$f(x) = \int\limits_0^x t(t - 1)(t - 2) dt$ अपना न्यूनतम मान कब प्राप्त करता है?

$28 \, m$ लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाना है। एक टुकड़े से एक वर्ग और दूसरे से एक वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबाई क्या होनी चाहिए ताकि वर्ग और वृत्त का संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम हो?

$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल क्या है?

$6$ इकाई व्यास वाले गोले में अंतर्निहित बेलन का अधिकतम आयतन (घन इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है। मान लीजिए $f$ दो बार अवकलनीय है,$f(0)=f(1)=0$ और $x \in[0,1]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ को संतुष्ट करता है।
$1.$ $0 < x < 1$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ यदि फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ अंतराल $[0,1]$ में अपना न्यूनतम मान $x=\frac{1}{4}$ पर प्राप्त करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$

नीचे दी गई आकृति किसी फलन $y=f(x)$ के अवकलज का ग्राफ है। तो,