यदि फलन f दिए गए बिंदु पर सतत है,तो k का मान | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & 	ext{यदि } x 
eq \frac{\pi}{2} \ 3, & 	ext{यदि } x =

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$6$

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(A) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}, & 	ext{यदि } x 
eq \frac{\pi}{2} \ 3, & 	ext{यदि } x = \frac{\pi}{2} \end{cases}$चूंकि फलन $f$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $x 	o \frac{\pi}{2}$ पर $f(x)$ की सीमा $f\left(\frac{\pi}{2}ight)$ के बराबर होनी चाहिए।यहाँ $f\left(\frac{\pi}{2}ight) = 3$ दिया गया है।अब,सीमा की गणना करते हैं:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$मान लीजिए $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे ही $x 	o \frac{\pi}{2}$,$h 	o 0$ होगा।$\lim_{h 	o 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h 	o 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h 	o 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h 	o 0} \frac{\sin h}{h}$हम जानते हैं कि $\lim_{h 	o 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}} f(x) = \frac{k}{2} \cdot 1 = \frac{k}{2}$सीमा को फलन के मान के बराबर रखने पर:$\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.अतः,$k$ का अभीष्ट मान $6$ है।

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