अंतराल left[-frac{pi}{4}, frac{3 pi}{4}right] | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)$.सर्वसमिका $\s

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(A) माना $S = \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}ight) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}ight)$.सर्वसमिका $\sec A \sec B = \frac{\sin(B-A)}{\cos A \cos B \sin(B-A)}$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि $B-A = \frac{\pi}{2}$.अतः,$\sec A \sec B = \frac{\sin(\pi/2)}{\cos A \cos B \sin(\pi/2)} = \frac{	an B - 	an A}{\sin(\pi/2)} = 	an B - 	an A$.यहाँ,$A = \frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}$ और $B = \frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}$.इसलिए,योग $\sum_{k=0}^{10} (	an(\frac{7 \pi}{12} + \frac{(k+1) \pi}{2}) - 	an(\frac{7 \pi}{12} + \frac{k \pi}{2}))$ बन जाता है।यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $	an(\frac{7 \pi}{12} + \frac{11 \pi}{2}) - 	an(\frac{7 \pi}{12})$.चूँकि $	an(	heta + \frac{11 \pi}{2}) = 	an(	heta - \frac{\pi}{2}) = -\cot 	heta$,योग $-\cot(\frac{7 \pi}{12}) - 	an(\frac{7 \pi}{12}) = -(\frac{\cos(7 \pi / 12)}{\sin(7 \pi / 12)} + \frac{\sin(7 \pi / 12)}{\cos(7 \pi / 12)}) = -\frac{1}{\sin(7 \pi / 12) \cos(7 \pi / 12)} = -\frac{2}{\sin(7 \pi / 6)} = -\frac{2}{-1/2} = 4$ है।व्यंजक $\sec^{-1}(\frac{1}{4} 	imes 4) = \sec^{-1}(1) = 0$ है।

अंतराल $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ में $\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)\right)$ का मान क्या है?

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