वक्र y = x^2 + 1 और सीधी रेखाओं x=1 और x=2 द् | vedclass

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Question

(C) वक्र $y = x^2 + 1$ है। वक्र पर स्थित बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ है।बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_1$ है।स्पर्श र

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$\left( \frac{3}{2}, \frac{13}{4} \right)$

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(C) वक्र $y = x^2 + 1$ है। वक्र पर स्थित बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ है।बिंदु $(x_1, x_1^2 + 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x_1$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (x_1^2 + 1) = 2x_1(x - x_1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 2x_1x - x_1^2 + 1$ प्राप्त होता है।माना कि स्पर्श रेखा रेखाओं $x=1$ और $x=2$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर काटती है।$x=1$ के लिए,$y_P = 2x_1(1) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 2x_1 + 1$ है।$x=2$ के लिए,$y_Q = 2x_1(2) - x_1^2 + 1 = -x_1^2 + 4x_1 + 1$ है।रेखाओं $x=1, x=2$,$x$-अक्ष और स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित समलंब का क्षेत्रफल $A = \frac{y_P + y_Q}{2} 	imes (2 - 1) = \frac{(-x_1^2 + 2x_1 + 1) + (-x_1^2 + 4x_1 + 1)}{2} = \frac{-2x_1^2 + 6x_1 + 2}{2} = -x_1^2 + 3x_1 + 1$ है।क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx_1} = -2x_1 + 3$ प्राप्त करते हैं। $\frac{dA}{dx_1} = 0$ रखने पर $x_1 = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।$x_1 = \frac{3}{2}$ के लिए,$y_1 = \left(\frac{3}{2}ight)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$ है।अतः,बिंदु $\left( \frac{3}{2}, \frac{13}{4} ight)$ है।

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