कथन-I: संख्याओं 1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4}, | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(

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कथन-$I$ सत्य है,कथन-$II$ सत्य है। कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = x^{1/x}$ को $x > 0$ के लिए लें।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$।अतः,$f'(x) = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$।जब $1 - \ln(x) > 0$ हो,तब $f'(x) > 0$,अर्थात $\ln(x) जब $1 - \ln(x)  1$,जिसका अर्थ है $x > e$।इसलिए,कथन-$II$ सत्य है।अब,$e \approx 2.718$। चूंकि $2 $2^{1/2}$ और $3^{1/3}$ की तुलना करने पर: चूंकि $2 $3^{1/3}$ और $4^{1/4}$ की तुलना करने पर: चूंकि $3 चूंकि $x > e$ के लिए $f(x)$ घटता है,इसलिए $f(3) > f(4) > f(5) > f(6) > f(7)$।अतः,दी गई संख्याओं में $3^{1/3}$ वास्तव में अधिकतम मान है।इसलिए,कथन-$I$ सत्य है और कथन-$II$,कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

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