|x|

Question

(A) मान लीजिए $T = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}ight)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $

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$\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $T = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}ight)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ रखने पर,जिसका अर्थ है $2	heta = \cos^{-1}(x^2)$ या $	heta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ है।व्यंजक में $x^2 = \cos 2	heta$ प्रतिस्थापित करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2	heta} + \sqrt{1-\cos 2	heta}}{\sqrt{1+\cos 2	heta} - \sqrt{1-\cos 2	heta}}ight)$सर्वसमिकाओं $1+\cos 2	heta = 2\cos^2	heta$ और $1-\cos 2	heta = 2\sin^2	heta$ का उपयोग करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos	heta + \sqrt{2}\sin	heta}{\sqrt{2}\cos	heta - \sqrt{2}\sin	heta}ight)$अंश और हर को $\cos	heta$ से विभाजित करने पर:$T = 	an^{-1}\left(\frac{1 + 	an	heta}{1 - 	an	heta}ight)$सूत्र $	an(\frac{\pi}{4} + 	heta) = \frac{1 + 	an	heta}{1 - 	an	heta}$ का उपयोग करने पर:$T = 	an^{-1}\left(	an\left(\frac{\pi}{4} + 	hetaight)ight)$$T = \frac{\pi}{4} + 	heta$अब $	heta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$ वापस रखने पर:$T = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$।

$|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}, x \neq 0$ के लिए $\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} \right)$ सभी $n \in N$ के लिए है,तो $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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