Higher order derivatives Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિધેય: $y = ae^x + be^{-x} + c$
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x} + c) = ae^x - be^{-x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x - be^{-x}) = ae^x + be^{-x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રીજી વાર વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x}) = ae^x - be^{-x}$
આ પરિણામને પ્રથમ વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$.

(B) આપેલ છે કે $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx} [a \cos (\log x)+b \sin (\log x)] = -a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)}{x}$.
તેથી,$x y^{\prime} = -a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (x y^{\prime}) = \frac{d}{dx} [-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)]$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos (\log x) + b \sin (\log x)]$.
કારણ કે $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$,તેથી:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x)=\frac{x-1}{e^x} \dots (i)$
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{e^x(1) - (x-1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x + 1)}{e^{2x}} = \frac{2-x}{e^x} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $x=0$ મૂકતા:
$f'(0) = \frac{2-0}{e^0} = 2 \dots (iii)$
હવે,સમીકરણ $(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f''(x) = \frac{e^x(-1) - (2-x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-1 - 2 + x)}{e^{2x}} = \frac{x-3}{e^x} \dots (iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માં $x=0$ મૂકતા:
$f''(0) = \frac{0-3}{e^0} = -3 \dots (v)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા:
$f'(0) + f''(0) = 2 + (-3) = -1$

(A) આપેલ છે $y = \sin ax + \cos bx$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{d}{dx}(\sin ax) + \frac{d}{dx}(\cos bx) = a \cos ax - b \sin bx$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન મેળવવા માટે ફરીથી વિકલન કરતા:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \cos ax - b \sin bx) = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx$.
હવે,$y''$ અને $y$ ની કિંમત $y'' + b^2 y$ માં મૂકતા:
$y'' + b^2 y = (-a^2 \sin ax - b^2 \cos bx) + b^2(\sin ax + \cos bx)$.
$y'' + b^2 y = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx + b^2 \sin ax + b^2 \cos bx$.
$y'' + b^2 y = (b^2 - a^2) \sin ax$.

(B) આપેલ છે કે $y=e^{ax}(\cos bx+\sin bx)$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx}=ae^{ax}(\cos bx+\sin bx)+e^{ax}(-b\sin bx+b\cos bx) = ay+be^{ax}(\cos bx-\sin bx)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + b[ae^{ax}(\cos bx-\sin bx) + e^{ax}(-b\sin bx-b\cos bx)]$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a[be^{ax}(\cos bx-\sin bx)] - b^2e^{ax}(\sin bx+\cos bx)$.
$be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ અને $e^{ax}(\cos bx+\sin bx) = y$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a(\frac{dy}{dx}-ay) - b^2y$.
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0$.
$\frac{d^2y}{dx^2}-K\frac{dy}{dx}+Ly=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K=2a$ અને $L=a^2+b^2$ મળે છે.
તેથી,$L+bK = a^2+b^2+b(2a) = a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$.

(A) આપેલ છે: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1 - (y/b)^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2 - y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$ $\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2 - y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2 - y^2}} = \frac{n}{x} \Rightarrow -x y_1 = n \sqrt{b^2 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2 - y^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x^2 (2 y_1 y_2) + 2x y_1^2 = n^2 (-2 y y_1)$.
$2 y_1$ વડે ભાગતા ($y_1 \neq 0$ ધારીને):
$x^2 y_2 + x y_1 = -n^2 y \Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 + n^2 y = 0$.

(C) ધારો કે $u = \log_e x$. તો પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\log_e e - \log_e x^2}{\log_e e + \log_e x^2}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-6u}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{1-2u}{1+2u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-3(2u)}\right]$
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ અને $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2u)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2u))$
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$
અહીં $y$ અચળ હોવાથી,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
તેથી,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log _e\left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} y_1 = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x} \implies x y_1 = -n \sqrt{b^2-y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2-y^2)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 x y_1^2 + x^2 \cdot 2 y_1 y_2 = -n^2 \cdot 2 y y_1$.
$2 x y_1$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0, y_1 \neq 0$):
$y_1 + x y_2 = -\frac{n^2 y}{x}$.
$x y_1 + x^2 y_2 + n^2 y = 0$.
$A y_2 + B y_1 + C y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=x^2, B=x, C=n^2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = A x^{-1} + B x^2$.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = -A x^{-2} + 2 B x$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 A x^{-3} + 2 B$.
હવે,$x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = x^2 (2 A x^{-3} + 2 B) = 2 A x^{-1} + 2 B x^2$.
$2$ સામાન્ય લેતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 (A x^{-1} + B x^2)$.
કારણ કે $y = A x^{-1} + B x^2$ છે,તેથી આપણે $y$ ને પદમાં મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 y$.

