कथन-I: e^{pi} pi^e.कथन-II: फलन f(x) = x^{1/ | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करन

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$I$ सत्य है,कथन-$II$ सत्य है; कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ प्राप्त होता है।$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 - \ln(x) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln(x) = 1$,अतः $x = e$।$x  0$ और $x > e$ के लिए,$f'(x) चूंकि $f(x)$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर है,किसी भी $x 
eq e$ के लिए,$f(e) > f(x)$ होगा।$x = \pi$ रखने पर,हमें $e^{1/e} > \pi^{1/\pi}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों की घात $e\pi$ लेने पर,$(e^{1/e})^{e\pi} > (\pi^{1/\pi})^{e\pi}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $e^{\pi} > \pi^e$ हो जाता है। यह सिद्ध करता है कि कथन-$I$ सत्य है।चूंकि कथन-$II$ सीधे कथन-$I$ की असमिका की ओर ले जाता है,इसलिए कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

कथन-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।

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कथन-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।