questions in Gujarati

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ નું મૂલ્ય મેળવીએ:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $180$ મળે છે.

(B) રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા $(LPP)$ માં,જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે અલગ-અલગ શિરોબિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ તે જ શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ $LPP$ માં શક્ય ઉકેલોના બહિર્મુખ ગણનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(D) આપેલ શરતો $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
આ શરતો પ્રથમ ચરણમાં એક શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(2,0)$,અને $(0,2)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x+2y$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ પર: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ પર: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $6$ મળે છે,જે $(2,0)$ બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે.

(A) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(LPP)$ માં વિધાન $(I)$ અને વિધાન $(II)$ બંને સાચા છે:
વિધાન $(I)$:
$LPP$ માં ઉદ્દેશ્ય વિધેય હંમેશા સુરેખ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $1$ ઘાત ધરાવતા ચલ સાથેના સુરેખ સમીકરણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વિધાન $(II)$:
$LPP$ માં ચલને મર્યાદિત કરતી સુરેખ અસમતાઓને મર્યાદાઓ (constraints) કહેવામાં આવે છે.
સમજૂતી:
સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં,તમે અમુક મર્યાદાઓ (સુરેખ અસમતાઓ) ને અનુસરીને ઉદ્દેશ્ય વિધેય (સુરેખ સમીકરણ) ને શ્રેષ્ઠ (મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ) બનાવવાનો પ્રયાસ કરો છો,જે ચલની સંભવિત કિંમતોને મર્યાદિત કરે છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,2)$ પર: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ પર: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ પર: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ પર: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ પર: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે,જે $(0,2)$ અને $(3,0)$ બંને શિરોબિંદુઓ પર મળે છે. તેથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.

(B) $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0,2)$ પર: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ પર: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ પર: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ પર: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ પર: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં ન્યૂનતમ કિંમત $12$ એ બે શિરોબિંદુઓ $(0,2)$ અને $(3,0)$ પર મળે છે.
તેથી,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.
રેખાખંડ પર અનંત બિંદુઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
જો $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળતું હોય,તો આ બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $z$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 40x + 30y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 0)$ પર: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ પર: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ પર: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ પર: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ પર: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,હેતુલક્ષી વિધેયની મહત્તમ કિંમત $3000$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
આ કિંમતો $(90, 60, 180, 180)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $60$ મળે છે.

(A) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
ખૂણાના બિંદુ $(0, 10)$ આગળ,$z = p(0) + q(10) = 90$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10q = 90$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = 9$.
ખૂણાના બિંદુ $(5, 5)$ આગળ,$z = p(5) + q(5) = 60$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5p + 5q = 60$ મળે,જેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ $p + q = 12$ થાય છે.
સમીકરણ $p + q = 12$ માં $q = 9$ ની કિંમત મૂકતા,$p + 9 = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $p = 3$.
હવે,$p = 3$ અને $q = 9$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $9 = 3 \times 3$,જેનો અર્થ છે કે $q = 3p$.