(B) આપેલ છે $y=\sin ^{-1}\left(\frac{5 x+12 \sqrt{1-x^{2}}}{13}\right)$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $\sqrt{1-x^2} = \sin \theta$.
વળી,ધારો કે $\sin \alpha = \frac{5}{13}$,તો $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
આ કિંમતો $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta)$
$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha + \theta)) = \alpha + \theta$
$y = \sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \cos^{-1}(x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા $y_1 \sqrt{1-x^2} = -1$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y_1^2 (1-x^2) = 1$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y_1 y_2 (1-x^2) + y_1^2 (-2x) = 0$
$2y_1$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $y_1 \neq 0$):
$y_2(1-x^2) - x y_1 = 0$.
આને $a(1-x^2)y_2 + bxy_1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$ અને $b=-1$ મળે છે.
તેથી,$(a, b) = (1, -1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1} x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$.
આપણને આપેલ છે કે $f'(x) + f''(x) = 0$.
વિકલનોની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} = 0$.
$(1+x^2)^2$ વડે ગુણતા: $(1+x^2) - 2x = 0$.
આ સમીકરણ $x^2 - 2x + 1 = 0$ માં ફેરવાય છે,જે $(x-1)^2 = 0$ છે.
તેથી,$x = 1$.

(C) આપેલ છે કે $y = e^{kx}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = ke^{kx} = ky$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} = k^2y$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx} - y) = y\frac{dy}{dx}$
$(k^2y + ky)(ky - y) = y(ky)$
$ky(k+1) \cdot y(k-1) = ky^2$
$k(k^2 - 1)y^2 = ky^2$
અહીં $y = e^{kx} \neq 0$ હોવાથી,આપણે $y^2$ વડે ભાગી શકીએ:
$k(k^2 - 1) = k$
$k^3 - k = k$
$k^3 - 2k = 0$
$k(k^2 - 2) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k^2 = 2$,જે આપણને $k = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ આપે છે.
આમ,$k$ ની ત્રણ ભિન્ન કિંમતો મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $y=e^{\tan ^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x) = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{1}{1+x^2}$.
$y = e^{\tan ^{-1} x}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2}$.
બંને બાજુ $(1+x^2)$ વડે ગુણતા:
$(1+x^2) y_1 = y$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[(1+x^2) y_1] = \frac{d}{dx}(y)$.
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) = y_1$.
પદોને ગોઠવતા:
$(1+x^2) y_2 + (2x - 1) y_1 = 0$.

(A) આપેલ છે $y = \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}$.
સહગુણકો શોધતા આપણને $A=4, B=-3, C=1$ મળે છે.
તેથી,$y = 4(x+2)^{-1} - 3(x+1)^{-1} + (x+1)^{-2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરતા:
$y' = -4(x+2)^{-2} + 3(x+1)^{-2} - 2(x+1)^{-3}$.
ફરીથી વિકલન કરતા:
$y'' = 8(x+2)^{-3} - 6(x+1)^{-3} + 6(x+1)^{-4}$.
$y'' = 2\left[\frac{4}{(x+2)^{3}} - \frac{3}{(x+1)^{3}} + \frac{3}{(x+1)^{4}}\right]$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે $y=e^{m \sin^{-1} x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ મળે.
આથી $\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=m e^{m \sin^{-1} x} = m y$ થાય.
હવે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x} \left( \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} (m y)$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} (-2 x) \frac{d y}{d x} = m \frac{d y}{d x}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1-x^{2}}$ વડે ગુણતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}$.
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} = m y$ ની કિંમત મૂકતા:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m(m y) = m^{2} y$.
તેથી,$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - m^{2} y = 0$.
આપેલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - k y = 0$ સાથે સરખાવતા,$k = m^{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$f(x)=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^{2}}\right)}{\log \left(e x^{2}\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(e/x^2) = 1 - 2 \log x$ અને $\log(ex^2) = 1 + 2 \log x$.
તેથી,$f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - 2 \log x}{1 + 2 \log x}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + 2 \log x}{1 - 3(2 \log x)}\right]$.
ધારો કે $2 \log x = u$. તો $f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - u}{1 + u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + u}{1 - 3u}\right]$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ અને $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} u) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1} u)$.
$f(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} 3$.
ચુંકે $f(x)$ અચળ છે,તેથી તેનું વિકલન $f'(x) = 0$ અને દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+C_1$ મળે છે.
$x=1$ મુકતા,$f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)+C_1$ મળે.
$f^{\prime}(1)=4$ અને $g^{\prime}(1)=6$ આપેલ છે,તેથી $4=6+C_1$,જેનો અર્થ છે કે $C_1=-2$.
આમ,$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x)=g(x)-2x+C_2$ મળે છે.
$x=2$ મુકતા,$f(2)=g(2)-2(2)+C_2$ મળે.
$f(2)=3$ અને $g(2)=9$ આપેલ છે,તેથી $3=9-4+C_2$,એટલે કે $3=5+C_2$,તેથી $C_2=-2$.
આમ,$f(x)=g(x)-2x-2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f(x)-g(x)=-2x-2$ મળે છે.
$x=1$ માટે,$f(1)-g(1)=-2(1)-2=-4$.

(C) આપેલ છે કે $x=\sin \theta$ અને $y=\sin(k \theta)$.
પ્રથમ,$y_1 = \frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{d\theta} = k \cos(k \theta)$ અને $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$.
$y_1 = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{k \cos(k \theta)}{\cos \theta} \implies y_1 \cos \theta = k \cos(k \theta)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta}$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$y_2 \cos^2 \theta - y_1 \sin \theta = -k^2 \sin(k \theta)$.
$1-x^2 = 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ અને $x = \sin \theta$ હોવાથી:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = -k^2 y$.
આને $(1-x^2) y_2 - x y_1 - \alpha y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha y = -k^2 y$ મળે છે,તેથી $\alpha = -k^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y y^{\prime} = 0$ મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime} = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
આમ,$y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $x = \int_0^y \frac{1}{\sqrt{1 + 9t^2}} dt$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9y^2}}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ મળે.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + 9y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot (18y) \cdot \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9y}{\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot \sqrt{1 + 9y^2} = 9y$ મળે.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ ની સરખામણી $\frac{d^2y}{dx^2} = ay$ સાથે કરતા,$a = 9$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $U(x) = \frac{Lx+M}{x^2-2Bx+C}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$U(x)(x^2-2Bx+C) = Lx+M$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$U_1(x^2-2Bx+C) + U(2x-2B) = L$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(2x-2B) + U_1(2x-2B) + U(2) = 0$.
પદને સરળ બનાવતા:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(4x-4B) + 2U = 0$.
આને $PU_2 + QU_1 + RU = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$P = x^2-2Bx+C$,$Q = 4(x-B)$,અને $R = 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^{3} + x^{2}f^{\prime}(1) + 2x f^{\prime\prime}(2) + f^{\prime\prime\prime}(3)$.
પ્રથમ વિકલન: $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2f^{\prime\prime}(2)$.
દ્વિતીય વિકલન: $f^{\prime\prime}(x) = 6x + 2f^{\prime}(1)$.
તૃતીય વિકલન: $f^{\prime\prime\prime}(x) = 6$.
હવે,અચળાંકોની કિંમત શોધીએ:
$f^{\prime\prime}(2) = 6(2) + 2f^{\prime}(1) = 12 + 2f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime\prime\prime}(3) = 6$.
આ કિંમતોને $f^{\prime}(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2(12 + 2f^{\prime}(1)) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1)$ શોધવા માટે $x = 1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) = 3(1)^{2} + 2(1)f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1) = 3 + 2f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1) = 27 + 6f^{\prime}(1)$.
$-5f^{\prime}(1) = 27 \implies f^{\prime}(1) = -\frac{27}{5}$.
હવે $f^{\prime}(1)$ ની કિંમત $f^{\prime}(x)$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x(-\frac{27}{5}) + 24 + 4(-\frac{27}{5}) = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + 24 - \frac{108}{5} = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + \frac{12}{5}$.
છેલ્લે,$f^{\prime}(5)$ ની ગણતરી કરતા:
$f^{\prime}(5) = 3(5)^{2} - \frac{54}{5}(5) + \frac{12}{5} = 75 - 54 + \frac{12}{5} = 21 + \frac{12}{5} = \frac{105 + 12}{5} = \frac{117}{5}$.

(D) આપેલ છે કે $e^y(x+1) = 1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural log) લેતા: $y + \ln(x+1) = 0 \implies y = -\ln(x+1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2} = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 - \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = 0$.